COURS DE MÉ€AN1QU

On a alors

dx 'di

en écrivant

I dx

= tu,

= 10 \/x^ -h X , x'^ = cy = to /.r J -H ). ;

on voit que le premier membre est la dérivée de

Log(j? 4- \^x*'-h X)

par rapport à ^ et le deuxième la dérivée de tùt. On a dom

Logf.r -h v/.r*-l- X)= (0/ -h a; pour

donc

Lo^^(xo-h ^xl -r- 1) = a;

remplaçant a par cette valeur, on a

, X -{- ^x"- -h X .ry -^ v^^y-+- ^^

d'où, en passant des Logarithmes aux nombres,

X H- y/ar"-»- X =(.ro-l-/:FÎ-+- X)e<*>'. .

De cette équation on déduit la suivante

X — /ar^-f- X = (.ro — /a?5-hX)e-«»>' ;

en effet, en nrultipliant ces deux relations membre à menib on a une identité.

En ajoutant cee deux relations, on a

X = Xq ■ -T- V -^0 -*- X

c'est-à-(.lire, d'après la valeur ci-dessus de x'qZ=z v^^

JC — JCq

etùt i^ f,- tût ç gtût — g-cof

Telle est réquation du mouvement; il serait facile de vérifier que cette valeur de x satisfait à réqualion du mouvement et que pour t = o cette fonction se réduit k x = Xq et sa dérivée à jp„ = (^q, vitesse initiale,

La notation des sinus et cosinus hyperboliques fait ressortir Tanalogie avec l'équation trouvée dans le cas d'une attraction proportionnelle à la distance; en effet, l'équation que nous venons de trouver peut s'écrire

X = û^o ch oi t

shto/,

entièrement analogue à l'équation étudiée au n® 14.

Discussion. — Nous pourrons toujours supposer ^o^ ^î "cela revient à choisir OPq comme sens positif de Ox, Supposons d'abord Vq>o] le mobile s'éloigne constamment du centre attractif et sa vitesse croît indéfiniment avec x. Su[)posons maintenant ^o< oî au début, la vitesse sera négative; il faudra donc prendre le signe — devant le radical. Supposons /t >o; à mesure que le point s'approche de O, sa

vitesse diminue en valeur absolue jusqu'à y/A; le mobile dépassera le point O avec cette vitesse et s'éloignera avec une vitesse indéfiniment croissante en valeur absolue. Si h est négatif, on peut poser h = — co^a^ et l'on a

rlr dt

— r- — 7— tu \/:v^ — a*,

où a est nécessairement moindre que aîQ, car pour j: = Xq la vitesse Vo est réelle; le mobile arrivera donc au point A d'abscisse a {fig< 63), sa vitesse s'y annulera, changera de

i;i6 COURS DE MKCANIQIE.

signe et le mobile s'éloigrtera indéfiniment de A avec une vitesse toujours croissante. Il est intéressant d'étudier le c intermédiaire Tq^ o et A = o. Dans cette hypothèse on a

dx i

et»

La vitesse diminue constamment à mesure que le point se

rapproche de l'origine, le mobile

^^^' ^^* se rapproche indéfiniment du

jc, ., point O mais sans pouvoir Fat-

^ teindre dans un temps fini; ce

temps peut, en effet, se déduire

de la relation (i), qui s'écrit

dx ■ •

et par suite

Log 37 = — (O / H- /> ;

la constante p est déterminée, puisque pour x =i x^ on a

par suite

p — Logj-o,

or cette expression croît indéfiniment lorsque^ tend- vers zéro. Le point O se distingue par cette particularité que c'est une position d'équilibre instable; le mobile placé en O sans vitesse initiale resterait aii repos; mais, si on l'écartait un peu, la répulsion l'écarterait indéfiniment; le plus souvent, lorsqu'un mobile s'approche d'une position d'équilibre Instable avec une vitesse qui tend vers zéro, il s'approche indéfiniment de cette position sans jamais l'atteindre.

MÉCAMQl'K.

L'équation (^) peut s'écrire

X = XqC-^^.

c'est l'équation du mouvement; dans ce cas particulier, la loi des vitesses est alors

p = — wa:o e-w^ = —

et la loi des accélérations

ce qui est bien conforme à l'hypothèse initiale.

