OM,) - (OM
c'est-à-dire un vecteur égal à MM( . Le ra port de cet accroissement à l'accroissement du temps est vecteur MB
Kig. î6.
;clion eL même s
que MM,.
Quand A( tend vers zéro, ce vecteur MB tend vers un leur limite MD tangent à la trajectoire qu'on appelle dêriv, géométrique du vecteur OM.
D'après cela, la dérivée géométrique d'un vectei variable, d'origine fixe, est la limite du rapport i l'accroissement géométrique du vecteur à t'accroisi ment if du temps, quand Af tend vers zéro.
CmillATlOCB ou POINT. iS
On voti alors immédialement, d'après la dérinitioD même de la vitesse moyenne cl de la vitesse, que ; la vitesse d'un poirzl M est la dérivée géométrique d'un vecteur issu d'un point fixe quelconque et allant au mobile.
On voit de même, d'après la définilion de l'accéléra lion à l'aide de l'hodograpltc, que : l'accélération d'un mobile M, à un instant quelconque, est égale à la dérivée géométrique d'un vecteur Km, d'origine fixe h.{fig. ao), égala la vitesse MV du mobile.
L'accéiéralioD apparaît alors comme élanl la vitesse avec liirjuelle varie le \eeleiir vitesse.
23. Projection de la dèri-vèe géométrique d'un vecteur BUr un axe. — Soit un vecteur OM d'origine fixe O : considérons les projeclions de ce vecteur sur un axe fise, les projections étant faites par des plans parallèles à un plan fixe. On peut toujours supposer que Taxe passe par O, car les projec- 'îoQs d'un vecteur sur des axes parallèles sont égales.
Soii alors Ox l'axe sur lequel on projette, les projections ^^nt faites parallèlement au plaii^yOs-
^a projection Ont du vecteur n'est autre chose que l'abi- *'=isse X du point M dans le
'^.î'Slème d'axes obliques ou ^'^- '>
■■eciangutairesOj;, O^, O ::.
^ ''instant (-|-A( le veelenr *^cupe une position OM, T^*'S- 27) ajanl pour pro- J^^tion x-^-^x; le vecteiir "^M, , différence géomé-
tri,
P-^Ur
que de OM, et OM,
projection
la différf
des projections de OM, et
OM , c'est-à-dire {x -\- Aa;) — x=: A.x. Le vecteur ^B = — -i étant égal au vecteur MM, divisé par &t a pour
projrction hi (nfijcttinii ilr llM, divi^ie par ai. <
Enfin, en supposant que Ai Leitde vers zéro, le vccleur MB tend vers la dérivée géométrique MD ùv <.)M et sa projection tend vers la limite -jj on .r^, <|ui fsl la proji'Clion de la di'rivée 4 géométrique MD. '
En résumé : ta projection de ta dérivée géamétrique d'un vecteur, d'origine Jîxe, sur un axe, est égale à ta dérivéede la projection du veclcur sur cet axe
21. Projection orthogonale de la dérivée géométrique d'un -vecteur sur le vecteur lui-même. — Appelons r U lon«;iioiir OM du vccifiic d'ori^^ine fixe O; quand ie temps ■ varie, le veuli-iir cliangc de lunfjueur et de direction, r csl une ■ certaine fonntion du temps. Prenons sur le vecteur OM, à l'instant (, comme sens pusilif, le sensOM ; alots ta projection orthogonale de la dérivée géométrique de OM sur OM est égale à -r- ou r\.
On peut déduire ce théorème du précédent. Prenons un J
axe fixe quelconque Ojt et projetons orthogonalemeut iel
vecteur OM sur cet aie. En appe^^
Fig. î8. lani (^fig, 28) r la longueur OUtJ
et l'angle jtOM, on a
Les quantités /■ et varient enj fonction du temps.
La projection de la dérivée géométrique MD de OMli
CINÉMATIQUE DU POINT. 4?
Cette formule est vraie quel que soit le choix de l'axe Ox; dès lors, pour avoir la projection Dr de MD sur OM, prenons pour axe fixe Ox la position OM du \ecteur à l'instant t. Nous aurons
et par suite
'^ dt
23. Applications : Premier problème. — Quelle est la con^ dition nécessaire et suffisante pour que la déris^ée géométrique D rf'wn vecteur OM soit constamment dirigée suivant ce vecteur. — Nous allons montrer que cette condition est que l^ orientation du vecteur soit constante.
