Mesure statique des forces Le sjstème de mesures
'jiiî consiste a prendie un poids absolu pour Tune des unités londamenlalcs a élé le premier employé. Cela tienl à ce que l'iiomnie s'est d'abord fait une idée de la force par l'efforl qu'il est obligé de faire pour siipjiorter un fardeau; d'où la comparaison des forces aux poids. Cette comparuiaoa peut se faire d'une manière plus précise à l'aide du dj-/ia/iiomètre(fig. ôi'j.
Prenons un ressort de forme quelconque, dont la flexion peut être mesurée par une graduation; suspendons à ce ressort, à Paris, des poids de 1"^, de a^^, etc.; nous pourrons noter les flexions correspondantes.
Alors pour trouver l'intensité d'une force quelconque agissant sur UD point matériel nous pourrons fixer le point à i'exlrémité du ressort, convenablement orienté, et noter la flexion correspondante: nous aurons la mesure de la force en Idlogramnies-forces.
53. HomogéDèité dans le système d'unités, longueur, masse, temps. Dimensions des unités dérivées. — Si,
poi
- le
app
indisiK-nsable de faire
système d'unités déterminées, il n'en est pas de même pouj Li théorie. Dans les recliercbes théoriques, il est préféra de laisser les unités fondamentales indéterminées, de fai que les formules obtenues puissent être appliquées à tout
• :ol'H2} DE lECirilUCE.
-v-îiriif -i' iiiiti"i. Li'H tunmiles iJevant alors subsister, quel] .|ui' ^«lit !(' i-liitix ili's tri)is unités fondamea taies, devront pri'^fiiliT im* r ri I )it> linmo:;éuinté par rapport aux longueurs,! lux ina-- 1'> •'! iu\ îiMiip«i.
Si [oa rli.m;:<* la ::niu«lfMir d une unité fondamentale, l'ei-j j^n'^-ii'ii :iiiiih'ni|iit' d une «piantité. préalablement exprim( '•u :"a«ti«ii «II* la pr^oiit-rf! uoité. change : soient, en effet,! n r.*\rr»»'*-ion nunit rîipie li'unt* «{uantité et N la grandeur de : :r.i..' pn'i*i'tl«'uim«'at «huisie; si l'unité devient N', Texpres- -I '• !•• la «pi.inlitf -i'r:i n : «exprimons «jue l*unité N est com- ; l'^i" n t'««i> dau^ !.i «{uantité à mesurer et que Tunité N' y eslj • lui ri^«' // i*"i^. ui'U< aiiP'ns la relation
n\ = ri >".
Lr ripcorc '/es râleurs numériques d'une même quanti ::':■ e-^f r::'zliZf: rapport in \-'er se des grandeurs des unités] •lui • n: ' iN<':'r'ssi^criznt remployées à la mesure.
>i '. ::iit»* f^t ilfrix---, t't ^i elle varie par suite du change-] :.* :« l iinitt t*Mn:.i::u'ntak\ il faut, pour traiter ce mémi [ :.'i ■' [\\*-, -.t\«»ir c««ii.:ur:nt iunrté dérivée dépend des unités] t". ii.l.iiiitiU.tK ? : «'Il f ^'. conduit ainsi à définir les dimensions]
^fn appt'llc û'rrnui' de dimensions d^une unité dérivéey hi rclftii^n qui lir: rrtte unitr aux unités fonda nientalesÀ
\\u^\, ji.ir evr'iupK'. l'unité vie surface est la surface con-j ^îniitf -^iir l'unité «le lt»nj;ueur, c'est-à-dire que l'unité déri-' \« r tjf >urlar«' \;iiic r«niimr It^ carré do Tunité fondamentale' <!«■ luii^iunir; -ji's iliintiision? ><»iit représentées par le s jmbolcJ
i'\ ! on riii qur l'unih'' de surtace est de dimension deux en lonf^ueur^ zéro en musse el zéro en temps.
MECANIQUE. gS
Il en résulte que, sî l'on appelle s une surface mesurée à Paide d'une unité fondamentale de longueur, si l'on prend une unité de longueur \ fois plus petite, Ja mesure de cette quantité sera s\^^ c'est-à-dire \^ fois plus grande.