On peut aussi déduire ce cas de l'équation générale (7); h étant nul, on a

Mais oSq est supposé positif et Vq négatif, donc (^o=— ^^0 r ^^^ portant celte valeur de v^ dans (8) on aura

Mouvement curviligne; cas de Tattraction. — Remarquons tout d'abord quç, si un point est attiré ou repoussé par un centre fixe O suivant une loi quelconque, sa trajectoire est une courbe plane située dans le plan déterminé par O et la vitesse initiale. On peut regarder le fait comme évident par raison de symétrie; on peut aussi le vérifier par le calcul.

En effet, prenons le point O comme origine : la force appliquée au point mobile P de coordonnées x^ y^ z étant dirigée suivant OP, l'accélération du mobile est aussi dirigée suivant OP et les projections de l'accélération sont proportionnelles à celles de OP, c'est-à-dire à x, y, ;;; on a donc

'dF

d^z dt^

on on (lédiiil

COURS DE IMËCAMQUE.

^ Ut*

dt*

d*z ^ diT

d^x ^ dt^

Mais ces ('([nations donnent les trois suivantes

dz ^dt -

dx 'dJ-

x'^>:^ dt

"ITt

dz dt

\, B, C ({('^signant des constantes, car le premier membre de (*haqiic (équation (i) est la dérivée par rapporta t du premier membre de l'équation correspondante (2). Ajoutons ces derni(^res équations après les avoir multipliées respectivement

nous aurons

par^,jK, :

équation d'un plan passant par l'origine; la trajectoire est donc dans un plan passant par O et, comme la vitesse initiale lui est tangente, elle est dans ce plan.

Cela posé, revenons à notre problème. Soit Po la position initiale du mobile, V© le vecteur vitesse initiale. Prenons pour axe O^ la

droite OPq {fig- ^\) et pour axe Oy une droite parallèle à V©

ot de même sens que Vq.

Le mobile étant en P est sollicité par une force F dirigée

suivant PO etégaleà K^OP; ses projections X et Y sont donc * égales aux projections x et j^ de OP changées de signes et multipliées par K^ :

Les équations du mouvement sont donc

ou, en faisant comme plus haut — = to^,

Il s'agit de trouver des fonctions x eX, y de t vérifiant ces équations et satisfaisant aux conditions initiales suivantes qui résultent du choix des axes. Comptons le temps t à partir de l'instant initial; alors pour i = o on doit avoir

a désignant la distance OPo.En outre, la vitesse initlaleétant parallèle à Oy^ sa projection ^^ sur Ox est nulle et sa pro* jectionjK^) sur Oy est égale a P^V^^ v^ : les dérivées de x et de j^ par rapport à t prennent donc pour t = o les valeurs ar'o = o, jKo = (^0-

Or nous avons vu que la fonction x vérifiant la première des équations (3) de telle façon que pour t=zo elle prenne une valeur Xq et sa dérivée une valeur x'^ est

La deuxième des équations (3) est identique à la première, sauf le changement de x en y; la fonction r vérifiant cette équation de telle façon que pour ^ = o clic prenne une va- AC. Q

l3o COURS DE MÉCANIQUE.

leiirj)'^ et sa dérivée une valeur ^J, est donc

y = y^ COS (Il I -h =^ sin (Il ^

Mais actuellement

Le mouvement demandé est donc défini par les formides

La trajectoire est une ellipse

iF* y*aj*

rapportée à des diamètres conjugués; si l'on appelle 61a longueur du demi-diamètre OQ© parallèle à la vitesse initiale, on a

(4) 6 = — , . Po= wô.

La durée de la révolution du point sur l'ellipse est la période qu'il faut ajouter à t pour que x et y^ c'est-à-dire sinco^ et ' costo^, reprennent la même valeur; elle est donc

Elle est indépendante des conditions initiales. Le cas du mouvement oscillatoire rectilignc apparaît alors comme le cas où cette ellipse est infiniment aplatie.