En effet, actuellement, le vecteur dérivé se confond avec
sa projection sur OM. Le segment MD, estimé positivement
dans le sens OM, est donc ^ en appelant r la longueur OM.
La projection de ce segment sur un axe fixe quelconque O^
est
6 étant l'angle :rOM. Mais, comme la projection x de OM sur Ox est
X = r CCS 6,
Fig. 29.
. Où a aussi
Y. dx dr • A ^^
"x=^ -r =-7-cosO — r sm -7- • dt dt dt
Comparant ces deux formules, on voit que rsinO-i- est nul; comme r et 9 sont différents de
^ ' 2? ^^^ ^"^' ^^ ^ ^^^ constant.
L»' angle de OM avec un axe fixe O^ {fig* 29) pris arbi-
! KfcAIIKtDR-
IrairemenV élanl conslanl, OM h une orienlalioa fixe cIj - l'espace. Celte condiiioa nécessaire esl évidemmenl su santé.
On peut se rendre compte, approumalivemcnl, de ce condition en remarquant que, si l'orientalion du vecU change, comme dans \a Jig. 2^, la dérivée MD du vecU fait avec le vecteur un angle qui est dilTérent de zéro com é tant l'angle de la tangente MD à la trajectoire de M avec Oi
Deuxième problème. — Quelle est la condition nécessaù el suffisante pour que la dérivée géométrique d' un veclef soit constamment normale à cevecteur? — Cette conditîg esl que la longueur r du vecteur reste constante. En effi bÎ le vecteur dérivé D est constamment perpendiculat sur OM, sa projection sur OM est constamment nulle, cette projection esl -j-' On a donc
dr
-j- —n, r = const.
Réciproquement, sir esl constante, -j eslnul etieveclei est perpendiculaire sur OM.
Onpcut se rendre compte approximativement de cerësatj en remarquant que, si r varie, la tangente à la trajectM de M est oblique sur OM; si, au contraire, r est constant) point M décrit une courbe située sur une sphère de centre et la tangente MD à cette courbe esl perpendiculaire 1 rayon OM.
Troisième problème. — Quelle est la condition nêcessat et suffisante pour que la dérivée géométrique d'un vede soit nulle? — Il faut et il suffit que ce vecteur soit consi en grandeur, direction et sens.
En effet, si la dérivée géométrique est nulle, sa projecli
cinGmatiqde Ht point.
Sur uu ase Ox ({uelconi]ue est nulle. Or celle projectioiL'l est ^, 2^ désignant la projection du vfcleursur l'axe; donc^ esl constant; celle propriété ayant lieu pour un axe quel-*! conqiiCj l'extrémité M du vecteur est fixe.
On peut dire aussi que, la vitesse de rextréuiité M du \ vecteur étant nulle, celte extrémité esl fixi?.
26, Hodographe d'un mouTement rectiligne varié.
Soit lin mobile M parcourant l'axe Ox d'un .mouvemenlj varié et possédant à l'iustant ( la vitesse représentée par 1« vecteur MV (Jig. 3o) ; pour tracer l'hodograplie de ce mouvement, prenons une origine fixe O' et menons, à partir de cetl»J l'riginp, un segment O'M' égal et pandlèlc à MV. Quand tX
varie, la vitesse du mobile M change de grandeur, mai <le direction ; les points M', que l'on obtient par la construcn de l'hodographe, se trouvent donc tous sur la droite O'jP
èle à Ox, et l'abscisse x' du point M' sur cet a ir construction égale à la vitesse du point M, i la vitesse du point M était constante, le point M' dej Xiographe serait immobile; la vitesse du point M étant! e avec (, le poini M' se déplace lui-même avec une^ e qui est l'accéléralion du mouvement du point M. I U est facile de constater que, dans cette application de Vimdograplie à l'étude du mouvement rectiligne varié, nous s reproduit les termes mêmes du n°H, où nous avons ti l'accélération dans un tel mouvement; l'accord est donc plel entre ce mode de représentation cinématique de ■accélération et sa définition même.
5o COURS DE MÉCANIQUE.
