BG

77. Système de vecteurs non concourants; somme géométrique ou résultante générale et moment résultant par rapport à un point. — Soient des vecteurs AiP,, Aa 1^21 " ") A,i P« placés d'une façon quelconque dans l'espace

Fig. 84.

{/ig. 84). Prenons un point B quelconque, et faisons les ■ deux constructions suivantes :

1® Par le point B menons des vecteurs BP^, BPg, . . ., BP'^ égaux et parallèles aux vecteurs proposés, et construisons . leur somme géométrique BR ; ce vecteur R est, par définition, la somme géométrique ou résultante générale des '. vecteurs donnés relativement au point B.

2** Prenons les moments linéaires BG|, BGa, . . ., BG,| des vecteurs proposés par rapport au point B et construisons leur somme géométrique BH; ce vecteur est, par définition, /e moment résultant des vecteurs donnés par rapport au point B.

A chaque point B de l'espace correspond ainsi une somme géométrique et un moment résultant. Quand le point B se déplace, la somme géométrique reste la même en grandeur,

MÉCANIQUE. l6l

direction et sens, comme il résulte de sa définition même, mais le moment résultant change en général.

Application à un système de vecteurs concourants. — Si Ton imagine en particulier un système de vecteurs AP^ , AP2, . . ., AP„ ayant même origine, leur somme géométrique relative au point A n'est autre chose que leur résultante R, et leur moment résultant relatif au point A est évidemment nul.

Pour tout autre point B, la somme géométrique des vecteurs concourants est égale à leur résultante R en grandeur, direction et sens ; leur moment résultant BH par rapport au point B est, d'après le théorème précédent, égal au moment de leur résultante AB par rapport au même point : il est donc perpendiculaire à la somme géométrique.

78. Couple de vecteurs : axe d'un couple. — Appliquons en particulier les définitions précédentes à un système

Fig. 85.

de deux vecteurs P et Pi égaux, parallèles et de sens contraires (.fis- ^^)* ^^ système de deux vecteurs s'appelle un couple de ^vecteurs.

Soit B un point quelconque de l'espace; si l'on mène par cç point deux vecteurs BP' et BP^ égaux et parallèles aux deux: vecteurs donnés, leur somme géométrique est évidemment nulle.

l6'2 COURS DE MÉCANIQUE.

Cherchons, d'autre part, le inomei^t résultant relatif au j j)oint B; nous démontrerons que ce moment résultant est le ! même en grandeur, direction et sens, quel que soit le point B choisi. Pour cela, remarquons que, si l'on a abaissé du point B des perpendiculaires BA et BA| sur les deux vecteurs P et P^ , le plan BXA| est perpendiculaire à la direction j commune des vecteurs et les deux moments linéaires BG et BG< des vecteurs par rapport à B sont dans ce plan ainsi qu

Fig. 86.

leur moment résultant BH. Prenons ce plan pour plan de la Jig, 86, le vecteur P étant supposé dirigé en avant du plan de la figure et le vecteur Pi en arrière.

Le moment linéaire de P par rapport à B est un vecteur BG = P X AB situé dans le plan de la figure, perpendi-^ culaire à AB, dans le sens indiqué. De même, le mometit linéaire de Pi par rapport à Best un vecteur ÇGi = P x AjB? car Pi = P, perpendiculaire à Ai B. Le moment résultant Blï est la diagonale du parallélogramme construit sur BG et BG,; ce vecteur est perpendiculaire à AA| et égal à Px AA^. En effet, si l'on faisait tourner le triangle BGH d'un angle droit autour de B, dans son plan, on l'amènerait dan's la position BG'H'dans laquelle les côtés BG' et G'H' seraient parallèles aux côtés AB et BA» de même sens qu'eux et égaux aux produits de ces côtés par P; le troisième côté BH serait donc

. HéniNtQDE. - ■ l6î''

ené aussi à être parallèle à AA, , de même sens que AA, el 1 produit P X AA-i . Donc, avanl la rolation du iriangle,, c6té BH était perpendiculaire à AA,, c'est-à-dire au plan couple, el (?gal à PxAA,, Il reste donc le mêmeengrannr, direction et sens, quel que soit le cliois du point B, Le moment résultant d'un couple de vecteurs s'appelle | ixedu couple.

l'axe d'un couple est ainsi un vecteur défini en grandeur, \ rection et sens, mais non en position, car son point d'appll- | est un point quelconque B de l'espace. Pour obtenir 1 s éléments de cet aie (grandeur, direction et sens) il suffit! S prendre le moment résultant du couple par rapport à un-l oint particulier, par exemple par rapport au point A, , pris T irl'un des vecteurs P) du couple; l'axe du couple est le mo- j lent résultant des deux vecteurs P et P, par rapport aa 1 oint A, {Jig- 86) ; comme te moment de P, est nul, l'axe sej au moment linéaire A) H) de! ] ar ■apport upoinlA,; I "est donc égal au produit de P par la pi s courte disnce AA) des deux vecteurs, peipe de la rc au plan du j Wple cl dirigé dans un sens tel q n ob le suivant AP 1 lUme autour de A, H, dans le sens } o t f La l stance des k ivecteurs est le bras de levier du couplr;la, grandeur I XAAi de l'axe est le moment du couple. On peut remar-5 iler que ce moment est égal à l'aire du parallélogramme J )nstruiL sur les deux vecteurs du conpie.

Quand le moment d'un couple est nul, ou bien le facteur P*l il nul et les deux vecteurs du couple sont nuls, ou bien le,| *sde levier AA| est nul et les deux vecteurs sont égaii rectement opposés.