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iii;iliMlîii ipi

CODS8 DE MBQANrQIIS.

HoaTement uniformément varié. — Si le mouvement'^ ^'Unir»rmémenl varié, la courbe e^l du serond degré et^ f sou é(]ualioii

Enn voit que c'est une parabole coupant l'axe des s au point

I et yt ^onl positifs, la courbe est représentée

la Jig'. 4>- ^cs points

cl B d'ordonnées Sg

pour abscisses I ^ o

t ^= — -^; l'abscisse

sommet S est /i =

son iinlonn«*e est

Fis. (..

On voit que le somm Cest le point représentatif du point et de l'instant où la vites I du mobile s'annule, remarque conforme à celle qui résul 1 de la discussion du trinôme exposée au n° 12. Toutes les le t du mouvement se voient de même sur cette courbe. Si f vai I de — 00 a + OD, le point figuratif du diagramme correspoi [ à des valeurs de s d'abord décroissantes jusqu'au point ' qu'il atteint pour / = /,^= — — ; la vitesse est négative com \ l'est le coefficient angulaire de la tangente, le mouvem est retardé puisque la vitesse tend y '' zéro. Le point S du diagramme coït

pond donc au point O, de la traf ^ foire (Jig. 4»); à partir de ce point croit, la vitesse augmente et le moU

luent est accch Le diagramm

aleur OP t

.TIQtJBDCTÔiNT.

is grande que s,, il existe deux valeurs du temps, ce qui I mvc que le mobile passe à deux époques dîslinclea i

ml point de sa trajectoire; les tangentes Irigononiélriques-B !5 angles que font avec l'axe des temps les lan[,'entes menées T I Q et en Q' sont égaies et de signes contraires ; les deux | lesses correspondantes sont donc égales et de signes conlires : résultats déjà vérifiés.

Enfin, l'accélération tangentielle étant toujours positive, la^ urbe tourne sa concavité vers les s positifs.

39, Diagrammes de la vitesse et de l'accélération tan-

[eutieUe.

VitesBB. — A l'aide de deux axes de coordonnées rectan-

aiaires, en portant en abscisses les temps et en ordon~j

es les valeurs correspondantes de la vitesse mesurées i

s échelles convenables, on obtient de même un dia-

''amme des vitesses; c'est le tracé de la courbe ayanl pour I

înation u =:/'((),

L'état de repos est figuré par l'axe des t, la litessc étant J aile quel que soit i; le raouvenienl uniftjrme, de vite5sé> inslanie Uo, est figuré par une *ile parallèle à l'axe du temps ^'i

sapmt l'axe des t- en un point B i que OB =; ^o en dessus ou en ïsous de l'origine suivant le Cfl est positif ou négatif ig. 43)- Le diagramme des esses d'un mouvement varié

Bne courbe, puisque la vitesse

inge de valeur à chaque instant; la vitesse étant la dérivée'^ l'espace par rapport au temps, si l'équation des espaces! ,par exemple, mise sous la forme s^/(t), où /(() est vaiM

■nome développé suivant les puissances croissantes de ( T

COURfi DE UECAMODE.

I ei de <legrë n, réqtiatîoii dcb \iiesses se mellra ^ous la foi

I et le second membre sera un polynôme de degriS n — i .

Le coefficienl angulaire de la tangente en un point i (. diagramme des vitesses aj-ant pour valeur -r- = -j-j fait t I naître en grandeur et en direeliun l'accélération tan^ ' tielleYf du mobile à l'instant l.

Si le mouvement est uniformément varié, lequalion l'itesses est

led

.lagrai

de:

vitesses est doi

une droite ; si Co et yt >

positifs, celte droite cot

comme dans la Jig.

l'axe des v au poini

d'ordonnée f,,; si ( i

de —00 ù +00, le

gramme montre que li

tesse d'abord très grai

mais négative, tend

zéro; l'accélération tan

tielle étant par hjpot

' positive, r et y, sont de signes contraires, le mouvez

est uniformément retardé. Au point B d'abscisse (i^-

L correspond mie vitesse nulle ; ce point B du diagramme

vitesses correspond au point S du diagramme des esp

I et au point O) de la trajectoiie. A partir de ce point la vil

I est positive et augmente au delà de toute limite; le mo

ment est uniformément accéléré.

On étudierait de même le cas de f^ positif et ft né y, ^ — fj, représenté par la Jig. 45 et par l'cqualioii

CINÉHATtODB Dtr POIKT. f^

I Le coefîlîcieni angulaire de ce fliagramme recliligne fatïa

naître la valeur de l'acptératioD langenlîelle en

et en signe.

I La vraie valeur de ^t ■ sera ëgale à tangaL qun [ l'unité de temps et l'ui de vitesse sont reésentées par une même Eigueur; dans ce cas, facturation langentielle est Dnée par la différence de deus ordonnées correspondant ) ux abscisses dont la différence est égale à l'unité.

accélération tangentielle. — ËuBn on peut construire^ ■1^ la même façoo un diagramme des accélérations langea-^

" ^llesY( en portant en aLscisses les temps et en ordonnées le^l atîcéléralions tangentielles correspondantes.