27. Mouvement oiroulaire varié; son équation angu-* laire ; vitesse et accélération angulaires. — Supposons un poînl M assujetti à se déplacer d'un mouvement varié sur une circonférence de rayon R (Jig- 3i). Sa position M dans le plan à chaque instant sera définie par sa distance constante p = K à l'origine O et par l'angle
que fait avec une droite fixe OxI?l droite OM, cet angle étant
compté positivement dans un certain sens de rotation et négativement en sens contraire; la forme de la fonction o est quelconque quand le mouveiticnt circulaire est varié, et la relation (i) est V équation angulaire du mouvement. Soit if la vitesse du point M à l'instant ^estimée positivement dans le sens positif des angles; appelons to la vitesse du point m situé à l'unité de distance du centre; comme tous les points du rajon OM décrivent des arcs homothétiques dans le même temps, leurs vitesses sont proportionnelles à leurs distances au centre : on a donc
(2) — = — ou p = wR.
^ Kl
La quantité to prend le nom de vitesse angulaire; sa
dérivée, par rapport au temps -r-, est V accélération angulaire.
Si nous appelons l'angle formé par le rayon mobile avec la direction 0:r à l'instant ^ et 9 -4- A 9 l'angle à l'instant t -h A/^ la vitesse to du mobile sur la circonférence de rayon un à
l'instant t est, en grandeur et signe, la limite -7- du rap—
CINEMATIQUE DU POINT.
AO
port, — ; on a donc
dt ' ^ ^
rfe
Dans le cas du mouvement uniforme, (o = ^ est une
constante ; le point M décrit alors des arcs égaux en des temps égaux, sa vitesse i^ est constante en grandeur et signe et son
accélération angulaire est nulle; l'équation angulaire d^un tel
mouvement est
= IMt.
28. Hodographe du mouvement circulaire varié; accélérations tangentielle et normale. — Soient M et M' deux positions infiniment voisines du mobile M sur la circonférence de rayon R aux époques ^ et ^ -|- A^, et soit A6 l'angle des deux droites OM et OM' {fig^ Sa); par le point A
Fig. 3i.
lûenons Am et k.m[ égales et parallèles à V et V + AV vitesses du mobile au'x mêmes époques; l'accélération moyenne
^^^-Tpj elle tend à la limite vers la dérivée géométrique du
vecteur Am. Abaissons du point m la perpendiculaire m H sur Am' ; le vecteur mm! peut être considéré comme la. somme géométrique des deux vecteurs /nH etH/n' et, par suite, l'accélération moyenne est aussi la résultante des deux compo-
sautes^ et "'^'
5a COURS DE MECANIQUE.
L'angle des droites Am et Am' étant le même que celi des droites OM et OM', c'est-à-dire AO, on a, puisque ^ et 4 ont le même signe,
mil csinAO AO sinAO
Cette composante que nous appellerons f,i est, à la limite dirigée suivant la normale à la vitesse, c'est-à-dire suivai le rajon, et elle a pour expression
•k/^ -— o -— — z^ fi»t R
car le rapport du sinus à l'arc tend vers l'unité.
Quant à la composante —rr-y elle tend vers la projectio
orthogonale de la dérivée géométrique du vecteur A m sur ! vecteur lui-même; elle est donc (n** 24) dirigée suivant tangente, et est en valeur absolue égale à la valeur absolue c la dérivée de la grandeur Am de la vitesse par rapport a temps ; la valeur algébrique yt de cette limite estimée posit vement dans le sens positif des angles est dans tous les ca;
en grandeur et en signe, Vf= — = H -^ > comme nous le moi
trerons au n® 32.
Donc l'accélération d'un point mobile sur une circo} férence se compose d'une accélération tangentielle éga à la dériifée de la vitesse par rapport au temps ou a produit de l'accélération angulaire par le rayon, et d'uw accélération normale, dirigée vers le centre fJu cerct égale au carré de la vitesse divisée par le rayon, m au produit de ce rayon par le carré de la vitesse ang la ire,
29. Moti vement circulaire uniforme. — Le mobile décrit la circonférence de. rayon R avec une vitesse (^ co
CINÉMATIQUE DU POINT. 53
stante en grandeur, mais variable en direction; il y a, par conséquent, une accélération.
