Mouvement d'un point
1° Lorsque les projections sur trois axes sont des mouvements uniformes. — Soient
dz
les équations des espaces et des vitesses de trois mouvements rectilignes uniformes suivant les axes Xq, ro? ^oî ^, v\ ^\
CINÉMATIQUE DU POINT. 65
étant des constantes. Les équations de la trajectoire sont celles d'une droite
x — tq y—XQ z — z^ = — - — = — - — .
La vitesse est à chaque instant la diagonale du parallélépipède construit sur les axes en portant, à partir du point O, des vecteurs ç>, ç' et (^" convenablement dirigés ; elle est donc constante en grandeur et en direction et le mouvement est rectiligne et uniforme.
2° Lorsque les projections sur deux d'entre eux sont des mouvements uniformes, la projection sur le troisième étant un mouvement uniformément varié. — Soient
• I . dx
les équations du mouvement; x^^ yo, Zqj (^, v^, ^^ et y étant des constantes. La trajectoire est une parabole dans le plan
y—yo z — zq
parallèle à l'axe des x.
Ses projections sur les plans des xy et des xz sont des paraboles : .
P . .1 /Z — ZoY
L'accélération a pour projection
dt^ "" ^' dt^ ~^' dt^ '~^'
i:iil.H» ne HECAKIQUU.
Ses projections sur l'axe àcsy cl sur l'axe des z étant nulle: elle est parallèle l'i Taie des X, fîlle est de plus égale en deur à Y et, par suite, l'accélération du raouveincnl r^sultan est égale et paj-allf le à l'accéliVdtion de \a cotnposanle unifoi mément varit^e du miiuvemenl.
Itf). Vibrations elliptiques formées par deux, vibra tions simples rectangulaires. — Cnosidérons deux mouve ments viliratoires simples qui s'exécutent simullanémenl e an point O sur deux axes de coordonnées rectangulaires O, et 0>'; l'L^tjualion qui donnera l'élongation du premier étant pax exemple,
jsiwf + a),
eteell>-.li<
nd
l'éliminalidii i\i:. l entre eus deux équations donnerait uni relation entre x ety qui représenterai! la trajectoire du poin vibrant dans le plan.
Cette élimination est des plus faciles si nous supposons qui les périodes T et T' des deux mouvements vibratoires son égales; car alors, puisque l'on a
Les équations développées
On en tire facilement les valeurs
a6.iD(.-p)
CINEMATIQUE DU POINT.
et en substituant dans
sin* (Ait -h cos* o) / = 1
et simplifiant, il vient, en définitive,
aî^ï-h 6»a72— 2 ab xy cos {7. — P) = a^b^ sin«(a — P).
Cette équation représente dans le cas général une ellipse; on dit alors que la vibration est elliptique.
Dans quel sens la molécule vibrante décrit-elle cette trajectoire? L'ellipse est ^comprise entre les droites -i- a, — a, H- 6, Fig- 37.
— b parallèles aux axes {Jîg. 87); figurons-la, et soit P le point de contact avec la droite A ; on obtient ce point
en prenant
oit-hoi =0, cos(tùt -+-«) = i;
il en résulte que y se réduit à y = b cos( p — a) = AP.
Si nous 'donnons un accroissement au temps, on a
posons cette quantité égale à s^.
On a
y = b cos(P — a H- £*).
Si sin(P — a)<;o, y croît, P vient en P', la molécule décrit l'ellipse en sens inverse des aiguilles d'une montre; rotation gauche.
Si sin(|3 — a) >>o, j^ décroît, la molécule tourne dans le sens des aiguilles d'une montre ; rotation droite.
68 rtovut BB H&uUiiora.
Celte ellipse esl cvîdeninieiH décrite dans le temps T d'ï période, car, si l'on augmeote (de T, :r eljj' rcpreiment mêmes valeurs, puisque les arcs sont augmentés de ^7t; c te voit de suite en écrivant les équations
La position de cette ellipse dépend de la différence phase. Si l'on a
il s'ensuit l'équation se réduit à
tl"z'-J.<ilix}-^o;
la vibration redevient recliligne, elle esl représentée pa droite double
c'est la diagonale du rectangle.
Si
le cosinus étant égala — i elle sinus nul, la vibration s'eETecti suivant une autre droite symétriquement inclinée par rappo à l'aie des x
L'ellipse est rapportée à ses axes dans le cas où
On a, en elTet,
aî j/«+6'j;>= ti'6'
CINEMATIQUE DU POINT. 69
et, si les amplitudes a et è sont égales, la trajectoire prend la forme d'un cercle
on dit que la vibratîoji est circulaire.
Dans le cas général, les projections de la vitesse sur les axes sont
-7- = — ao) sin(tof -h a), -^ = — 6 0) sin ( wV H- p ) .
Les projections de l'accélération sont
dix
-T-j- = — ato' cos(a><H- a) = — w^a?,
Il en résulte que l'accélération totale est
Si l'on désigne par p le rayon vecteur du point P, dont les coordonnées sont ^ etj^, on a
p = /a?* -4- y^ et
l'accélération passe donc par le point O, elle est dirigée vers le
centre suivant le rayon vecteur, et est proportionnelle à ce
vecteur.