Comme un instant quelconque du mouvement peut être regardé comme initial, on volt que, le mobile étant dans une position quelconque Pq sur Tellipse qu'il décrit, pour avoir sa vitesse PqVo en ce point 11 suffit de prendre le demi-diamètre OQo conjugué de OPo ; la vitesse Pq Vq est parallèle à OQq et

MÉCANIQUE. l3l

égale à toOPo [équation (4)]î la vitesse est donc maximum à l'extrémité du petit axe et minimum à l'extrémité du grand.

Mouvement curviligne d'un point repoussé par un centre fixe proportionnellement à la distance. — Prenons les mêmes axes que pour le problème précédent. Les équations du mouvement ont la même forme au changement de signe près qui provient du changement de sens de la force. On a donc

Les conditions initiales sont les mêmes : pour ^ = o

Mais la fonction du temps vérifiant la première des équations (i) et prenant, ainsi que sa dérivée, des valeurs initiales ûCq et x\ est .

x' a? = a?o ch 0) ^ H ^shw^.

La seconde équation ayant même forme donne de même

y =^ochwf H- ^^-S-shto^.

Actuellement, d'après les conditions initiales (2), on aura pour les équations du mouvement

â? = a ch a> ^, v = — sh w ^

En éliminant t à l'aide de la relation

ch*(ji)^ — sh^o)^ = I,

on a la trajectoire

a?2 ^2to2 ^

C'est une hyperbole rapportée à deux diamètres conjw- Kiiés {fig. 65),

OPo=a et OQo=6 = ^

Le mobile décrit une des branches de la courbe. La rela-

Fig. 65.

lion ç^o = w6 = wOQo s'interprète comme dans le cas de l'ellipse. Un instant quelconque pouvant être regardé comme initial, on voit (pie pour avoir la vitesse en un point P© il suffit (le prendre le diamètre conjugué OQ© de OP©; la vitesse fsl parallèle à OQo et égale à w.OQq. Cette vitesse est minimum au sommet de l'hyperbole; elle augmente au delà de ton le limite quand le point s'éloigne indéfiniment.

Le (\is du mouvement recliligne apparaît comme le cas où celle hy|)erbole serait infiniment aplatie.

(>2. Vitesse aréolaire d'un point dans un plan. — Soit un point M do(Mnvant {fi g* (>t)) une courbe plane. Joignons lin jM^int ii\(H) du plan au point M et considérons l'aire Adu S(Ht(nir MoOM balayé par le rayon vecteur OM quand le mobile passe de la position initiale Mq à la position M.

isa

Celle aire est une fonction de ^ : la dérivée -r- s'appelle vitesse

Fig. 66.

aréolaire du point.

Prenons un axe polaire Ox el appelons r et 6 les coordonnées polaires du /)oint M à l'instant t. Quand t croît de Af , le point prend la position M' de coordonnées r-|- Ar et 6-1- A9, l'aire A croît de :

AA = secteur MOM'.

Décrivons de O comme centre les arcs de cercle MH et M'K de rayons respectifs /• et r -+- A/*; l'aire A A est évidemment comprise entre les deux secteurs MOH, M^OK :

ir2A0< AA< i(rH- Ar)2 AO.

Divisons par A^

I AO ^ AA ^ I , . .o Ae

Quand A^ tend vers zéro, --- tend vers la dérivée 9'^ ^^ "zr

de 8 par rapport au temps, Ar tend vers zéro, et — tend vers

la vitesse aréolaire -7- • On a donc

dk i , ^e

. dt 2 dt

En coordonnées cartésiennes, on a

en efiet,

" vl\ dt ^ dtj'

Y r* = a?2-H^2^ = arctang~;

l34 COURS DE MÉCANIQUE.

donc

dy dx

^8 dt ^ dt

dt ~ x*-^y* '

en substituant dans (i) on a la nouvelle formule (2).

Théorème. — Si l^ accélération passe constamment par un point fixe O, la vitesse aréolaire autour du point, dans le plan de la trajectoire, est constante.