Appliquons la construction de l'hodographe : soit M(^ la vitesse du point M, menons par le point O une droite OM' parallèle et égale à Mi^; le lieu de W est évidemment une circonférence de rayon if que le point M' parcourt dans le même sens et dans le ffiême temps que M emploie à parcourir ia circonférence de rayon R {^g* 33).
Le rapport des vitesses (^ et y des
points M et M' est le même que celui des rayons R et <^;
un a do^c
.l'oii
Lai vitesse y du point M' de l'hodographe est Taccéiération du point M se déplaçant d'un mouvement uniforme sur 1h circonférence ; figurons cette vitesse en M'y et menons par *^ point M une parallèle My égale et de même sens; ce vecteur figure l'accélération du point M; elle est donc confiante en grandeur et dirigée vers le centre de la circonfé- ^ciice suivant le rayon.
Ces conclusions peuvent d'ailleurs se déduire immédiate-
*^^nt du cas général ; puisque ç est constant, -^ est nul et * accélération tangentielle est nulle; l'accélération totale se ^^duii donc à sa composante centripète ^5- ou 10^ R.
Si l'on appelle T la durée d'une révolution, c'est-à-dire *^* temps que le mobile met à parcourir la circonférence, on a
27rR
et
Quand les innchines. iloiil c^^rlainKS pirce^ lournrnl, ont pris leur régime Donnai, on caracK^rise d'habitude leur fnouvGuieDl par le notnlitc n de tours qu'elles exéculenl à la minute.
L'espace a/iTC déo'il parle poîni. m sur la circonférence de rayon un d'un inouvemeat uniforme, en une minute, mesure la vitesse angulaire â la minute, et —^ = w est la vitesses angulaire à lu seconde; celte formule peut servir à résoudre: le problème inverse.
La vitesse à la secoude d'un point sitUL' .sur la pi^ce qnS tourne à distance R de t'axe est
Cette même formule
peut servir à traiter le problèmw inverse : A combien de loiirs à. tî»-^ minute faut-il faire tourner un as» ^3 pour qu'un point qui lui est lié, s dislance R, ait nui' vitesse <.' à lem-"^ de?
30. Projections du mouve ^^ ment circulaire uniforme su: -^ deux, axes rectangulaires. — — -
Supposions un mobile M se dépla..^* çanl d'un mouvement uniform^^^ dans le sens inverse des aiguilleras d'une montre, avec une vitesse angulaire w sur une circon^^ fërence de rayon R {^g. 34); soit Mo sa position au lemp^^' léro dfîfinie par l'angle MoO^=oi| et soit M sa positior^* au temps / définie par l'angle MOMo^^ := w(; tes cooi — — "
• CINÉMATIQUE DU POINt. ' 55
données du point M à l'instant ^, ou les équations du mou-
vement, sont
x^ ;2? = R cos(a)/ H- a), ^ ^ r= R .sin(w< -4- a).
On l'appelle le mouvement circulaire uniforme gauche. Si le mouvement est droit ^ on doit changer dans ces équations w en — (o ; elles deviennent
^a7 = Rcos(a>^ — a), ^ y =. — Rsin(w^ — a).
L'équation delà trajectoire est dans les deux cas
a?2-hj^«— R2.
t) ans le mouvement direct, par exemple, les composantes <je la vitesse et la vitesse ont pour expression :
—r = — toR sin('ii< 4- a) = — wy,
dy
-~ = wR cos(to^ -4- a) —iiiXj dt
(;2= w2(a7Î-l-jî), (^ = a)R.
^ accélération y == w^R dirigée suivant la droite MO, vers ^^iitre, a pour projections sur ces axes
"(x = — 0)2 R cos ( wj -+- a ) = — oi^x, Yy = — (j>*R sin(w^ -t- a) = — ^^y.
^1. Application à une trajectoire quelconque. — Pour ^^ trajectoire quelconque, nous avons vu que l'accélération ^^ la dérivée géométrique d'un vecteur A m d'origine fixe A S^l à la vitesse du mobile. On peut alors immédiatement ^^oudre les problèmes suivants :
COLHS DE UKCAMULTH.
