Somme de mouvements périodiques parallèles et

de même période Celte figuration coniluitù une méthode J

géométrique simple d'addition des mouvements vibraloiresj parallèles el de même période.

Soit à ajouter deux mouvements vibratoires dont les équ; lions sont

CINÉMATIQUE DU POINT. 8l

traçons un vecteur O ai = a< faisant avec une droite prise pour axe des temps et origine des phases un angle aiï 7=r (^fig* 48) et

Fig. 48.

un second vecteur O «2 = «2 faisant avec le même axe un angle air^-l-a, la diagonale OA = A représente l'amplitude de la fonction résultante. On a en effet

A2 = a} + a| + 2 «1 «2 cos a,

équation identique à l'équation (3) (n** 16).

La différence de phase delà fonction harmonique résultante est définie par l'angle 8 = AOai 5 on a en effet

tangS =%= .^îii£f^ OP ai-i-a2Cosa

équation identique à l'équatîon (4) (n** 16). On voit d'ailleurs que la projection OQ sur l'axe vertical

OQ = A sin ( 211 - + j

fait connaître à chaque instant la fonction harmonique X comme le montre l'équation (2) (n*^ 16).

Il est donc évident que, si ai, a2, A, invariablement liés,

tournent avec une vitesse uniforme w = -7=7 > leurs projections

sur l'axe des x feront connaître à chaque instant les fond composantes et leur résultante.

On voit que le parallélogramme que nous venons de ( struire suffit, pendant sa rotation, à faire connaître les élém du mouvement résultant; on peut cependant employer le gramme ordinaire et tracer les deux sinusoïdes S et S' cl résultante S", obtenue {Jig- 49) en faisant la somme des or< nées correspondant à une même abscisse.

D'une façon générale, on pourra composer de la m

Fig- 49-

Fig. 5o.

manière un nombre quelconque de mouvements vibra te parallèles de même période : on représentera chaque mo

ment vibratoire par droite de longueur éga l'amplitude a\ compte partir d'une origine lix

kfiS' ^^)> ^^ dont la di tion Oa^, avec un axe O^, représente la p

-7= — h ai ; l'amplitude

mouvement vibratoire

sultant de la superposi

de tous ces mouvement

représentée par la ré

tante OA du polygone construit avec toutes ces droit*

Fig. 5i.

CINÉMATIQUE DU POINT. B3

i' Single que fait OA avec O^ représente la phase du mouvejn ent résultant.

Ces constructions sont d'ail- 1 ^ ^rs aussi applicables aux vit^sses et aux accélérations.

Si nous composons par e:x:emple trois mouvements vibratoires de même amplitude, mais dont les phases diffèrent

de —t la construction précédente (Jig- 5i) montre que la résultante est nulle puisque le polygone est fermé.

42. Diagrammes du mouvement périodiquement uniforme. — Les équations analogues à celles du numéro 19 :

s ^SQ+s^^t-^a sin(u)^-H8), »'=i'o4-aw cos(to« H- 5), Y« = -- aa)2 sin ( to ^ -h 8 )

sont les équations des trois diagrammes des espaces, des vitesses et des temps qui caractérisent le mouvement périodiquement uniforme sur une courbe; en les rapportant à un même système d'axes de coordonnées rectangulaires on obtient les

trois courbes de la /ig, 52, où l'on a supposé SQ^^^o^aelo positifs .

CLUi

Le diagramme d'accélération y^ est une sinusoïde qui coii j^e

l'axe des temps au point A à distance ; on a figuré 1^

courbe correspondant à une seule période; elle est d'abord au-dessous de l'axe des / et son ordonnée minimum est — a (o^ ' Pour tracer le diagramme des vitesses, on a mené Bpparal-"^ lèle à l'axe des t à distance ç^; la courbe est une cosinusoïder

qui, rapportée à ce nouvel axe, présente au point d'ab-

scisse une ordonnée aw.

Enfin, pour tracer le diagramme des espaces on figure d'abord la droite

qui coupe l'axe des s au point C d'ordonnée OC = Sq et qui fait avec l'horizontale un angle a tel que l'on ait

tanga = i^o;

à partir des points de cette droite déterminés par les valeurs de t on portera des longueurs égales à a sin{(ùt -+- 8); on obtiendra ainsi une sorte de sinusoïde rapportée à un axe oblique qui présentera des tangentes parallèles à cet axe aux points correspondant au quart et aux trois quarts de la période.

HÉCANIQUE.

MËCAiNIQUE.