En effet, supposons que l'accélération passe constamment par un point O pris pour origine. Les projections de l'accélération sei^ont proportionnelles à celles de OM; on aura donc

d'^ X d^y 'diT 'dF

Mais le premier membre de cette expression est la dérivée de

dy dx

par rapport au

temps

; on a do:

ne dx

""dt y

c'est-à-dire

dt ""

On conclut

de là

en supposant que fo soit l'instant où le mobile est en M©. Donc, si V accélération passe par le point O^ Vaire balayée par le rayon vecteur OM est proportionnelle au temps. Ce fait se présente, par exemple, dans les deux prb-

lèmes (n" 61) : mouvement d'un point attiré ou repoussé r un centre fine proporlionnellement à ia distance. Ainsi, dans la composition de deux mouvements vibra- Itoires rectangulaires de même période (n° 36), la vitesse réolaïre est

rfA

de ^

- -abui sin(P — a),

I expression qui montre, comme nous l'avons vu autrement, fjue le mobile tourne dans un sens ou dans l'autre suivant le signe dcsin(p — a).

63. Composition des forces. ^Lorsque plusieurs forces ïj^issent siniullanémenl sur un point matériel, on admet que

E géométrique des accémprimerail si elle était

iiposition des forces

raccélération qu'il prend est la somm léralions que chacune des forces lui ii seule.

On en déduit immédiatement la t appliauées à un point matériel.

L' accélération imprimée à un point à un instant quelconque par des forces F,, Fa, ...,¥„en nombre quelconque est la même que si le point était sollicité par une /or ce unique F égale à leur somme géométrique. Considérons •.les forces qui, agissant successivement sur le même point M, Ini communiqueraient respectivement des accélérations y,, ■j-2, ---, fa- Les valeurs de ces forces à l'instant t sont en grandeur, direction et sens

(F,)='n(YO, i.Ft)=m(y,). .... (F„)=ni(Y«).

Lorsque toutes ces forces agissent en même temps sur le point M, elles lui communiquent une accélération -^ égale à la somme géométrique de f,, j^, ..., y„

La valeur F à l'instant ( de la force unique qui communi-

l3G COURS DE MÉCANIQUE.

qiierdil au point celte luèine accélération f {/fg- 6-) est

Les figures formées par les points F|, F2, ..., F«, F

d'une part, et les points yi, Y2, ..., Yn?

Y d'autre part sont donc homothéliques par rapport au point M, le rapport d'homothétie étant m ; comme

Y est la somme géométrique de yo Y2î •••? Y/i) Jsi force F est la somme géométrique deF|, F2, ..., F„

le théorème est donc démontré.

Cette force unique F qui produit 1 ^^ même accélération que les autr^ ^ agissant simultanément s'appelle la r^^ sultante des forces Fj, F2, ..., F^, les forces Fj, F2, ..., ^^^ elles-mêmes étant les composantes.

On peut alors, toutes les fois que plusieurs forces agissent simultanément sur un point, les remplacer par leur résultante - Celle opération s'appelle composition des forces appliquée^ à un point.

Comme elle est identique à celle qui consiste à faire la somme géométrique des vecteurs représentant les forces, on voit qu'on peut lui appliquer tout ce que nous avons dit de la composition des vecteurs.

La résultante de deux forces est la diagonale du parallélogramme construit sur ces forces.

La résultante de trois forces est la diagonale du parallélépipède construit sur ces forces; etc.

La projection de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un point sur un axe est égale à la somme des projections des composantes.

MÉCANIQUE. l37

Inversement il peut être utile de remplacer une force unique F appliquée à un point par d'autres Fi, F2, ..., Fn dont elle serait la résultante; cette opération, appelée décomposition d^ une force en forces concourantes, est identique à Topération de la décomposition d'un vecteur. On pourra donc lui appliquer tout ce qui a été dit à ce sujet (n*' 6).

64. Équations du mouvement. — Soit un point M de masse m sollicité par des forces représentées à l'instant t ' parF<, F2, ..., Ffi' Appelons x, y, z les coordonnées du point M, (X., Y,, ZO, (X2, Y2, Z2), ..., (X;,, Y,„ Z;,) les projections des forces sur les axes; les projections X, Y, Z de leur résultante F sont

X = 2X|, Y = 2Y,. Z = SZ,;

les projections de l'accélération sont

~dti"

d^z dt^

La relation géométrique (F)=m(y) donne donc, pour les projections sur les trois axes, les relations

qui sont les équations du mouvement,

La notation SX/ signifie qu'il faut faire la somme des projections de toutes les forces appliquées sur O^, et de même pour les deux autres.