D'une façon générale, dans le système C.G.S. une unité dérivée N sera reliée aux trois unités fondamentales représentées par les symboles L, M, T, par une expression de la forme
Cette formule exprime ce que l'on appelle les dimensions de l'unité dérivée, qui est de dimension a en longueur, p en masse, y en temps.
Ces nombres a, ^ et y peuvent être positifs, nuls ou négatifs.
Si une quantité de dimensions a, p, y est mesurée par le nombre Q avec un certain choix des unités fondamentales, elle sera mesurée par le nombre
si l'on prend une unité de longueur \ fois plus petite, une l unité d'e masse [x fois plus petite et une unité de temps t fois plus petite.
Appliquons ces principes aux grandeurs que nous avons définies en Cinématique et en Mécanique.
54. Dimensions de la vitesse, de raccélération et de la force ; unités.
Vitesse. — La vitesse est le quotient d'un espace parcouru par un temps ; on a donc
^ =- ^ = LT-i,
elle est de dimension un en longueur el moins un en temps.
COI'KS DK MGUKIOVe.
nîté (Je vilcsse rsl colle d'un moliiloqui parcourt l'unitt^ dp longueur pcudanl l'uoiW àc temps ; Ips vitesses sonl k- [ilut
luvcnl es|iriiri^es eu cenlîiiièlrcs i>u mètres à lii seciiDi ou en kiluiiiolrcs à l'heure.
Suivant le s^st^me d'unitt^s adopté, l'expression nuint'ri(|i delà vitesse ehiinge cotnme le montre l'équatJOQ(i). L<' r.i port des valeurs numériques d'une m^-mo vitesse est •■^A ; rapport inverse des grandeurs des unités de longueur el i rapport direel des grunileurs drs unités <ie temps employées. Supposons, par exemple, que fa \itessc d'un train soit espriniée en kilomètres à l'heure par le nombre ^ï et propi
calculer l'cxpresâion numérique c de cette vitesse en centimètres à la sceonde. Nous écrirons, d'après la :édenle.
AcoélAration. — L'accélération est le rapport de 1' sèment de la vitesse à la variation du temps, c'est-à-dire quotient d'une vitesse par un temps; par suite,
elle est de dimension un en longueur el de dimension moii deux en temps.
L'unité d'accélération est celle d'une vitesse qui s'accn] de l'unité de vitesse pendant l'unité de temps; dans un s^ lème où l'on prend le centimètre el la seconde comme unit de longueur et de temps, l'unité d'accélération serait ce] d'un mobile dont la vitesse augmenterait en une seconde d'i centimètre par seconde; cette unité d'accélération n'a p reçu de nom particulier.
L'accélération de la pesanteur est à Paris représentée B le nombre 980,96; dans les calculs on admet qu'elle t lie q8i iinilés d'accélération.
Cette expression numérique change avec les unités d'après la formule (2); le rapport des valeurs numériques d'une accélération est égal au rapport inverse des grandeurs des unités de longueur et au rapport direct des carrés des grandeurs des unités de temps employées.
Dans l'hypothèse d'une décimalisation du temps dans laquelle le jour serait divisé en 10 intervalles égaux remplaçant les heures, chacun d'eux étant divisé en 100 parties égales remplaçant les minutes, et enfin chacune de ces parties étant divisée en 100 parties remplaçant les secondes, l'expression numérique Y de l'accélération à Paris, en conservant le centimètre comme unité de longueur, se calculerait de la façon suivante : la seconde est la ( — — \r-z — ) = ( ^7-7 — ) partie du
\24x36oo/ \ 86 400/ ^
jour: la nouvelle unité en serait la ( r) = ( ) par-
tie ; le rapport de la nouvelle unité de temps 9 à l'ancienne
i*«*^ est donc
,»ec
I ÏOO.OOO
et. par suite, on a
^ — (a ftfi/i ^*
et
Les équations de la Géométrie jouissent de la propriété d'être homogènes relativement à la longueur; celles de la Cinématique ont la même propriété d'homogénéité, par rapport à la longueur et au temps dont les unités sont laissées arbitraires ; tous les termes d'une équation de Cinématique doivent donc être de mêmes dimensions par rapport à L et à T.
