Démontrer que l'équation

admet une intinité de racines et calculer, avec une certaine approximation, la plus petite d'entreelles.

3. Trouver les points communs à une ellipse et à une hyperbole dont les centres sont, respectivement, et 0': sachant que ces courbes ont un foyer commun F.

On donne: OFO' =:«, et les demi-axes a, b de l'ellipse, a', 6' de l'hyperbole. Faire le calcul en supposant

a=:22°3o'; azzio, bzzy; a'=ib'=ii.

i856t Discuter l'équation

p* = a -f 6 sin w + c sin *a),

et faire la classification des différentes courbes qu'elle représente quand on fait varier les paramètres a, 6, c.

i859. Trouver le nombre des racines réelles admises par l'équation

x:=:as'mœ -{- b;

pour chaque valeur des coefficients a, 6, effectuer la séparation de toutes ses racines. Appliquer la méthode à l'équation

- . x:='dii2smx-\- i5y .

18S8. V. leç. 29; ex. 1.

18S9« La corde AB d'un cercle partage la surface de ce cercle eu deux segments tels que le plus grand est moyen proportionnel entre le plus

petit et le cercle entier Calculer à — de seconde près le plus petit des

deux arcs sous-tendus par AB.

180O. On donne une parabole P; soient A et B deux points mobiles sur cette courbe^ mais tellement choisis que les normales en A et B se coupent en un point C, situé sur P. La tangente en G et la droite AB se coupent en un point M ; trouver le lieu décrit par ce point et construire la courbe.

1861. V. leç. 29; ex. 2.

1862. Trouver le lieu des centres des surfaces représentées par Té* quation

x^-^y* — z*+ 2pxz + 2gy^ — 2ax — 2by + 2cz r=: o ,

(a, b, c, étant des nombres positifs donnés; jo, q représentant des paramètres variables) : i^ Lorsque p et q varient de toutes les manières pos-

Bibles; 3*> lorsque p et q varient de maDière à ce que réquation donuée représente un cône. Distloguer la partie du lieu qui correspond à des hyperboloïdes à une nappe, de celle qui correspond à des hjperboloïdes à deux nappes.

18118. On donue sur un plan deux circonférences 0, 0'; d'un point A, pris sur 0, ou mène des tangentes à 0' et Ton joint les points de contact obtenus. Cette droite coupe la tangente à 0, au point A, en M ; trouver le lieu décrit par M.

Examiner les différentes formes de ce lieu selon la grandeur et la position relatives des circonférences et 0' ; indiquer le cas où il se décompose. Faire voir quelle lieu des points M est tangent à en chacun des points qui lui sont communs avec cette circonférence.

1864. On considère le cercle qui a pour équation

et la parabole qui est représentée par Téquation

{f^'-0iyy + 2xx+2^y=z ,

où a et p désignent des paramètres positifs quelconques. On propose de déterminer :

10 Le nombre des points réels commuus aux deux courbes, pour les différentes valeurs de a et de p.

jo Les coordonnées des quatre points communs quand on suppose :

ou :

a — 1 et 6 > o , enfin, lorsque Ton a

i866. On donne dans un plan uue parabole P et l'on considère une circonférence G passant par le foyer de P. On propose d'indiquer les régions du plan où doit se trouver le centre de C, pour que cette circonférence ait successivement avec P : !<* quatre points réels, a» quatre points imaginaires, 3° deux points réels et deux points imaginaires. On étudiera la forme et les propriétés de la courbe qui sépare les deux premières régions de la troisième .

1806. On considère la parabole et l'hyperbole équilatère qui corres* pondent, respectivement, aux équations

2/*— àpx zz: o , J?i/ — m*i=: o *

On propose :

1" De former l'équation ayant pour racines les abcisses ou les ordonnées des pieds des normales communes à ces deux courbes.

2° De déduire de cette équation que le nombre des normales communes est au moins égal à un et au plus égal à trois,

30 De démontrer qu'en supposant

il n'y a qu'une normale commune réelle.

1867. Étant donnés un triangle BOA rectangle en et une droite D, située dans le plan de ce triangle, on propose :

1° De former l'équation générale des hyperboles équilatères circonscrites au triangle BOÂ; 30 de calculer l'équation du lieu L des points où ces différentes hyperboles ont pour tangentes des parallèles à D. 3° D'examiner les différentes formes du lieu L qui correspondent aux directions diverses de la droite D.

i868. Soient deux paraboles P|, P,, ayant toutes deux pour foyer le point fixe et, pour axes respectifs, les droites fixes OX, OY, droites qu'on suppose rectangulaires. On mène à ces paraboles une tangente commune : soient Mj et Mj les points de contact; trouver le lieu décrit par le milieu de Mj M,, sachant que cette droite passe par un point fixe.