65. Équilibre. — Plusieurs forces appliquées à un point matériel se font équilibre lorsque, le point étant au repos, ces forces ne lui impriment aucun mouvement. La somme géométrique des accélérations dues à ces forces est alors nulle; donc la somme géométrique des forces, c'est-à-dire leur résultante, est nulle. Cette condition nécessaire de

I'('(|ullibre esl év idem ment sujjtsnnie, d'apri^s le principe di riiKTlie.

l'oiir exprimer, analytiqucmcnt. qu'un poiut matériel esl en é<]iiilil)re, ÎI faut iluac écrire que la réstiltanle de loutCi les forces qui agisseiU sur lui esl nulle, c'esl-à-dire que la somme des projections des cuinposanles sur chacun des trois axes Oa;, 0^, 0= esl nulle :

- POINT MATÉIUEL NON UBHE.

61). Équilibre d'un point pesant sur un plan inclina Frottement. — (^uand un puinl pesaul esl posé sans vîtesi initiale sur un plan horizontal, coninte un objet sur une labli il reste immobile. Cela tient à ce que sou poids p esl tenu équihbre par la résistance de la lable. D'une façon plus pi cise, la lable développe une résisUince qui esl une cerlainS force R, égale et opposée {Jîg- f>8) au [mids du poini ; le poin» matériel, étant alors sollicité par deux forcée '^' *■ ■ égales el opposées, esl en équilibre.

Supposons mainlenant que l'on place uir:

poini pesant, sans vitesse, sur un plan inclii — faisant un angle a avec l'horizon. Nous supposons que ce point peut seuleuieni glissée cl non rouler sur le plan : il faut donc s( représenter comme un pctii corps solide posant par une face plane sur le plan et non comme une bille- L'expérience montre que le point reste Immobile Linlqufr l'angle a est suffisamment petit, mais qu'il se met à glisser quand l'angle a surpasse un certain angle limite ^ : cet anglir jflépcnd de la nature de la surface du jilan et de la nal

JLcorps solide consLiUianL le poiut, mais il ne dépend pas ■' [poids de ce poinl; par exemple, si le plan est une plaque de j tbte el si les pelils corps qij'on place sur lui sont en fer,

e (p esL d'environ lo". On dit que cet angle est Vangle ■ i/roitement du point sur le plan : ainsi, dans l'exemple \ t, on dira que l'angle de frollemenl du fer sur la fonte est ] Bio". Plus le plan est poli, plus Fangle limite o est petit. Si, ■ lieu de prendre une plaque de funle sèche, on la lubrifie

c de l'huile, elle devient /)/(« giissante, l'angle (f devient ' bs petit que 10°.

On se rend compte de l'existence de cet angle en prenant Iplan matériel horizontal dont la surface est partout dans 1 même état, el en plaçant dessus de pelils corps de même ■ pulislance, mais de poids différents. Si l'on incline le plan ' sans secousses, les corps restent d'abord immobiles, puis ils se metleol lous à glisser au moment où l'inclinaison et dépasse I angle limite œ. On a ainsi un mo yen, d'ailleurs peu préci; 'le délerminer l'angle de frottement de deux substances.

-Anal^jsons, maintenant ce phénomène. Le point étant e écjTiilibre sur le plan incliné {ftg- 69), le plan développe une ""ésistancc ou réacûon qui fait équilibre au poids p. Or ce . poids jo fait, avec la normale mN au plan, un angle é

npeut (

: dire que le plan développe

détruit le poids jo, pourvu q

el'ai

Eté poids avec la normale au plan oindre qu'un certain angle déé cp, qui est l'angle de froltctent du corps sur le plan.

I-Décomposons le poids p en deux ; l'une N, normale au plan; ^Ire T, dirigée suivant la ligne de 'S grande penle. La force N ne fait ^^puyer le corps conti'c le plan, la force T tend à le faire

s venons de le voir, le glissement ne J I produit pas tant que l'angle y. Ae. p avec la normale est "

l4o COURS DE MÉCANIQUE.

moindre que o, ou, comme a et cp sont aigus, tant que

tanga^ tango..

