SUE
Sïéro. On peut par les opéralïoas élémentaires réduire un pystéme équivalent à zéro à deux' forces égales et directement sées; mais, par une dernière opération élémentaire, on ^ul supprimer ces deux forces et réduire ce système à rien D admettant, bien entendu, que les conditions physiques du 1* S6 soient réalisées.
4. Conditions analytiques d'équilibre. — Soient Ox, , Oz trois axes rectangulaires; pour définir les n forces F,, ..., F„ appliquées au solide, appelons (X,. Y,, 'L,), , Yî, Za), ..., (X„, Yy,, Z„) les projections respectives de . forcessurlestroisascset(L,,M,,N,), (Lj.Ma.Na), .... , M;,, Nn), leurs moments respectifs par rapport aux trois
îonslruisons la somme géométrique OR et le moment
iltant OG de ces forces par rapport au point O et appelons ,
. ^, Z et L, M, N les projections respectives de ces deux
cteurs sur les trois axes. On aura, d'après la définition
me de ces deux vecteurs
-1- Yj
>Gi
-hN„.
Pont
qu'il y ail
équ
ilibrc, 1
faui et il
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ue
OR
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soient n
uls, donc
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que
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lions
(lS,|mlib
Oj
Ou peut énoncer ces six conditions en disant : pour qui lies forces appliquées à un solide se fassent équilibre, i
l8(i i:ill'HS l>e HËnAMOIE,
fittit fl il SII01 (siiiis les ivsU'iclinns indiquées hii Hiliul) gue Ut somme de leurs projections xur rhacitn des trois axes de coordonn'-es soif nulle et que la somme de leurs moments par rapport à chacun de ces axes soit nulle.
îlo. Cas particulier : équilibre de forces concourantes- — Diiii-i ce ca-i. <iii j.fiH lriiiis|uirliTli's i'.iri'csnu [jolnl de conioiii's oL U^s ivJuire ù iinf. l'our «(u'H^- ail étiiiilibre, i\ faul et il suffit que la somme gt'oiin^U'îfjiie ries forces soi"! uulle. Aual^'li(|uciiit>Dl, ea pi'cuuiil le pniat de concours [Witl origine, on \(iil (|iie L, M, N soiil mils d'eu\-nièine-i, ei * suffit dVciiiv li's Imîs roudiiion-i
Trois forces concourantes. — Sii|ijii»sniis <iii'ii y ail seule—
iiirnt Iriiis forces concourantes {^g^ çfl)-
l'uiir qu'elles se fassenl <^qitilibrc, il faute!
."* il suffit t|ue leur somme gcométiifjue soîf
nulle, c'est-à-dire qu'elles surent parallèle»*
F, fl l'-gales aujL cûlés d'un triangle OF, A
parcourus dans un même sens dp cii'cula-
lion. Ou peut dire aussi en s'appuïani
sur ce (|ue, dans ua triangle, chaque côté est priiportinniid
au sinus de l'ani^ie des deux, autres : Il faut et il suffit :
' Que les Irois forces concourantes soient dans uu
uénie
a" t^ue chacune d'elles soit à l'extérieur de, l'angle des deux autres ;
3* Que l'inlensité de chacune d'elles soit proporlio/inelle au sinus de l'angle des deux autres
Miuf.Fi) sin(FjFij - sLn(F,r,) HG. Cas particulier : équilibre de forces situées dans
MÉCANIQUE. l8l
un même plan. — Soil un corps solide sollicité par des forces F|, F2, ..., F,/ situées dans un plan fixe que nous prenons pour plan des xy. Dans ce cas, la somme géométrique des forces OR est évidemment dans ce plan, et leur moment résultant OG est normal au plan.
Au point de vue analytique, en employant les mêmes notations que dans le cas général, on voit que les projections Z^, Z2 , . . . , Z,i des composantes sur O z sont toutes nulles ; de même les moments L^, Lj, ..., L,,, M^, M2, ..., M,| des composantes par rapport aux axes O^ et Oy sont nuls, puisque toutes les forces sont dans un même plan avec chacun de ces axes. On a alors pour les projections de OR et OG
( A = Aj H- Ag -i— . • • -f- A/i,
Conditions d'équilibre. — Sur les six conditions du cas g^erx^ral on voit que trois sont remplies d'elles-mêmes; et il restera à écrire les trois conditions
Xi -j- A2 -H . . . -T- X/t = o, Yi -r- Y* -h ... -h Y,t = o,
Ni-h N2 -i-...-t- N,i= o.
La somme des projections des forces sur chacun des axes O j; ^^ Qy situés dans le plan des forces doit être nulle; et la ^^ïtime de leurs moments par rapport à l'axe O^ perpendiculaire à ce plan doit être nulle.