Premier problème. — Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour ijue l'accélération du mouvement soïl constamment tangente à la trajectoire? — Comme la vitesse esl langcntL' h la Irajpctoirc, cela revient à demandeE quelle est la rontlilioii pour i]iie l'acc^'lération ail même direction qiiP la vitesse. Miiis raccélératton Psl la dérivée géométrique d'un vectvur Am égal à la vitesse; il faut donc cheroher dans quel cas la dérivée du vecteur \m a même direction que ce vecteur. Pour cela il faut et II suffit qi vecteur Affi, c'est-à-dire la vitesse, ait une orientation fixei La vitesse a^ant une urientatîun fisc, le mouvement est recti' ligne. En elTet, on peut toujours prendre trois axes O j-, Oj', O 2, dont l'un, Ox, soit parullèle à la direction de la vitesse; alors, en appelant j- et j les coordonnées du mobile, les coin posantes de- la vitesse suivant les axes Oy et Os sont nulleSi
dy rf=
',ti " " ^^ ili ~ "'
donc y e\ z sont cnnstiinls cL le poînl décrit une drotl parallèle à Ox.
Nous avions vu, dans la théorie du mouvement reciilîgni que, pour un tel mouvement, l'accélération a même directioi que la vitesse; nous venons de démontrer la réciproque : 1 mouvement rectiligne est le seul qui possède cette propriété
Deuxième problème. — Quelle est la condition nécessaïr et suffisante pour i/ue l'accélération soit conslammen normale à la trajectoire. — Si l'accélératloa est normal la trajectoire, elle est normale à la vitesse : or l'accélérati est la dérivée géométrique d'un vecteur Km égal à la vitesse la longueur r de ce vecteur est précisément la valeur numé rique ± y de la vitesse. On veut que la dérivée du vecteur li soit perpendiculaire : pour cela il faut et il suffit que vecteur ait une longueur constante (a5), c'est-à-dire que . vitesse ait une valeur numérique constante.
nl^TÉHATtQL
Li (ajecloire
a alors une le
me que
eonque, m
ais elle est ^^^1
Iiarcfiurue d'im
inouvemenl un
iforme.
ïians ce cas
riiodogi-aplie
SL une c
lurlie (i«c
e une j^^^H
spiière de centre A.
Troisième problème. — Quel est le mouvement le plu8\
'/■al don! l'accélération est nulle? — La déri
Bfomélnr[ue du vecleur Am, égal à la vitesse, esL nulle. Ce 1
|cleur esl donc constant en grandeur, direction et sens. Lai
jesse étant constante en direction, le mouvement est rectï-;
e ; la vitesse étant aussi constante en grandeur, le mouve-'fl
int est uniforme. Le mouvenienl est donc lecliligne et\
jrme.
ns ce cas riii)d<)};ra[]hc esl un point.
. Expression générale de l'accélération tangen-
lelle accélération tangentielle projection de l'accélération du l'ig. 35.
e M sur la tangente à la In ^e en M.
nons une origine O' sur ta ^CRtoire et uix sens positif O'S br le» arcs. Soient, à l'instant t. Ha position du mobile, 5 la var algébrique de l'ai-c O'M, et ^la tangente dans le sens positif. Nous (ctenr vitesse MV est langent à la trajectoire et que .ilgébrique v, estimée posilivemenl dans le sens MT, est
Dans la Jig. 35 le mobile esl supposé marcher dans le -ens négatif; s diminue quand ( croit; v est négatif. Soient y rnccéléralion du mobile, y, sa projection sur MT, celte pro-
déjà vu que le
58 COURS I)K MKCANIOI'K-
jection étant positive si elle îi le sens Mï, nég^ative dans le cas contraire. Nous allons démontrer qu'on a
dv d* s
dt dt*
En efl'et, supposons d'abord la vitesse v positive ; alors le ; sens de i^ se confond avec celui de MT, et y^ est la projection de Y sur la vitesse ; or y est la dérivée géométrique du vecteur vitesse de longueur r = (^; la projection de y sur ce vecteur lui-même est donc (24)
dr dv ^ di ^ dt'
la formule est démontrée pour ce cas.
Supposons ensuite la vitesse r négative; alors le vecteur vitesse est en sens contraire de MT et y^ est égal et de signe contraire à la projection de y sur le vecteur vitesse; mais, en appelant r la longueur du vecteur vitesse, on a r = — r; la projection de y sur le vecteur vitesse est
dr ^ dv dt ~~~ di'
et sa projerlion sur MT est encore
dv ^^^=d7'
Nous avons ainsi l'expression algébrique de la projection de l'accélération sur la tangente.