Or le triangle mN/>, dans lequel mNr=N et N/>=T,

donne

tanga=.- -^•

Donc le glissement ne se produit pas tant que

11 se produit quand

La quantité tangcp s'appelle coefficient de frottement du

point matériel sur le plan. On désigne ordinairement ce

coefficient par/,

/= tangcp.

Ce coefficient étant connu, on voit que le glissement ne se produit pas tant que

On a ainsi les conditions d'équilibre d'un point pesant sur un plan incliné avec frottement.

Réaction du plan. — Nous avons dit que le plan produit

une résistance ou réaction qui est une force R appliquée au point en équilibre égale et opposée au poids.

Cette force R fait donc avec la normale également un angle moindre que <p. Si on la décompose en une composante normale N' {fig» 70) et une composante ï' située dans le plan, N' est égale et opposée à N, T' égale et opposée à ï. On a donc dans l'équilibre

Fig. 70.

^''^•^ly

MÉCANIQUE. l4l

67. Équilibre d'un point sur un plan sous Faction de forces quelconques. — Soit un plan fixe, un point m pouvant glisser sur ce plan, ce point étant sollicité {5?ir différentes forces Fj, Fg, /. . , F,|, parmi lesquelles se trouve le poids; 501 1 F la résultante de ces forces. Pour que le point supposé immobile ne glisse pas sur le plan, il faut et il suffit :

i** Que la force F soit dirigée de façon à appliquer le point contre le plan;

2*^ Qu'elle fasse avec la normale au plan un angle moindre que l'angle de frottement cp du point sur le plan. Fig. 71.

Supposons qu'on décrive un cône de révolution {fig. 71) ayant pour sommet /w, pour axe la normale mN au plan et pour demi-angle au sommet l'angle <p. Pour que le point m soit en équilibre, il faut et il suffit que la force F soit dans l'intérieur de ce cône. On appelle ce cône le cône de frottement.

Si l'on décompose F en une force N normale au plan et une force T parallèle au plan, pour qu'il j ait équilibre il faut et il suffit que

Quand l'équijibre a lieu, le plan produit sur le point une réaction R égale et opposée à F : en décomposant cette réaction en une force N' normale au plan et une force ï' parallèle au plan, N' est égale et parallèle à N, ï' égale et parallèle à T; donc, dans l'équilibre, les deux composantes de la réaction du plan vérifient l'inégalité

coins DB HÉcuiionB.

Ces inëgalit^s fiprinieiil ce qu'on appelle les lois du/rot tementà l'état d'équilibre.

Remarque. — Comme cas limite, un considère cjuelqM' ois le cas idcal où il n'y uurait pas de frullement, c'esl-à-Q] i où le plan serait parfaitemenl poli; dans ce cas, KoefTicienlde lVi>Uementyel l'angle -s sont nuls, etpourqii

ait (iqoilibre. il faut et il suffit que la force soit dirigét [bçon à appliquer le point sur le plan et normale an plai [es composantes T et T' sont nulles dans l'équilibre.

Application : Équilibre limite d'un point pesant sur

plan horiBonial sous l'action d'une force hoi

'^' ■'" zontale. — Soit^ le puidsdu point, q la for

" m ■ ? horizontale appliquée au point {fig- 7;

j^^X.^ Ces deux forces ont nne résultante F ; pc

i ^^ ^ijç j^, pjjjm reste en ff-quilibre, il faut et

suffit que F fasse avec la normale un angle moindre que a; on a (évidemment

Donc, pour l'équilibre, il faul'et il suffit que l'on ai |.llang(p, ^IJp.

y désignant le coefiicient de frolleraent.

68. Loi du frottement de glissement i l'Atat de mo Toment. — Nnuj, venons de voir suivant quelles lois s'eiei la rt'aclion d'un plan sur un point pouvant glisser sur le plî lorsque ce point est en équilibre.