A. — POINT MATÉRIEL UBHE.

43. Axes fixes. — On rapporte les positions de tons Icd ttorps à un syslème d'axes qlie l'on appelle, par définition, px£j absolument Jixes : ce sjsléine d'axes est un Irièdre ]trirectangle invariablement lié aux étoiles appelées étoiles

. lie tommencer par le prt d'abord le mouvement d'un

4Î. Point matériel. — Ali e le plus simple, on étudie ^rtionde matière assez petite pour qu'on puisse, sans-erreur sitle, déterminer sa position comme eelle d'un point géo- Bétrique. Une telle portion de matière s'appelle un point

atériel. On considère ensuite les corps comme formés t

I réunion d'un très grand nombre de points matériels,

KEh même temps qu'il change de position un point maté

1 peut tourner et se déformer; mais on ne s'occupe, dai

f qui suit, que de la position du point et non de la mani^

I peut tourner et se déformer.

l L'observation et l'expérience montrent que les points n

kIs agissent les uns sur les autres : iiinsi les points matériels

pï constituent un corps appelé solide agissent les uns surleâ

!j*es de façon à maintenir, à peu de chose près, la forme dtu

■ corps quand on cherche à le déformrr; deux points électriséM

s'attirent ou se repoussent ;

iS, Principe de l'inertie. — Un point matériel livré à lui-même a, par rapport aux axes fixes, une accéléraCioia nulle. D'aprèsce principe, un point mali^riel livré à lui-mêmw fst, ou bien immobile, ou bien animé d'un mouvement recti-H

Ilf;nc Pi iinirormc (n" 37). Les Jcui cas peuvent se présent suivant Ips ronditions initinle^ tinns lL-si]iie1les on jtlace 1 pdiot : 1° on peiil supposer le poinl U\r6 à lui-même sanl vitesse, alors il reste immobile; a" on peut supposer ipj'ft livre le point û lui-m^me appi^s lui avoir communique, pa un procétii* quelconque, une vitesse V, par exemple aprÈ l'avoir lanet^ avec la main; alors il conserve indi^'Jini ment ceti vitesse en grandeur, direction el sens, et il prend un mouvi ment rcctiligne et uniforme de vitesse V.

46- Force. — D'apn^s le principe de l'inertie, si l'oi observe un point mati^riel possédant une acc<!lëratian, t point n'est pa* livrt' à lui-même; d'autres points agissent si lui. L'accëidralion que possMe le poinl est donr l'elTet d'ui cause extérieure A lui; cette cause est ce qu'on appelle ni force. L'effet d'une force sur un point est donc de Un irt primera chaque instant une certaine accélération -[■- On ne s'occupe pas en Mdcauique et en Physique de l'essence des forces qu'il est impossible de péni^trcr; on cherclie, simplement, à prévoir et à calculer les effets des forces. Dans ce but, on caractérise el l'on mesure chaque force par l'effet u'elleproduit sur un point ma tciicl, c'est-à-dire par l'aceélé- ■ation qu'elle lui imprime.

47. Masse. — Quand un point matériel déterminé, soupstis à une force, possède, à un instant /, une accélération -j"^

■ on représente la force qui agit sur lui à cet instant par um rvecleur F ajuut pour origine le point, pour dti'ecLion el sen& K'ia direction et le sens de l'accélération y et pour longueur la ■produit de y par un coefficient positif m, caractéristique d*

■ point et appelé masse du point :

Une force est donc représentée par un vecteur; on dit qu'cl

a pour poinl d'applicalion le point matériel sur lequel € agît, qu'elle a pour direction et sens la direction et le sens vecteur qui la représente, enfin qu'elle a pour intensité le-l aombre qui mesure la longueur du vecteur. On peut rcsumeri ce <jui précède en disant qu'une force F, agissant sur un point ] matériel, lui imprime une aceéléralion v, liée à F par la relation géométrique

(F) = mCr),

Lie en grandeur, direelion et sens.

Quand par la suite nous parlerons d'une force F appliquée j

point, il faudra toujours entendre par là un certaii

défmi en candeur, direction ou sens.

