I.X-4-MY-(-[VZ = o
Conditions d'éqnilibre. — En écrivant les six condition^
d'équilibre du cas général, on voit qu'elles se réduisent
s Li-015 suivantes
S P*j?* £Pt.y* SPtJ-t
Par exemple, si l'on a choisi l'axe Ojî parallèle à la directiw
îommuae des Ibcces (^^ = y=o'), on a les trois conditionBj
I équilibre da trois forces parallëles. — Prenons, pODjgl raiter le cas le plus simple, trois forces parallèles et cheï4 Pons les conditions d'équilibre, \ Sor les trois forces, deux auront le même *is que nous regarderons comme posiiif, [ troisième le sens contraire. Les înteni P, et Pa des deux premières seront fesitives (fig- 96) ; l'intensité Pa de la troi- , négative. D'abord, la condition que e géomélrique des forces soit nulle RÏge que la force qui lire seule dans un ffls soit égale en valeur absolue à la somme des deux quirj j^ent en sens contraire, ou encore que leur somme algé^J iique soit nulle
l II faut maintenant exprimer que le moment résultant par |
■pporl à un point O est nul. Prenons ce point sur Pj. Le 1
pomeat linéaire de Pa est nul; les moments linéaires 0G| eti]
13 de P] el Pj sont perpendiculaires aux plans 0P| et OPajl
piir que leur somme géométrique soit nulle, il faut et il j
ffit qu'ils soient dirigés suivant la même droîic,
totraires, et égaux en valeur absolue.
J Dfauldonc d'abord que les perpendiculaires aux plans OPJJ
pt OPj coïncident, c'est-à-dire que ces plans enx-inêraea
ïncident et que P| soit dans le plan P, Pj. Puis, pour quel
pwsdeiix moments OG, et OG, soient de sens contraire, îljl
i8.i c(h:RS de mécaniqie.
faut cl il suffit que O, c'est-à-dire Pj, soit entre P| et Pj; enfin, pour ([ne ces moments soient égaux, il faut el il suffit que
OAi et OA2 étant les distances de O aux forces P| et Po- E^ menant une transversale ((uelconque B^, Bj, Bj aux trois forces, on |)eut remj)lacer cette dernière condition par
car, on a évidemment
OA, OAj
BsBi B3B,
En résumé, pour que trois forces parallèles se fassent équilibre, il faut et il suffit :
1" Que la force P3, qui est seule de son sens, soit égale en val(Hir absolue à la somme des deux autres;
*>/' Qu'elle soit entre ces deux forces dans leur plan;
3*^ (Jue les segments dans lesquels la force P3 coupe une transversale aux trois forces soient inversement proportionnels aux forces P, et P2.
Remarque. — On peut exprimer, sous une forme symétrique, les conditions d'équilibre, en donnant aussi des signes aux trois segments déterminés par les points B|, B2, B3 sur une transversale aux trois forces.
Alors il faut et il suffit que, pour l'équilibré, les trois forces soient dans un même plan et que l'on ait en grandeur
et signe
Pi
où chaque rapport se déduit du précédent par la permutation circulaire des indices.
MÉCANIQUE. l8i
En. eflet, comme les trois segments aux ddnomlnateurs \ érifîent la relation (n° 2)
BjBa-f-BaBi-hBiBj^o, les forces vérifieront la même relation
et, en. outre, elles auront la disposition exigée par l'énoncé. La proportion ( i ) signifie que chaque force est proportionnelle au segment de transversale compris entre les deux autres.
98. Cas particulier : Équilibre de trois forces quelconq^ues. — Cherchons, en particulier, les conditions d'équi- - libre de trois forces P, Q, R appliquées à un corps solide. Tout d'abord, pour qu'il j ait équilibre, il faut que les trois forcés soient dans un même plan. En effet, considérons une droite AB s'appuyant en A et B respectivement sur les lignes d'action de P et Q. 11 faut que la somme des moments des forces P, Q, R, par rapport à cette droite AB, soit nulle, car on peut toujours imaginer qu'on ait pris AB pour un des axes de coordonnées. Mais les moments des forces P et Qpar rapport à ABsont nuls, car ces forccs.rencontrent AB; il faut donc que le moment de R soit nul aussi, c'est-à-dire que Ja ligne d'action de cette force R rencontre AB ou lui soit parallèle. Ainsi toute droite AB s'appuyant sur deux des forces doit rencontrer aussi la troisième à distance finie ou infinie; ce qui exige que les trois forces soient dans un même plan. Supposons cette première condition remplie, deux cas ^ peuvent se présenter :
[ i** Deux des forces P et Q sont concourantes; on peut
[ alors les composer en une seule R'; pour qu'il y ait équilibre ' il faut et il suffît que la troisième force R soit égale et opposée à R'. Donc si deux des forces concourent, il faut et il suffît,
■ IV-quilihre, qui; les Irois soient concourantes et fissent les conditions d'équilibre de iroîs forces concocrail |<n- 05).
a" Les trois forces P, Q, H sont parallèles; elles devroi P«lors remplir les condilioDS d'équilibre de trois forces pan |lèUs(n°9-).
En résumé, pour que trois forces se fussent équilibre:» •olide, il faut qu'elles soient dans un même plan, qui R^ns ce plan, elles soient coucouraales ou parallèlcis cl re: ■plissent, par suite, les conditions d'équilibre de trois fore r concourantes ou parallèles.
__. Conditioaa d'équiTalence de deux systAmea i l-foroes. — Imaginons un solide et deux systèmes de forces (S
et (S') appliquées siiccessiveuienl à ce solide ; le premier (!
>étant formé de n forces F,, F^, .... Fn; le deuiième i ' forces F',, Fj, .... F^.. Construisons les sommes gérAnJ l'Iriqnes OR et OR' et les moments résultants OG et OC ! ces deni systèmes par rapport à un point arbitraire O. J On dit que les deux systèmes sont équivalents quand .^ [peuvent être remplacés l'un par l'autre sans changs
i'élat du corps solide.
Théorème. — Pour que deux systèmes de Jorces soiei téguivalents, il faut ei il suffit qu'ils aient même JOJWffl Wgéomélrigue et même moment résultant par rapport y un point O
