Pression totïtle ; Pression par unité de surface
Gomme application de ci2 principe général, nous pouvoni
I lUDs les exercices précédenls relatifs au mouvement d'uQfl IfoinL sur un plan, détermiQer ce qu'on appelle la pressibnM Kùlale du point sur ce plan on force pressante.
Nous avons vn que, quand un point est en équilibre ou ei^
^noiivemenl sur un plan, la résistance du plan sur lui ou l&M
P réaction du plan sur lui estime force R ayant une composantej
l ngrmale au plan N' et une composante parallèle au plan T'. J
iNons avons donné successivement les lois de ces forces dansi]
l 't'tjpolhcse de l'équilibre, puis dans celle du mouvement.
D'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaclrion,!
puisque le plan agit sur le point en produisant une force B3
ijlfiliquée au point, celui-ci doit agir à son tour sur le plan!
et produire une force — (R) égale et opposée à R et appliquée!
lu plan.
C'est cette force qu'on ap[iclle pression totale du pointi sur le plan.
Celte pression totale pourra comme R se décomposer ei^'J I forces, l'une — (N') normale au pian, égale et opposée] WN', l'autre — (T') parallèle au plan, égale et opposée à T'. ■ 1 On pourra appliquer ces considérations à chacun des pro- 3 précédents.
Par exemple, pour un point pesant en équilibre sur un plan incliné avec frottement (66), l'angle a étant au plus égal à y, ' ia pression totale du point sur le plan est égale et opposée à'I ?a réaction R du plan sur le point. Mais, comme R est égal t-l opposé au poids du point, la pression totale du point sur le plan est précisément égale au poids.
Si un point pesant de poids p glisse sur un plan horizontal, sous l'acliond'une force constante ç parallèle au plan (68), la | réaction R du plan a une composante normale N' égale el 1 opposée àjD el une composante tangentielle 'V = fp opposée I à la vitesse V; la pression totale du point sur le plan a donc I une composante normale égale au poids et une composante I idQgenlielle égale à fp dirigée suivant la vitesse V. La près- |
rotns DE MECAMOtlE.
sion totale est donc
Enfin, si un poinl pcsanl glisse sans froUemenI sur un plafl incliné faisant l'angle a avec l'horizon, /" est nul, T est nul, la réaction du plan se réduit à la composante normale ti'r^pe-osix et la pression totale du point sut le plan, égak el opposée à N', est normale au plan etégale à p cosa.
Quand un corps de dimensions finies est en repos sur un
plan horizontal qu'il touche par une surface plane S, on appelli
pression par unité de sur/ace ro le quotient de la pressioi
totale, c'est-à-dire du poids V du corps par S,
La pression par unité de surface n'a pas, pression totale, les dimensions d'une force; on voit, d'api l'équalion (i), que ses dimensions sont L~' MT~*.
L'identité complète des termes par lesquels on désîj dans l'usage courant, ces deux grandeurs de naiure si difii rente, tend à créer une confusion que les considéralïoi d'homogénéité devront toujours permettre de dissiper facili ment dans les calculs algébriques; dans les applîcatioi numériques, on distinguera les pressions totales et les pre: sions par unité de surface par l'indication exacte des unil servant à les mesurer,
72. Pendule simple, petites oscillations. — Considéro; un poinl pesant de masse m rattaché h un poinl fixe O par fil inextensible cL sans masse. Supposons que ce point 3« lancé dans un plan vertical passant par O; il décrit alors arc de cercle de centre O, Pour étudier son mouvemei appelons O' le poinl le plus bas de la circonférence, cl l'angle que fait, à l'inslant /, le rayon 0/n avec le rajo
MÉCANIQUE. l5l
vertical 00', cet angle étant regardé comme positif à droite et comme négatif à gauche {^fig^ 78).
Prenons le point O' comme origine des arcs s sur la circonférence et comptons ces arcs positivement vers la droite, dans le sens O'^. On aura évidemment
ntg
/désignant la longueur du pendule.
La masse m se meut dans le champ de force uniforme de la pesanteur d'intensité g\ elle est donc sollicitée par une force m g qui est son poids /?, et qui est parallèle à O O' ; au même point matériel est appliquée la tension du fil N' dirigée suivant le fil, c'est-à-dire de m vers O; il est évident, en effet, que le fil doit tirer sur le point avec une certaine force pour l'empêcher de s'éloigner du centre.
Nous allons chercher l'accélération tangentielle y^ du mobile estimée positivement dans le sens /nT de la tangente menée dans le sens des arcs positifs.
Décomposons le poids mg en deux forces, l'une
N = mg cos normale au cercle, l'autre
tangente au cercle, et remarquons que cette composante est dirigée en sens contraire de m T. Les deux forces normales N et N' ont une résultante N< normale au Cercle, de sorte que, finalement, le point est sollicité par une force tangente q et par une force normale N< dont la valeur estimée positivement dans le sens /nO est N^ = N' — N.
L'accélération est égale à la résultante des forces agissant
l5'2 COURS DE MÉCANIQUE.
sur le point divisée par m : elle a donc une composante langenticlle égale en grandeur à —, ayant mêmes direction et
N sens que q, et une composante normale égale à — •
La valeur de la composante tangentielle de l'accélération
estimée positivement dans le sens mT est alors — — ; d'autre
part, cette valeur est dans un mouvement quelconque -rji on a donc l'équation
ff*s q
ou, eu remplaçant s par /6 et q par m^sinO
il faudrait tirer de cette équation 6 en fonction de f , de telle façon que pour < = o ait une valeur donnée correspondant à l'écart initial et que
d& , d^ dt dt
prenne une valeur algébrique donnée v^ égale à la vitesse initiale imprimée au point.
Le problème ainsi posé dépasse les limites d'une analyse élémentaire, si l'on veut le traiter rigoureusement. Mais, dans leç applications à la Physique, on suppose ordinairement qu'à l'instant ^ = o, 6 prenne une valeur très petite Oq et que
la vitesse initiale soit nulle ; -r ou 8'^ est donc nul pour i = o.
Le pendule oscille alors en s'écartant très peu de la position d'équilibre 00'. L'arc 8 restant très petit, on peut remplacer, avec une grande approximation, sinô par et l'équation du mouvement devient
MÉCANIQUE. l53
Cette équation est de la forme
dt^
Or, nous avons vu (n°61) que la solution de cette dernière équation, qui prend la valeur Xq pour f = o et dont la dérivée prend la valeur x^ pour f = o, est donnée par la formule
x' X = Xii cos iùt -\ sin (u t.
On aura donc, en remplaçant x par 8, Xq par Ôqj ^'o P^^ ^o? et remarquant que 0^ est supposé nul,
= 6n COS /
[ C'est là l'équation des petites oscillations d'un pendule
\ simple, l'amplitude des oscillations étant Ôq* Oii voit qu'aux
; époques o, "^i/-» ^"^i/"' •••'l^i valeur de est alternativement 6o, — 6oy .... La durée àeV oscillation simple est donc
Vf
Remarque. — ^En se plaçant dans le cas général, on peut déterminer rigoureusement la vitesse dans un mouvement pendulaire, comme il suit. Multiplions les deux membres de ( i ) par