Quand le point glisse sur le plan, les lois de la réactîi sont changées. Soit m le point mobile, V sa vilesse {Jïff. 7. à l'instant (; cette vilesse esl un vecteur du plan. La

I IJoa R du plan siir le point esl i>nc force oblique au plan; I décomposons ceLle forée èa une force normale N' et une Iforceparallèle au plan T; la force normale est situde par lïappDrt au plan du cAté où est placé le point; elle a une

randeur quelconque; la force tangen-

ielle T' est dirigée en sens contraire

'e la vitesse V du point et sa grandeur fgt donnée par la relation T' = /"N',

'f étant le coefficienl de frottement du point sur le plan. On voit que quand il y a éqitilibi-e ou s

T' -ifS' ; au contraire, quand il y a mouvement, T' = /N'.

Application. Mouvement rectilïgne d'un point pesant sur un plan horizontal sous l'action d'une force constante. — Soi I un point matériel de poids /> posé sur un plan horizontal et sollicité par une force constante en grandeur cl eu direction ç parall(>le au plan. Nous supposons qu'à l'instant ( ^= u le point soit abandonnée lui-même ou lancé avec la vitesse faj dans la direction de ç, soit dans !e sens de q, soit en seaM^ contraire. Le mouvement est alors rectilïgne et le point décria une portion de droite parallèle à g.

Premier cas. — Le point est abandonne sans vitesse.

Si g^/p, le pointrcste immobile (comme nous l'avons vu).

Si q~^ fp, le point se met à glisser dans le sens de 9 : prenons sa position initiale comme origine O et la droite qu'il décrit comme axe Ox {fig. 74). le sens positif étant celui de q. La vitesse v du point à un instant quelconque est dans le sens de gr; le plan exerce sur le point une réaction Il qu'on peut décomposer en une force normale N' et

Fig. 74.

une force taiigenliclle T'; la force T' est de sens contraire (le la vitesse et égale à /"N'.

Cela posé, remarquons d'abord que N'=/>. Le point mobile m est sollicité par les quatre forces y, /?, T', N'. Gomme

il décrit une droite, son accélération Y est dirigée suivant cette droite, et par suite aussi la résultante my de toutes les forces qui lui sont appliquées.

La force N' doit donc être égale et opposée à y?.

La force T' égale à y"N' est donc égale à fp. Comme q est supposé supérieur à fp^ les deux forces q et fp se composent en une seule q — fpdirigée dans le sens 0;r du mouvement. Comme q est constant par hypothèse, on voit qu'on est ramené au mouve-, ment rectiligne uniformément accéléré d'un point sous l'action d'une force constante, le point partant de l'origine sans vitesse.

L'équation du mouvement est

On en déduit

dx , . .

sans ajouter de constante, puisque la vitesse initiale est supposée nulle; puis

mx= --{q —fp)r-,

sans ajouter de constante, puisque le mobile part de O.

Deuxième cas. — Le point est lancé dans le sens de q avec une vitesse Tq; la vitesse variant d'une façon continue est, au commencement du mouvement, dans le. sens de q\ donc T'

est en sens contraire et réqualion du mouvement est encore

1** Si q<ifpi le mouvement est uniformément retardé^

on a

la vitesse s'annule au bout du temps

A cet instant le mobile occupe une certaine position m\ {^fig* 75) facile à obtenir par la formule

mx=-(q — /p)t^~\- nn>Qt qui donne le chemin parcouru ; il se trouve alors dans les

Fig. 75.

Vo T' wi' ^ rrvi^

mêmes conditions que s'il était abandonné .en m^ sur le plan, sans vitesse initiale, et il reste immobile en /Wi, car q <ifp.

En résumé, le mouvement est uniformément retardé, et au moment où la vitesse s'annule le point s'arrête. et reste immobile. C'est là le fait qui se produit, par exemple, pour <jr = o ; si on lance une pierre sur un plan horizontal, elle décrit une droite avec une vitesse décroissante et finit par s'arrêter.

2^ Si (J>fPt le point se meut sur Ox d'un mouvement uniformément accéléré.

3<* Si q '=^ fq-i l'équation du mouvement est

d'^x '^^ -7-, — Oj

le mouvement est rectiligne et uniforme.

