Équations du mouvement

Trajectoire. — Soient trois axes- de coordonnées O^, Oy, Oz et un point mobile M dont les coordonnées x, y, z •sont des fonctions continues données du temps

^ = ?(0^ r = X^O, z^'^it).

Fig. 36.

Les équations de la trajectoire S s'obtiennent en éliminant t entre les équations du mouvement prises deux à deux; on obtient ainsi deux équations qui représentent deux surfaces dont l'intersection comprend la trajectoire.

Chacune de ces trois équations exprime la loi des espaces

de la projection du mobile M sur l'un des axes; la première, par exemple, fait connaître la loi des espaces pour la projection [X sur O^.

Si l'on considère deux d'entre elles, les deux premières, par exemple, elles font connaître à chaque instant la position dans le plan des xy de la projection m du mobile M; l'élimination de t entre ces deux équations donne l'équation de la trajectoire s

de la projection m du mobile M dans le plan des xy (Jiff. 36). La combinaison des équations (i), deux à deux, fera donc

CINÉMATIQUE DU POiNT. 63

connaître la trajectoire et la loi des espaces de la projection de M sur chacun des plans de coordonnées.

Si par la projection s de la trajectoire S dans le plan des xy nous menons un cylindre dont les génératrices sont parallèles à O^, la courbe S se trouve sur cette surface; elle se trouve aussi sur deux autres surfâîîes cylindriques construites de même sur les projections de S sur les plans des xz et desyZf et dont les génératrices sont parallèles à l'axe Oy et à l'axe O^; la trajectoire S est donc l'intersection commune de ces trois surfaces.

'Projections de la vitesse et de l'accélération sur un axe ou un plan. — Soit M| la position du mobile sur la trajectoire à l'instant ^H- A^; portons sur MM|, dans le sens MMi , une

longueur MW égale à — , c'est-à-dire à la vitesse

moyenne du mobile pendant le temps A^; les projections de la grandeur géométrique MM^ sur les trois axes sont Ax, A^, As; celles de la grandeur MW, ou vitesse moyenne, seront

donc

A V Âï ' Â7 '

Si A^ tend vers zéro, MW tend vers MV ; on aura donc, pour les projections de la vitesse sur les axes à l'instant t^

d'T , , ^ dy , , dz , , , ,

Il résulte delà que la projection de la vitesse sur chacun des axes est la vitesse de la projection du mobile sur ces axes .

Si m elmx sont les projections de M et M^ sur. la trajectoire s projetée dans le plan des xy^ la vitesse du mouve-

, 1 i« • 1 corde mmi ,

ment projeté sera la limite de — > et comme la

corde mmi est la projection de la corde MM^, la vitesse du

mouvement projeté est la projection de la vitesse du mobile sur le plan.

Pour obtenir les expressions des projections de l'accélération sur les axes de coordonnées, construisons l'hodographe en prenant le point O comme origine fixe ; nous mènerons par ce point un vecteur OM' égal et parallèle à MV; la vitesse avec laquelle se déplacera l'extrémité M' sera l'accélération du mouvement sur la courbe ; or, d'après la propriété précédente, la projection de cette vitesse sur chacun des axes est la vitesse de la projection du mobile sur ces axes; les coor-

données du point M étant X, y, z, celles du point M' sont -^ > -^> -y-> et les vitesses de ces projections sont

les projections de l'accélération sont donc les dérivées secondes des coordonnées (i) du mobile prises par rapport au temps.