C. — THÉORIE DES MOMENTS

73. Sens positif de la rotation autour d'un axe orienté. — Soit un axe A : on dit qu'il est orienté quand on a fait choix, sur cet axe, d'un sens positif que l'on indique ordinairement par une flèche. Ainsi dans \dijig, "jg, le sens choisi comme positif sur A est le sens ^'^.. Imaginons alors un point M qui se meut dans l'espace en suivant une courbe quelconque G, non située dans un même plan avec l'axe; on dit que le point tourne autour de l'axe dans le sens positif quand un observateur debout le long de l'axe, les pieds en z^ et la tête en 5, voit le point marcher de sa gauche vers sa

MÉCANIQUE. l55

. Dans le cas contraire, on dit que le point tourne ' (le Taxe dans le sens négatif.

exemple, si l'on pose une montre sur une table, le i en l'air, et si par le centre de la montre on mène un rtical, orienté positivement vers le haut, les extrémités quilles tournent autour de cet axe dans le sens positif, enons au cas général et supposons Taxe siz réalisé ellement; puis prenons l'extrémité z de l'axe entre les

Fig. 79. Fig. 80.

de la main droite; le sens positif est le sens dans on tend naturellement à faire tourner l'axe entre les . Ainsi quand on veut faire tourner une toupie sur une on prend l'extrémité z de l'axe z^z entre les doigts de n droite {fig^ 80), et on la fait naturellement tourner e sens positif autour de la verticale ascendante \s'^.

Moment linéaire d'un vecteur par rapport à un

— Soit {^fig» 81) un vec- ' d'origine A et un point arbi- B de l'espace. Le moment re du vecteur P par rapport Int B est un autre vecteur BG ne B ayant : 1 ® une longueur BG Qumériquement au produit PS leur par sa distance 8 au point B ; 3 direction perpendiculaire au plan BAP déterminé

CODBS I>K HKUAMgL'E.

par ic vecteur el le poinl B; 3° un sens tel qu'ui purCDUrant le vecteur AP de A vers P tourne dans le Sfi! positif autour de l'axe orienté BG.

Ces dérmîlions déterminent cumplètcnicnl I linéaire BG. On peut remarquer que, si un mobile suivait 1 moment linéaire BG de B vers G, il tournerait aussi dail le sens positif autour de l'axe orienté AP-

Quand on repri'sente les longueurs et les forces & la mém échelle, ce que nous supposerons constamment par la s la grandeur PS du moment linéaire BG est numériqm égale au double de l'aire du triangle BAP.

Le moment linéaire d'un vecteur P par rapport à un poifl ne change évidemment pas quand on transporte ce vectea en un point quelconque de sa direction sans altérer ni S grandeur ni son sens. Si, laissant lu grandeur et la dLrcctio d'un vecteur invariables, on changeait son sens, son momei linéaire par rapport à un point ehangerail lui-même de seni

Le moment linéaire d'un vecteur P par rapport à un point] reste le même en grandeur, direction et sens quai le vecteur invariable, on déplace le point B sur une parallêl au vecteur.

Cas où le moment linéaire d'un vecteur est nul. — Pûu

Ique le moment liné;iire BG == Po ^ui\ nul, il faut cl il suffi "que l'un des facteurs P ou S soit uu.1 ; dune il faut et il suffi ou bien que le vecteur soit nul, ou bien que sa direclM passe par le point B par rapport auquel on prend le momen Ces deux cas sont précisément les seuls cas dans lesquels plan BAP serait indéterminé.

Dimensions d'un moment. — Quand on a fait le cho d'une certaine unllé de longueur et d'une certaine unité force, la grandeur du moment linéaire BG est mesurée par J^orabre PS qui est de dimensions FL, ou dans le s^stèd longueur, masse, temps, ML'T~*.

MÉCANIQUE. l57

75. Théorème I. — Le moment linéaire (Tun veceur AP par rapport à un point B est égal au moment inéaire par rapport au même point de la projection du vecteur sur un plan mené par A perpendiculairement àÂB.