AC. i«

l46 COURS DE MECANIQUE.

Troisième cas. — Le point est lancé en sens contraire de g: Prenons le sens de la vitesse initiale p© comme sens des a; positif. Dans une position m, la vitesse du mobile est dans le sens positif i^fig* 76), dofic T' est dans le sens négatif comme q\ les deux forces T' =zfp elq s'ajoutent alors pour «j

Fig. 76.

O Vo T' ^ m, V /rti

donner une force q -^fp dans le sens négatif. L'équation du mouvement est

elle définit un mouvement d'abord uniformément retardé ; on

en déduit

doc

Le point arrive au bout du temps

mvQ

dans la position m^ où sa vitesse s'annule.. A partir de ce moment, il est dans les conditions du premier cas ; il se comporte comme s'il était abandonné sans vitesse initiale sur le plan sous l'action de la force q.

Si q =//>, il reste immobile en m^ ;

Si q >fpi il revient sur ses pas d'un mouvement uniformément accéléré d'accélération ~ — — •

Cas où la force q cesserait d'agir à un certain instant. —

Si, à un instant où le mobile a une vitesse P'o? <1 devenait nul, l'équation du mouvement serait

"^-dT^-^fP'^

et le mobile, après avoir pris un mouvement uniformément retardé, s'arrêterait dans la position où sa vitesse devient nnlle; c'est, comme nous l'avons déjà dit, le cas d'une pierre lancée sur un plan horizontal. Si, en même temps, le frottement était nul, on aurait

le niouvement serait rectiligne et uniforme. On peut approcher de ce cas idéal en lançant un morceau de glace sur un plan de glace horizontal; le mouvement est sensiblement uniforme, carie frottement, sans être entièrement nul, devient très faible.

69. Mouvement d'un point sur un plan incliné sans frottement. — Quand un point se meut sur un plan incliné sans frottement, /= o; la composante tangentielle T' de la réaction du plan sur le point est nulle, et cette réaction se réduit à sa composante normale N'

Soit alors un point pesant m de poids p mobile, sans frottement, sur un plan incliné, faisant un angle a avec l'horizon. Soit N' la réaction du.

plan sur le point; décomposons p en deux composantes, l'une T = /?sina située dans le plan et dirigée suivant

la ligne de plus grande pente, vers le bas, l'autre N=/> cosa normale au plan. Le point se meut sous l'action des trois forces T, N et N'. Comme il reste dans le plan, son accélération ^ est dans le plan : la résultante des forces qui lui sont appliquées, étant égale à my, est donc aussi dans le plan. On a donc

N'=N=/?cosa,

el In résiiltiinle des furctrs airissaiil sur li

constante en grandeur, direction et sens.

On pourra alors applique^!- a» mouvcmenl proiluii par celle force tout ce que nous avons dit du mouvement d'uii poiot BOUS l'action d'une force constante. Si le point est lancJ suivant une ligne de plus grande pente, vers le haul ou vwî le bas, uu abandonné à lui-même, il prend un mouvement uniformément relardé ou accéléré d'acc(5lération^—^ :=^sim.

S'il est lancé dans une autre direction dans le plan, il prend un mouvement paraboHqu<ï.

70. Principe de l'égalité de l'action et de la réactiOB. Newton a énoncé, sotis le nom de Principe de /'égalité de l'action el de (a réaction, la loi, suivante : Si nu point H est sollicité par une force F due à ta présence d'un autre point M', cette force est dirigée suivant MM' el le seciwi point M' éprouve de la purl de M une force égale et précisément opposée à F. Newlon eiprime ce faîl en disant que II réaclion est égale cl opposée à l'action.

Le principe dej'cguliléde l'action et de la réaction s'éteni immédiatement aux actions mutuelles de deux systèmes di points (S) et (S').

Si les points du système (S) exercent sur ceux de (S' certaines forces, inversement les points de (S') exercent su ceux de (S) des actions représentées par des forces égales et directement opposées aux premières.

Ainsi, quand un cbeval tire une voilure, les actions d'ufl (les traits sur la \oiture sont égales el directement opposées celles delà voiture sur le trait, etc.