Remarque importante. — Ces faits ne sont rigoureusement I is que poiu' les mouvements rapportés au système d'asea ■( is indiqué. Mais ce n'est qu'en Astronomie o\i dans le cas J ielqu.es expériences tout à fait exceptionnelles (comme lel lâole de Foucault, par exemple) que l'on a besoin de se J HT de ce système d'axes. Dans l'immense majorité des cas,, est permis de prendre un système d'axes lié à la terre : il'J résulte aucune inexactitude appréciable, comme le 1 pfi l'observation, d'accord avec la théorie des mouveents relatifs.

iS. Pesanteur; poids : i" Point matériel. — Un point I

itériel lancé dims le vide prend par rapport à la terre une T icélération g, constante en un même lieu, dirigée suivant la | icale descendaule du lieu. On dit que cette accélération J idne à ta pesanteur ; eUe varie avec la latitude et l'altitude; ] ÎSris, elle est représentée par le nombre g8i, l'unité de Ion-' MOr étant le centimètre, et l'unilé de temps étant la seconde 1 ! temps moyen. On en conclut qu'un point pesant est, eitl lUïttdéterminé, soumis à une force constante dirigée suivant 1 Verticale descendante; cette force s'appelle le /^oïrfsciiso/u j

(lu point. L'intensité du poids absolu d'un point de masse m <*st liée à l'accélération g imprimée par ce poids au point par la relation

le coefficient m étant une constante caractéristique du poiat matériel considéré. Ce poids absolu varie comme g avec la latitude et l'altitude.

4" Corps quelconque. — On regarde un corps quelconque comme formé par la réunion d'un très grand nombre de points matériels. La masse totale M d'un corps est la somme de^ masses /W|,/W2, ..., nia des points matériels qui le consti^ tuent

M = mj H- /?i2 -H • • • -H nin*

Les corps que l'on a à considérer, en Mécanique appliquée ou en Physique, ont des dimensions assez petites pour que la valeur de l'accélération g^ due à la pesanteur, soit la même en grandeur, direction et sens dans toute leur étendue. Les poids absolus des divers points matériels constituant un de ces corps sont alors

leur somme

s'appelle \e poids absolu du" corps au lieu considéré ; d'après les valeurs de /?<,/?2, ...^pnen fonction des masses, on a immédiatement

P = (mi-f- mj-h. . .-h mn)g = M^.

Le poids absolu d'un corps en un lieu est donc le produit de la masse totale du corps par l'accélération due à la pesanteur en ce lieu.

Quand un point matériel est retenu par un obstacle, il peut

rester immobile ; par exemple, un point pesant placé sur une ; table ou sur la main de l'observateur reste immobile ; cela tient à ce que l'obstacle exerce aussi sur le point une réaction OM force, et cette force empêche le poids absolu de mettre le point en mouvement. •

Le point matériel exerce alors sur l'obstacle une action y o\jl force pressante, ou pression totale, égale à son poids absolu. C'est ainsi qu'on peut, très grossièrement, comparer entre eux les poids absolus des corps par la sensation de l'effort musculaire nécessaire pour les empêcher de tomber.

49. Les trois unités fondamentales. — En Géométrie on n'a à considérer qu'une unité fondamentale, l'unité de lon- ! f ueur, d'où l'on déduit ensuite les unités dérivées de surface et de volume.

En Cinématique on se sert de deux unités fondamentales : /'unité de longueur et celle de temps, et l'on en déduit les unités employées aux mesures' des autres quantités, vitesse, accélération.

Enfin, en Mécanique, il faut employer trois unités fondamentales, les unités de longueur, de temps et une troisième unité qui est, suivant les deux systèmes en usage, une unité le masse ou une unité de force.

30. Système C. G. S. — Ce système repose sur ce fait :[ue les masses des corps sont proportionnelles à leurs poids ibsolus en un même lieu. En effet, soient m, m\ mi' ^ ... les nasses de certains corps; jd, ^', p^' ^ ... leurs poids absolus 3n un lieu où l'accélération due à la pesanteur est ^ : on a

p = mg, p'^m'g, p''=m''g, ...;

les quantités /?, p'-^p"^ ... sont donc proportionnelles à m^ m'y m"^ ....

Si

p = p\ ni = m' ;

Dl's lur.s ou peut, ù l'aîilc d'une Lalance, comparer cnt elles les masses des corps.

Lorsqu'on pt^se un corjis dans le vide par la inélhude iei double pesée, on le place dans un plateau d'une balance, i lui fait équilibre avec une tare; puis on enlève le corps le remplace par des poids marqués de façon à rétablir l'éqi libre. Wans ces conditions, /e corps a même masse que l poids marqués, lin effet, il est évident que le corps et 1 poids marqués faisant successivement équilibre h la mfin lare exerceront la même action sur le plateau ; le corps les poids marqués ont donc même poids absolu et par suî même masse.