Soient en effet (fig- 82) un vecteur AP d'origine A et un point B; menons par A un plan perpendiculaire à BA et appelons p la projection orthogonale du vecleur P sur ce plan; il faut mon- ^*

trer que les deux vecteurs T? el p ojat ^

même moment linéaire par rapport , à B. En effet, ces deux moments ont

même grandeur, car les deux triangles p/-V- ^p'

[ BAP et BA/? sont évidemment équi- [ valents dès qu'on leur donne comme base commune BA ; ils ont même direction, car ils sont perpendiculaires aux

deux plans BAP et BA/> qui se confondent; ils ont aussi

même sens, car un mobile suivant l'un ou l'autre des vec-

' leurs AP ou A/? tourne dans le même sens autour d'une

perpendiculaire au plan BAP/?.

' 76. Théorôme II. — Le moment linéaire, par rapport àun point, de la résultante de plusieurs vecteurs concourants est égal à la somme géométrique des moments linéaires de ces vecteurs.

Nous démontrerons d'abord le théorème pour deux vecteurs concourants; nous passerons de là au cas d'un nombre quelconque de vecteurs.

Deux vecteurs. — Soient deux vecteurs concourants AP H AQ appliqués au point A, AR leur somme géométrique

l58 COURS DE MÉCANIQUE.

OU résultante {fig* 83). Prenons les moments linéaires respectifs BG, BH, BK de ces trois vecteurs par rapport à un point quelconque B; il faut montrer que le vecteur K est la somme géométrique des vecteurs G et H. Pour cela, menons par A un plan II perpendiculaire à AB et appelons />, q^ r les

Fig. 83.

projections des trois vecteurs P, Q, R sur ce plan ; comme la projection d'un parallélogramme est un parallélogramme, le vecteur r est la somme géométrique des vecteurs p et q.

D'après le théorème I, les moments linéaires des vecteurs P, Q, R par rapport à B sont identiques à ceux des vecteurs /?, 5^, r; ils sont donc égaux aux produits de p^q^ r par BA et perpendiculaires aux plans BA/), BAgr, BAr dans le sens indiqué par la définition des moments linéaires. Ces trois moments G, H, R sont évidemment dans un même plan n' perpendiculaire à AB au point B. Cela posé, menons par B trois vecteurs BG', BH' et BK' respectivement parallèles aux vecteurs/?, </, r, de même sens qu'eux et égaux aux y)rodnits de/?, q^ r par BA

BG' = /?xBA, BH'=^xBA, BK'=rxBA.

KJâHQVB.

Ces trois vecieurs sonl également dans le plan II'. La Tigunin BG'K'H' est alors homolhétique de A.pqr, et comme cettç dernière est un parallélogrbimme de diagonale A r, la première est un parallélogramme de diagonale BR'.

Mais maintenant, pour obtenir les trois moments linéaireal BG, BH et BK àe p, q, r, par rapport à B, il suffit de faire! tourner l'ensemble des trois vecteurs BG', BH', BK.' d'un.^ angle droit autour de BA dans le sens positif des rotations :' donc BK est la diagonale du parallélogramme construit sutM BG el BH, ce qui démontre le théorème.

Nombre quelconque de vecteurs concourants. — Soient / vecteurs P,, Pj,. ..,P„ ayant même origine A, et Rleurrésul-J tante. Construisons les moments linéaires BG,, BGj,. ..,BGHt de ces vecteurs par rapport à un point B et soit BG le moment 1 linéaire de R. Il faut montrer que BG est la somme géomé-sï trique deBG,,BG|,,..., BG„.

On pourrait employer la même méthode que précédem-J ment en remplaçant tous les vecteurs par leurs projectionsJ sur le plan II mené par A perpendiculairement à AB, et'l remarquant que la projection de la réstdtante R sur ce plan i est la somme géométrique des projections des composantes.; Nous emploierons une autre méthode qui consiste à mon-^

que, si le théorème est vrai pour n — i vecteurs concou- 1 ils, il l'est pour n. Soit Q la résultante des n — i vecteurs 1 I^Pj, ..., P„i et BH son moment linéaire par rapport à B. J hypothèse BH est la somme géométrique de BG|, . - ., BG„,

(BH)=(BG,)-t-(BGi)-F... +(I!G,-,).

résultante R des n vecteurs donnés Pi , P^, . . . , P„ s'ohlient. I Composant Q avec P„ ; donc le moment linéaire BG de R J Ha somme géométrique des moments BH et BG„ de Q et I

{'BG} = ( au j-^-tBG„).

Il en résulte

(BG)=(BG,)H-(BG,) ce qui démontre le théorème.