Dans le cas de là vibration circulaire, on retrouve la formule
déjà établie
37 . Mouvement le plus général à accélération nulle. — Si l'accélération est nulle, ses projections le sont aussi ;
r.nvKS UE MÉC*NIOTE.
» adoni: le sysl^mi; (réqiiatîoiis
,fr' ""• de ''
Il en résulte qui
t', ('', v" ëlunl drs ciiuslanles-
Par suite, les projections de la vitesse surles lroi?.axeâ soi des constantes, ta vitesse est constante; on a enfin
d'où i-Û-suUenl U
La trajectoire est donc une droite et 1 définitive, rectilïgne et unifortnc.
D. - DIAGHAMMES DTS MOUVEMENT.
{. Diagramme des espaces. — Soii5=/(() Tétjuatio d'un mouvement curviligne. On prend deux axes de coo données rectangulaires, l'axe des temps 0( et celui di espaces Os; on porte en abscisses et en ordonnées les valeui correspondantes de ( et de s, mesurées à des écliellea détei minées; on obtient ainsi une courbe qui représente phiquement la loi du mouvement; on l'appelle la coure des espaces ou le diagramme des espaces. C'est la courl qui serait représentée en Géométrie analytique par s^^/(^t'
Repos. ^ L'étal stationnaire d'un corps au repos à un
CINBIiATlQlt& nu POINT.
Jpstancp Sa do l'origine des espaces est ligiii paraltële à l'ase des temps.
I MouTemeut uniforme. —
nformc
Kst figuré par i
%) qui
Pes s en un pci
ae droite Ali coupe l'axe ut A tel que
Pou
ela
Fis- 3if
I^urée par le coefficient an-
kilaire de la droite Alî, c'est-à-dire que l'on ait i- ^ Langa, il
iiffîl d'adopter une même longueur pour représenLer l'unité
é temps et l'unité d'espace; d'ailleurs la vitesse est donnée
r la différence BC =; ij — s, des
X abscisses dont la dilTéi
s espaces correspondant à e ti — t,:= I est égale à l'unité.
I Oraphique des chemins de fer. — Ce sont ces principes
s élémentaires que l'on applique au graphique des chemins
E fer; la trajectoire des trains, c'est-à-dire la voie ferrée, est
lourbe gauche; on représente sur une seule feuille la
trche de tous les trains sur la voie ascendante et sur la voie
escenâante pendant un intervalle de vingt-quatre heures,
1 considérant leur mouvement comme une succession de
Mouvements uniformes séparés par des repos.
I Sur l'axe horizontal des temps on figure par vingt-quatre
-vdlles égaux les heures de minuit à midi et à minuit;
Lacun de ces intervalles est divisé en six parties égales corres-
bndant à dix minutes, et l'on trace une première série de
prallèles à l'axe vertical des espaces passant par les points
i déterminés. On porte ensuite sur l'axe vertical une
oitc de longueurs proportionnelles aux distances qui séparent
fies stations dont on inscrit les noms en face des points qui
les figurent et l'on trace les horizontales passant par ce pointa; sur ce quadrillage on représente pour chaque Lr^ut 1° la durée de ses arrêts à chaque stotionTpar un'segmeat d\ droite parallèle à l'ase des temps; 9.° la marche du traïi entre deux sLatinns qui se suivent par la droite qui ;" l'heure de difpurt de la première à l'iieurc d'arrivëe à la seconde.
Ce graphique fait donc connaître pour chaque train l'heun d'arrivée et l'heure de di^parl à chaque station, sa vitess) relative entre les stations, et sa vitesse compai-ée à celle de autres trains, d'après l'inclinaison des lignes figuratives, e enfin les lieux et les heures de croisement des trains mon' lanls et des trains descendants.
La^^. 40 montre un exemple de ces graphiques.
Mouvement varié. — L'équation du mouvement est dan tous les cas Véquation du diagramme. Dans le cas d'ul mouvement varié, s =/({), f[t) étant une fonction coalinui quelconque de la variable /; le coefficient angulaire di la tangente en un point de la courbe ajant pour valetu -j- z^/'f^t) fait connaître, en grandeur cl en signe, la vïtessi du mobile à l'instant l; et il est de même évident que It coefficient angulaire ,' ^ " f - ^= Tj "^^ 1* corde qui joint deui points quelconques fait connaître la valeur moyenne de h vitesse dans l'intervalle de temps correspondant.
Les points où la vitesse s'annule sont les points où la taa gente est parallèle à l'axe du temps. Le signe de l'accéléralîoi tangentielie est donné par te sens de la concavité ; car, dan! une courbe s^/(^l') (5 ordonnée, ï abscisse), la concavité es tournée vers les s positifs quand ^-j- ou ft est positif, vers les négatifs dons le cas contraire. Les points d'inflexion sont le points où l'accélération tangentielie est nulle.
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