L'état de repos cl le mouvement uniforme caractérisé pai

i»xie accélération nulle à toute époque sont figurés par l'axe!|

<i es I. Le mouvement uniformément

Warié, caractérisé par une accélé- ^'S- 1^-

ktion tangentielle constante, est Y

feprésenté par une parallèle à ■^-

e des t tracée à dislance yi au-

susou au-dessous de l'origine,

inivaiil que yt est positif ou négatif

Le diagramme des accélérations "^ B tangentielles d'un mouvement varié

I '=/{/) est une courbe ayant pour équation, par rapport aus9 |yiesO( et Oy,

L'élude simultanée de ces quatre courbes, la trajectoire etfl

les diagrammes des espaces, des vitesses et des accëlëralion tangenli elles, permet de se rendre couipte des lois du mouVl ment par la seule inspection de ces figures géométriques.

Il est important de remarquer que, si le mouvement cons déré est rectîligne, raccclératimi tangentielle fi n'est autri que l'accélération lolule du mouvement; à cette différem prés, tout ce qui précède s'applique, en particulier, au moi vcment reclilignc.

40. Diagrammes d'uE dique simple I3ans cela vilessf et l'accéléralio soïdales ou cosinusnïdales

mouvement rectiligne pério-

sortes de monvemenl l'élongation

totale étant des fonctions sin'

c'esL-à-dire des fonctions périi

diques simples, ou encore des fonctions harmoniques, le diagrammes construits d'après la méthode générale indiqui sont des sinusoïdes ou des cosinusoïdes ; les retalions i position et de grandeur de ces courbes font connaître les loi du mouvement qu'elles représentent.

Mais dans l'étude des mouvements vibratoires en acoustiqa ou en optique, on emploie, pour représenter ces cOurbes,ub méthode dite cinématique; l'application de celle mêa) méthode de iiguratîôn géométrique à la représentation et l'élude des grandeurs périodiques qui caractérisent les cou rants alternatifs en fait saisir la généralité et l'importance.

Cherchons à figurer d'abord la vitesse c = b)c sin tu/; pou cela, traçons une droite OA faisant avec un axe fixe Ot angle lat =^ -=- et portons sur cette droite (^/îg. 4?) un longueur OA = uia; l'ordonnée OP du point A a pour ei pression

OP = 0.(1 sino./.

Cette projection du vecleur OA représente donc, à l'în slantl, la vitesse c.

Imaginons que ce vecteur tourne dans le sens inverse de

cmEMATIQUB DD POIHT.

aiguilles d'une montre autour du point O, avec une vitess^V 6i>^= W uniforme. Supposons de plus qu'il soit encoïncidei avec l'axe Of à l'origine des temps ; la projection de ce vecteO) Kig. h-

C'J^V (lia '' '\

chaque instant en grandeur

I tournanl sur l'axe des y et en signe la vitesse u.

On peut d'ailleurs tracer la sinusoïde, diagramme ordinaire des vitesses, en se servant de ce vecteur tournant comme le montre la figure.

vitesse est la dérivée de Télongation x par rapport au raps, et avec le choix d'origine que nous avons fait {n" 13)

Le vecteur figuratif de l'élongation sera donc déterminé 1 par sa longueur « et il devra présenter, par rapport au vecteur

figure la vitesse, une difTérence de phase -. c'est-à-dire qu'il sera perpendiculaire à ce dernier dans le sens que montre la figure; on donne à cette différence de phase le nom de décalage; ainsi le vecteur élongation présente, par

rapport, au veclci projection ftui' l'a

1 décalage en arrière de - . sa I

og = «

fera connaiLre à chaque insLant l'élongalioD; on a d'aillnurs en U-uils el en points le diagramme ordinaire fîgunmtfl l'éqiiatioD du mouvement.

Ce qu'il importe de retenir, c'est que, pour ces foncliona périodiques, eu passant de la dérivée à la fonction primitive,! le vecteur prend ua retard-; inversement le vecteur prend] une avarice - lorsqu'on passe de la fonction priinilîve à ]» dérivée ; 11 en résulte, puisque l'accélération est la dérivée d*l la vitesse, que le vecteur OC, dont la projection sur l'axcj vertical OR = a(i>'cos<iJi représentera à chaque instant l'accér lération totale, sera perpendiculaire sur le vecteur OA et « avance de - sur lui, comme le montre \&Jig, 4'J'r 'a t en points est le diagramme des accélérations.

On peut comparer ces résultats géométriques à ceui déjà! résumés parle Tableau de la page 28,

On reconnaîtra d'ailleurs aisément, sur la figure, que ces! constructions ne sout, en définitive, qu'une application du| principe de rhodographe.