Prenons alors comme unité de masse la masse d'un cent mèlrc cube d'eau au maximum de densité; cette uni s'appelle le gramme-masse. Tous les corps qui, dans méthode de la double pesée, font équilibre à la même tai ({u'un poids marqué i gramme, ont même masse que ce poid marqué, c'est-à-dire même masse qu'un cenlimètre cub d'eau ; ils ont donc une masse i . Tous les corps faisant équi libre à la même tare qu'un poids marqué 2 grammes ont pour masse 2, etc. Tous les corps faisant équilibre à la même tare qu'un poids marqué n grammes (n entier ou fractionnaire) ont une masse mesurée par le nombre n.

Conformément aux principes adoptés par la Commissîoiv Eri tannique en 1 8^ 1 et par le Congrès des Électriciens en 1 88 1 , on a pris comme unités fondamentales : pour la longueur, 1 centimètre C; pour la masse, la masse du gramme G; pouri temps, la seconde de temps moyen S.

Ce sj'stème d'nnités est le système C. G. S. (cenlimètr gram méditasse , seconde).

HBCAniQUE.

bité de force dans le système C.G.S. Dyne. — Une | ■qu'on sait mesurer les longueurs, les masses et. les lemps, paît mesurer les fondes d'après la relation fondamentale

I lie l'intensité de la force à l'accélération qu'elle împrune I % point de masse m. L'unité de force sera la force exprimée ' fie nombre i ; pour avoir F = i il suffit de faire m = r

Dans le système C.G.S. l'unité de force est la force qui, Isant sur l'unité de masse, un gramme-masse, lui imprime [bélération i, les unités de longueur et de temps étant le

Btimètre eL la seconde. Celle unité de force s'appelle la

Cette unité est très petite par rapport aux. forces que ptntne peut développer avec son syslt^mc musculaire. Ainsi, bris, le poids absolu de i gramme-masse (cenlimèlre cube fciu) est g8i dynes, car ce poids p imprime à la masse i ne accélération de ySi unités; on a dès lors

p = I X981 =981 dynp*.

La dyne est donc un poids de l'ordre de grandeur du milt^i fframme-p oîds .

L'effort musculaire qu'on fait en soutenant un poids de i^H fsi de 98 1 000 dynes, ou sensiblement une mégadyne.

Poids commerciaux. — Il résulte de ce qui précède gugj les quantités appelées jooj'rfj dans le commerce ne sont pas de» |)oids, mais des masses; le poids commercial d'un corps € grammes n'est autre chose que sa masse dans le système C. G. S;J

51. Deuxième système. — On emploie frcquemmentJ daiis les applications, un deuxième système d'unités dans lequel'* on considère, comme unités fondamentales, les unités de Ion-

gueur, de/orce el de temps, l'imilé de masse devenanl ali une uniti! d^rivt'e.

Le sjst^mo le plus souvent employé est le siiivanl ;

Unité de longueur mètre;

Uniii! de force kilogramme- force ;

Unité de temp-' seconde,

le kilogramme-poids ou kilogramme-force étant le poi absolu d'un litre d'eau à Paris. 11 est indispensable d'ajoui dans la définition de cette unité de force, que te poids abs est pris en un lieu déterminé, Paris par exemple, car le po

absolu d'un corps change avec la latitude el l'altitude.

Unité de masse dans ce système. -~ Dans ce système, niasse d'un point c^t di'linic par la formule

p étant le poids absolu évalué en kilogrammes-forces et l'accélération due à la pesanteur. Si l'on fait;) = g-, on a m L'unité de masse est donc la masse d'un point dont le po absolu est "■ kilogrammes-forces.

A Paris, g étant, avec ce chois d'unitésfondamentales, é à 9,81, l'unité de masse sera la massede 9''', 81 d'eau dislill

L'inconvénient de ce sjslèine est que l'unité de force, kilogramme-force, est une quantité dont la définition e» l'indication d'un lieu déterminé à la surface de la terre; plus, la niasse d'un corps, qui est une qualité physique înl rente à ce corps, est exprimée par des nombres différen suivant que le kilogramme-force est défini en un lieu l'autre de la terre. C'est ce qu'on évite dans le système C.G. pour lequel la définition des unités n'exige l'îndicati d'aucun lieu déterminé.

Gramme-force. — Le ]

le-force est le poids absolu d'

BECMÎIQUB. gî

centimètre cube d'ea gramme-force que n

u à Paris ; c'esL la milHtVrae pariit- du klio- 0115 venons de définir.