I'>.0 COURS DE MÉCANIQUE
proportionnelle à x^ et Ton a
K.*- étant une constante. L'équation du mouvement est donc \
/IÏ-— =-K«.r
el en |)Osant
Cette équation convient, que le point mobile soit à droite OU à gauche du centre attractif O.
Multiplions les deux membres de cette égalité par 2 -3-»
d^.r d.c . dr
dr- dt dt
(djcX* -^ 1 > le second est
celle de — lù^x^; ces deux fonctions primitives ne diffèrent que par une constante Xr, puisque leurs dérivées sont égales; on a donc
(.) (gy = „.^.+ A.
Or --j- est la valeur algébrique v de la vitesse; à l'instant
initial, a: = Xq, ^'r^r^; on a donc, pour déterminer h,
l'équation
çl = — to^xj -+- h
qui donne pour h la valeur
h est une quantité essentiellement positive et supérieure à w^o^J : nous pourrons donc poser h égal à un carré co^a-,
avec a > Xo. L'équalion du mouvement s'écril encore
Si nous supposons le mobile lancé avec une vitesse initiale Vq positive, il faudra prendre au début le signe Hdevant le radical; lorsque x augmente, la vitesse diminue et s'annule au point A d'abscisse x = a,
A ce moment le point revient sous reflet de la force attractive, et il faut prendre le signe — devant le radical qui donne v\ le mobile, dans cette nouvelle phase, va jusqu'au point A', ;r = — a, où sa vitesse s'annule de nouveau, etc.
L'équation (2) peut s'écrire
1 dx
le premier membre est la dérivée, par rap|)ort à t^ de
arc sin -> le deuxième de w^; on a donc
arc sin - = a»/ 4- a, a '
a étant une constante arbitraire ; d'où
On a ainsi Téquation du mouvement.
C'est l'équation du mouvement vibratoire simple étudié
au n
Si l'on veut exprimer les constantes a et a en fonction des conditions initiales, on pourra compter le temps t à partir de rinstant initial; alors, pour ^ = o la fonction x doit prendre
une valeur ^oj abscisse initiale, etsa dérivée -r uneNaleur^rJ, égale à la valeur algébrique v^ de la vitesse initiale. On a donc (4) 37©= «sin a, Xq = t'o = rttt» cosa,
formules déterminant a et a.
Si Ton développe le sin((o^ -f- a), qui figure dans l'équation (3) du mouvement, on a
(5) â7 = a sinacosu)^ + a cosasinio^;
d'où, en vertu des relations (4),
(6) X = Tq costùt '\- — s'intùt.
Durée d'une oscillation. — La durée d'une oscillation : simple est le temps que met le mobile à aller de A en A'. Or, à l'instant C^ ,
on a
le mobile est au point A, et à l'instant t^^
on a
le mobile est en A' : la durée de l'oscillation simple est donc
tf — ti= - •
Cette durée est indépendante des conditions initiales. Le temps que met le mobile à aller de A en O est = — .
En particulier, supposons que l'on abandonne le point sans vitesse initiale. Alors
et l'équation du mouvement devient
X = iPoCOSlOf.
Le temps que met le mobile à arriver en O est
il est indépendant de la distance à laquelle le point est abandonné sans vitesse; on exprime ce fait en disant que le mouvement est tautochrone.
Mouvement rectiligne ; cas de la répulsion. — L'équation du mouvement est évidemment
= lii^X.
dx .1
[Multiplions les deux membres par 2 -7-; il vient
et, par suite,
dt
d^x dx „ dx
dt^ dt dt
Si le mobile est placé au début en une position P,, à
distance a:© du dentre {fig- 62) et si nous le supposons animé d'une vitesse initiale Vq^ nous avons P»g- 62.
C?J = ti)*iFj-h h.
.JDo
cr
Actuellement h est, suivant les cas, positif, négatif ou nul. Posons A = co2a; nous pouvons
écrire
dx
dt
Nous allons exprimer x en fonction de t en supposant que ■ Ton prenne le signe -|- ; le calcul et les résultats seraient les ' mêmes avec le sign^ — .