Ainsi dans l'équation
(i) . X = a -h bt -h ct^f
<jS TOURS DK MÉrAXIQlE.
dans la(|iicllr x reprrsriit*' nu espace et / un temps, a repré- ^enlenéo^ssai^enl«*nl un espace Xo. frestune vilessefo= LT~'
cl c nue accélération - •' z= l/F '-, on a en effet, si ces conditions
sont remplies, en exprimant (ont eu fonction des unîtes fondamentales,
é(piation «pii est bien homogène, car chaque terme x, Xq, ^o^,
"Y^^. î« finalement pour dimensions L.
La forme* (li) a donc sur la forme (i) Taxantage de rappeler la si<j;nification phvsicpie de chacune des constantes et en même tein|)s (!<• faciliter la >érirication des conditions d'homof^énéité.
La \ilesse et raccéléralion an[;ulaires n'ont pas les mêmes dimensions ([ue la \ itesse et l'accélération ordinaires ; il résulte de hîurs dédnitions (2 j)([iie leurs sjinboles sontL®T"* etL®T~-.
Force. — [-.a force est le produit d'une masse par une
accélération ; ses dimensions sont représentées par l'équation
svml)oli([ue
F r^ LMT-».
(Jles dimensions sont donc celles de Tunité de poids. Dans le système (L(j.S., l'étjuation de Newton
donnant raltraclion d'une masse M sur une masse M' à la dislance 11, (M)ntient un fac^teur K dont on peut calculer les dimensions en remplaçant F, M et R par leurs dimensions respectives; on trouve ainsi
K =r:L3M-lT-2.
(ai n'est donc pas un simple facteur numérique, mais bien une grandeur physique.
55. Homogénéité dans le système d'unités : longueur, force, temps. — Dans ce système les dimensions de la vitesse et de l'accélération sont les mêmes que précédemment.
La force représentée par le symbole F sera de dimension un en force, zéro en longueur et zéro en temps.
La masse, d'après la relation fondamentale
F = 7/iY,
est donnée par le quotient
et en remplaçant y par le symbole LT"^ de ses dimensions,
on écrit
m — L-»FT2.
56. Champ de force. Lignes de force. — La pesanteur, qui sollicite tous les corps à tomber vers le centre de la Terre, et qui les fait tomber à sa surface lorsqu'auoun obstacle ne s'oppose à leur chute, est l'exemple le plus classique d'une force.
Un espace semblable à celui qui environne la Terre, et dans lequel toute masse pesante est soumise à l'action d'une force, s'appelle un champ de force.
Pareillement, l'espace qui entoure un aimant, et dans lequel un morceau de fer est sollicité par une force attractive, s'appelle un champ de force magnétique; de même enfin, une sphère électrisée produira, autour d'elle, un champ de force électrique tel que toute masse électrique abandonnée à elle-même se déplacera sous l'effet d'une force attractive ou répulsive.
En donnant cette définition, on ne se préoccupe pas de la cause qui peut donner naissance à un champ, et l'on suppose, en outre, que l'introduction de la masse pesante, du morceau
COVU DK WtOiltlOME- I de fer, de la masse (leclrifiuc qui serl à étudier Lhéoriq meni le oliamp, n'y a|>|>iirle aucune perlurbation.
La forcp qui, en un point (iu cliuinp, sollicite l'uniié I inassc mesure Viniensité du champ; la direction de « L force est la direction du champ.
V unité de champ, dans le système C.G.S., sera donc [ chatn|> tel <]ue, agissant sur l'unité de masae, la force exer I soit égale àunedj-ic, et celte définition peut s'appliquer I clisinp de la pesanteur, au champ uiiij;n('lique ou au chai
; ëlecti
iqiic.
Fig. 54-
lignes de força sont des courbes qui, en tous le points, sont tangentes {fig. 54) â direction du champ.
On appelle surfaces de niveau sui-races qui sont, en tous leurspoii normales à ta ligne de force qui p« par ce point.
Oii appelle champ Mni/brme un champ dans lequel l'inl site et la direction sont constantes; dans un tel cliamj) ligues de force sont des droites parallèles et les surfaces niveau sont des plans parallèles entre eux til perpendiculai aux liynes de foire.