On démontre que l'accélération y est dans le plan oscula-
teur en M du côté de la concavité de la trajectoire et que la
projection y,j de l'accélération sur la normale principale à
la trajectoire est
p désignant le rayon de courbure en M. Ce résultat est
l'extension à ane courbe quelconque du ihéorème que nous avons démonlré pour une trajectoire circulaire ; od peut s'en rendre compte approximativemenl en reinarquanL que, sur une petite étendue, an voisinage d'iin point M, «ne courbe quelconque peut être confondue avec un arc de cercle ajani pour plan le plan osculateur en M, et pour rajnn le rayon de courbure en ce poîni.
Si, dans un mouvement, on connaît ces deus compo-
santes langenlieUe ft et normal* lion Y f^n faisant leur somme gi l'accéiiïration est y = ^y^ -i- yl.
, on ol)tienl l'i
îcéléra
icHriqne: la grandeur de
33. Application à la discusaioa d'un mouvement sur une trajectoire donnée. — L'espression de l'accélération tangcntielle suffit à l'aire reconnaître la nature d'un mouvetnenl sur une trajectoire donnée :
"Siv.^
- est constamment i
ulle a
aussi et,
par suite, v est une constante; le naouvement est donc tel qt sa vitesse change de direction avec le temps, puisqu'elle res toujours tangente à la trajectoire, mais reste constante ( grandeur : c'est le caractère d'un mouvement curviligne uniforme. Réciproquement, si v est une constante, ^ est nul et par suite aussi -t-^ ; la condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement soil uniforme est donc
rf's dv
^'~ W= " rfZ ~ **■
a" Si -^ es! différent de zéro, le mouvement est varié, puisqu'on appelle ainsi tout mouvement qui n'est pas uniforme. Il peut être accéléré ou relardé si sa vitesse croît ou décroit en valeur absolue, c'est-à-dire suivant que le carré c"
6o COURS DE MECANIQUE.
augmente ou diminue. Le mouvement est donc accéléré si la : dérivée
d(v*) dv d^s
est positive; il est retardé quand cette même quantité est négative. On peut dire aussi que le mouvement est accéléré quand v et yr ont 'e même signe, c'est-à-dire quand les vecteurs vitesse et accélération tangentielle ont le même sens; il est retardé dans le cas contraire.
3® Si Taccélération tangentielle -tt^ est une constante y^, on a . . d^s dv
il en résulte que ç^ = Co-f- y^^, ^o et y^ étant des constantes; et enfin on peut écrire
ds d'où résulte
(2) 5 = 5^|j;^j/l- Yr<*,
la courbe est donc parcourue d'un mouvement uniformément varié.
Réciproquement, si la courbe est parcourue d'un mouvement uniformément varié, on peut passer par difFérentiation de l'équation (2) des espaces à l'équation (i)
l'accélération tangentielle est constante; l'équation (3), dans laquelle y^ est constant, est donc la condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement curviligne^soit uniform^ ment varié.
CINÉMATIQUE DU POINT. 6l
4® Si l'accélération tangentielle y^= -^ est de la forme
û?* s dv (i) Y/= Tj;i = -77 =«****c<^sw<,
dt* di
on peut écrire
i> = (^Q-H au) sinu)^
et
(2) s=5o-f-Vo^ — acoso)^;
le mouvement est alors un mouvement périodiquement unifornae.
Réciproquement, si le mouvement sur la courbe est périodiquement uniforme, on peut remonter de l'équation (2), qui le représente, à l'équation (i),qui est donc la condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement soit périodiquement uniforme.
Pour que le mouvement forme une vibration simple, la i même condition. est nécessaire, mais elle n^'est pas suffisante; il faut de plus que ç>o = o» Or y^ peut se mettre sous la forme
et, si i^0 est nul, on a
L'accélération tangentielle est, en un point quelconque M de la trajectoire curviligne, proportionnelle à l'arc s — s^ et dirigée dans le sens qui va vers le point fixe 5 = 5©. C'est la condition pour que le mouvement constitue une vibration simple.
