GÉNÉRATIONS DE L'HYPERBOLOÎDE A UNE NAPPE
389. Théorème. Lorsqu'une droite mobile rencontre constamment trois droites fixes, non parallèles à un même plan, elle engendre un hyperboloide à une nappe.
Soient AB, CD, EF les trois droites proposées et MNP une droite qui les rencontre, respectivement, aux points M, N, P. Par AB, on peut mener un plan parallèle à CD, et un autre plan parallèle à EF; ces deux plans ne se confondent pas, si, comme nous Tavons supposé, les trois droites AB, CD, EF, ne sont pas parallèles à un même plan.
En répétant cette construction pour CD et pour EF, on détermine un parallélipipède * ; nous prendrons le centre de ce
1. Ce parallélipidède a été imaginé parBiaet(/. de l'Ecole Polytechnique ; 16* cahier).
VINGT-HUITIÈxME LEÇON
parallélipipede, pour origine des axes ; ceux-ci étant d'ailleurs parallèles aux arêtes du parallélipipede, arêtes dont nous désignerons les longueurs par 2 a, 2 6, 2 c.
Fig. 44.
Dans ces conditions, les équations des droites proposées sont :
EF
AB
CD
La droite MNP, qui s'appuie constamment sur EF et sur AB, peut être représentée par les équations :
(1) a:-ha + X(y — 6)=:o,
(2) y + b+\f.{z^c)zz:o.
Écrivons maintenant que ces équations sont vérifiées par 2r= — c, et a? m a, de façon à exprimer que la génératrice MNP rencontre la droite CD.
Nous avons donc
et, par suite, en éliminant y,
(3) X[JL c — a6 -f a n: o ,
GÉNÉRATION DES QUADRlQUES 383
L'équalion de la surface engendrée par MNP s'obtiendra en éliminant X et jx entre (i), (2), et (3). Le résultat est :.
ou, en développant et en réduisant,
ayz -f" bzx -{- cxy + ahc — o .
Cette relation remarquable peut encore s'écriro
bc ca ab
Ainsi, le lieu est une surface du second degré, ayant un centre et des génératrices rectilignes non concourantes; l'hyperboloïde à une nappe est la seule quadrique qui jouisse de ces propriétés.
333. Remarque. La forme (H) met en évidence six droites situées sur la surface, savoir: 1° les Irois droites proposées AB, CD, EF; chose qu'on devait prévoir à priori^ puisque la génératrice mobile s'appuie sur elles constamment; 2° les droites BF, DE, AC.
En effet, en coupant la surface (H) par le plan AB D'F (;s = c), on trouve
yrr — 6, ou x:=. — a;
les droites BA et BF sont donc situées tout entières sur la surface.
3341. Théorème. Lorsqu'une droite ynobile A engendre un hyperboloïde à une nappe H^ ; si Von considère deux génératrices quelconques^ fixes et de systèmes différents sur cette surface, A décrit sur ces droites deux divisions qui sont homographiques.
Soient fig. (44) AB,^ EF, les deux génératrices fixes considérées, MP la génératrice mobile, et BF une position particulière de MP. Il existe sur H^ une droite parallèle à BF et qui appartient au même système que les droites AB et EF;
De L. Tome MU ^
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soit CD celte parallèle, droite qui rencontre nécessairement MP, en un certain point N, puisque CD est d'un système différent de celui auquel appartient EF et que MP est du même système que BF.
Si nous considérons maintenant les trois droites AB, CD, EF, on peut dire que H, est engendrée par le mouvement d'une droite s'appuyant sur ces trois droites fixes, et nous allons considérer le parallélipipède qui leur correspond et que nous avons défini dans le paragraphe précédent.
La droite MF rencontre AD' en N'; NN' représente une droite évidemment parallèle à EF et dont la longueur est égale à 2 c.
Les triangles semblables MNN', MFP, d'une part; MBF, M AN', d'autre part; donnent