4869. On donne un triangle rectangle isocèle AOB et on demande :

1^ L^'équation générale des paraboles P tangentes aux trois côtés du triangle AOB;

2° L'équation de l'axe de Tune quelconque de ces paraboles;

30 L'équation et la forme du lieu des projections du point 0, sommet de Tangle droit AOB, sur les axes des paraboles P.

1 87S. On donne deux axes de coordonnées rectangulaires et deux droites (A) et (B) respectivement parallèles aux axes et Ton demande :

10 De former l'équation générale des courbes du second degré qui ont pour centre l'origine des coordonnées et qui admettent comme normales les droites données (A) et (B) ;

20 De démontrer que par un point du plan, il passe en général trois de ces courbes, à savoir deux ellipses et une hyperbole ;

30 De faire connaître les points du plan pour lesquels cette règle générale souffre une exception.

1873. On donne un cercle et un point A, et Ton demande le lieu des centres des hyperboles équilatères assujetties à passer par le point donné A et à toucher en deux points le cercle donné.

On discutera la courbe obtenue pour les différentes positions du point A et l'on démontrera que, dans le cas général^ les points de contact des tangentes qu'on peut mener au lieu par le point A sont situés sur une circonférence de cercle.

1874. Étant donné un triangle, on sait que, par un point M de son plan, il passe, en général, deus paraboles circonscrites au triangle*

Cela posé, on demande de construire et de discuter le lieu du point M pour lequel les axes des deux paraboles correspondantes forment entre eux un angle donné.

1895. Trouver le lieu géométrique de l'intersection des deux normales menées à la parabole aux deux extrémités de toutes les cordes dont les projections orthogonales sur une perpendiculaire à Taxe ont une même valeur.

Que dire du cas où Ton fait tendre vers zéro cette valeur de la projection?

Revenant au cas général, on propose de mener par un p«int quelconque du lieu trois normales & la parabole .

Application particulière au point maximum du lieu.

1875. {Question retirée.) Une conique donnée de forme et de grandeur se déplace de manière que chacun de ses foyers reste sur une droite donnée. A cette conique, parallèlement à Tune des droites données, on mène une tangente ; trouver le lieu des points de contact.

4896. 1. (Admissibilité.) i^ Expliquer la recherche du lieu des milieux des cordes parallèles à la droite qui joint l'origine au point dont les cordonnées sont a; = 3, ^ = 1^2 = 1, pour la surface représentée par Téquation.

X* + 2y* — 3z* 4- 2xy -\' Sx + zzzzd ,

<2o On demande de trouver les limites entre lesquelles doit varier le coefficient a pourque l'équation

3iC* — 4a?' — 12X* 4- a =

ait ses quatre racines réelles.

2, {Admission,) On considère une hyperbole équilatère fixe et une infinité de cercles concentriques à cette courbe. A chacun des cercles on mène des tangentes qui soient, en même temps, normales à Thyperbole. On prend le milieu de la distance qui sépare le point de contact avec le cercle variable, du point d'incidence sur l'hyperbole fixe. Ou demande le lieu décrit par ce milieu. — Si Téquation du lieu se présente sous une forme irrationelle on devra la rendre rationnelle.

1897. 1. (Admissibilité.) 1^ On donne une surface rapportée à un système de coordonnées rectangulaires

3x* — 3y* 4-2* — 2yz — 4zx + ^xy — Sx-{-^y -\-2Z r= ,

trouver l'équation de la même surface par rapport à un même système de plans principaux.

On opérera directement, en supposant connue l'équation du plan diamétral.

20 Démontrer que, dans une équation à coefficients réels, qui a ses racines réelles, le nombre des racines positives est égal au nombre des variations du premier membre ordonné suivant les puissances décroissantes de X.

On supposera connue la règle des signes de Descartes. 2. (Admission.) Soit, -^ — |; = i , l'équation d'une hyperbole rapportée à

ses axes ; Ç, y), les coordonnées d'un point M du plan de l'hyperbole . Par ce point M, on mène deux tangentes à l'hyperbole ; soient A elrB les points de contact.

Trouver l'équation du cercle passant par A, B et le centre de l'hyperbole.

Ce cercle rencontre l'hyperbole en deux points C, D, distincts de A et B; trouver l'équation de la droite CD.

Si M décrit une ligne droite, aux diverses positions du point M correspondent diverses positions de CD ; trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du centre de l'hyperbole sur ces droites.

18*78. 1. {Admissibilité.) i° Méthode de Newton, fondée sur la considération des dérivées successives, pour trouver unelimitesupérieure des racines positives d'une équation.

f2o Construire la courbe représentée en coordonnées rectangulaires par les deux équations

t tU — nf)

2 . {Admission,) On donne une droite D dont l'équation par rapport h. deux axes rectangulaires ox et oy est

on considère les différentes coniques qui ayant pour axes ox et oy sont normales à la droite D. Chacune d'elles rencontre cette droite en deux points ; en ces points, on mène les tangentes à la conique.

Trouver l'équation du lieu du point de rencontre de ces tangentes.

Démontrer que ce lieu est une parabole et que la distance du foyer de cette parabole à son sommet est le quart de la distance du point a la droite D.

On construira géométriquement l'axe et le sommet de la parabole.

1879. 1. {Admissibilité.) i<* Comment déduit-on du théorème de Sturm les conditions de réalité de toutes les racines d'une équation algébrique de degré donné.

2^ Construire la courbe dont l'équation en cordonnées polaires est

sino)