Admission.) On donne une conique rapportée à ses axes

et un point M cette conique. Par les extrémités d un diamètre quelconque de la conique et le point M on fdit passer un cercle. Prouver que le lieu décrit par le centre de ce cercle est une conique K passant par Torigine des axes.

Si autour du point 0, on fait tourner deux droites rectangulaires, elles rencontrent la conique K en deux points, prouver que le lieu des points de rencontre des tangentes menées en ces points est la droite perpendiculaire au segment OM et passant par le milieu de ce segment.

Par le point on peut mener, indépendamment de la normale ayant son pied en 0, trois autres droites normales à la conique K.

1* Dans le cas particulier où la conique donnée est une hyperbole équilatère ett)ù a = i, 6 = — i, montrer qu'une seule de ces normales est réelle et calculer les coordonnées de son pied.

2« Dans le cas général, trouver l'équation du cercle circonscrit au triangle formé par les pieds de ces trois normales.

I^ota. Le pied de la normale est le point de la courbe d'où part la normale.

f880. Soient M et N les points où l'axe desar rencontre le cercle

considérons une quelconque des hyperboles équilatëres qui passent par les points M et N ; menons par un point Q, pris arbitrairement sur le cercle, des tangentes à l'hyperbole ; soient A et B les points où le cercle coupe la droite qui joint les points de contact.

Démontrer que, des deux droites QA et QB, l'une est parallèle à un^ direction fixe et l'autre passe par un point fixe P.

Le point P étant donné, l'hyperbole équilatëre correspondante qui passe par les points M et N est déterminée. On construira géométriquement son centre, ses asymptotes et ses sommets.

Si le point P décrit la droite y =: a;, quel est le lieu décrit par les foyers de l'hyperbole ? On déterminera son équation et on le construira.

f88i. 1. On considère une parabole P et une droite AB normale au point A à cette courbe (ce point A se projetant d'ailleurs sur l'axe au foyer môme de la courbe).

Trouver le lieu des sommets des sections faites dans le cylindre droit qui a pour base P, par des plans passant par AB.

2. On donne une asymptote d'une hyperbole et un point P de la courbe. Sachant que l'un des foyers décrit la perpendiculaire menée du point P sur l'asymptote considérée, on demande le lieu du point M d'intersection de la seconde asymptote avec la directrice correspondant au foyer donné .

i888. On donne deux cercles se coupant aux points A et B. Une conique quelconque passant par ces points et tangente aux deux cercles rencontre l'hyperbole équilatère qui a ces points pour sommets en deux autres points G et D.

i** Démontrer que la droite CD passe par un des centres de similitude des deux cercles donnés.

a» Si Ton considère toufes les coDiques qui passant par A et B sont tangentes aux deux cercles, démontrer que le lieu de leurs centres se compose de deux circonférences E et F.

30 Soit une conique satisfaisant à la question et ayant son centre sur Tune des circonférences, E ou F ; démontrer que les asymptotes de cette conique rencontrent cette circonférence en deux points fixes situés sur l'axe radical des deux circonférences données.

1883. (V. Géom, plane ; p. 635.)

f 884. On donne une conique

On joint un point M de cette conique aux deux foyers F et F'.

1^ On demande d'exprimer les coordonnées du cercle inscrit dans J'intérieur du triangle MFF ', au moyen des coordonnées du point M.

2^ Dans le cas où la conique donnée est une ellipse, on démontrera que si l'on considère les cercles inscrits dans deux triangles correspondant a deux points. M et M' de la conique, Taxe radical de ces deux cercles passe par le point milieu du segment MM'.

3<> Pour chaque position du point M, le rayon vecteur FM touche le cercle correspondant en un point P. On déterminera, en coordonnées polaires, Téquation du lieu décrit par le point P. On prendra le foyer F pour origine des rayons, et Taxe des x pour origine des angles.

coMcouRS gëivu:ral.

A. Les deux côtés AE, AF d'uQ angle plan EAP étant supposés fixes et coupés par une droite mobile BC; trouver la courbe que décrit le centre de graTÎté G du triangle ABC, qudnd la droite BC se meut de telle sorte que la surface du triangle ABC reste constante.

f 8f S. Étant donné un quadrilatère AGFH dont les quatre côtés ne sont pas situés dans un même plan, on demande :

]0 L'équation de la surface décrite par une droite ED qui, dans son mouvement, couperait toujours proportionnellement les deux côtés opposés AH, GF, de manière que dans chaque position de la droite génératrice on eût la proportion