OR'=OR, OG = OG

' La condition, est uécessaire. En effet, considérons

Lsjsléme auxiliaire ( — S) formé de toutes tes forces de (i

\changées de sens; ce nouveau système a pour somme géi

[métrique et pour moment résultant par rapport à d

vecteurs (— R) et ( — G) égaux et opposés à R et G. Ce *;

( — S) esl l'videmment tenu en équilibre par le

ne (S); il l'est donc aussi par le système (S') qui, par

thèse, produit le méuie effet que (S). Donc l'ensemble '

[eux systèmes { — S) et {S') forme un système de forces

piitîbre, c'est-à-dire un système équivalent à zéro,

, somme géométrique de toutes les forces de cet ensemble

1 différence géométrique

(OR')-(OR), ir moment résultant, la différence géométrique

(OG'i — (OC).

immc cet ensemble est en équilibre, sa somme géoméle et son moment résultant sont nuls, cl l'on a, géomélement

0R'= on, OG'=OG.

La condition est suffisante. Cn effet, si l'on a 0R'= OR, 0G'= 00

jandeur, direction et sens, l'ensemble formé des sys- "

s ( — S) et (S') est en équllibreet peut, par suite, par les

ations élémentaires être réduit à zéro (n" 93).

ila posé, nous allons montrer que l'on peut passer du

me (S') au système (S) par les opérations élémentaires;

■a alors établi que l'on peut remplacer {S') par (S) sans

igçr l'état du corps.

1 effet, partons du système (S') supposé être appliqué an corps solide; nous pouyons, sans changer l'état du >, ajouter les deux systèmes (S) et (—S) dont l'ensemble mé de forces deux à deux égales et directement oppo-

t;le corps est alors sollicité simultanément parles trois mes de forces (S'), (S) et { — S). Maïs l'ensemble (S')

— S) peut, par les opérations élémentaires, être réduit à

■"■ïéi-o et, fiiiuleniPiiL, il restç le spiV-ine (S). On passe lit bien de (S') à (S) pur les seules opéralioiis élémentaires.

Remarque I. — Nous avons iiumtrij an n" 89 que les i) rutiuus éléineataires u'all^Teiit ai la Somme gëo métrique le moiuem résultant. Nous venons de démonircr la n!

[)ro(|ue : loules les fois qu'on aura deux systèmes de for a^ant même somme géométrique et même moment résulta on pourVit passer de l'un à l'aulre par ces opérations élem

aires et, par suite, les remplater l'un par l'autre.

Remarqua II. — Si deux systèmes de forces ont la ^ somme géométrique el le même moment résultant pour ' point particulier, ils sont équivalents; par suite, leurs d ! juents résultants sont aussi égaux par rapport à tuut ailt pjroint de l'espace.

Expression analytique de l'équivalence. — Prenons

le point O pour origine; soient X, Y,Z; L, M.N les pi

, jeclions de la somme OU et du moment résultant OG

miier .système; X', Y', Z'; L', M', IS', les quantités analogi

ur le second. L'équivalence s'exprime par les six condilif

Pour qne deux sj'sLt''mcs de forces s f feul et il suffit que les sommes de leurs cun des axes el les sommes de leurs oi ' chacun des axes soient égales.

nt équivalents,

100. Exemple de systèmes équivalents : couples ; oc position des couples. — Un couple est un système de di r iorces P et — P égales et opposées (n" 78).

Le bras de levier du couple est la distance AB {Jlg' f des deux forces; le moment dii couple est le produit AB [du liras de levier par une des forces. Quand le jnonicnt

l, le couple est équivalent à zéro; car, ou bien les deux

"Ces sont nulles, ou bien AB == o et alors les deux forces

nt égales et directement opposées.

Un couple est un système de forces dont la somme géo-

étrique est nulle, et AouiXg moment résultant est constant

i grandeur, direction et sens pour tous les points de

espace (n** 78). Ce moment résultant s'appelle Y axe du

yuple. L'axe d'un couple est donc un vecteur défini en

randeur, direction et sens, mais dont le

oint d' application peut être choisi ^*^' 97-

rbitrairement dans V espace. Pour re-

rouver ce vecteur, cherchons le moment

ésultant par rapport à un point O du bras

le levier AB situé entre A et B; les mo-

aents des deux forces P et — P seront

lirigés perpendiculairement au plan du

ïouple, dans le même sens, car les deux vecteurs P et — P

'int le même sens de rotation autour du point O ; le moment

résultant OG ou axe du couple est donc perpendiculaire

lu plan du couple et égal à P.0A-4-P.0B, ou à P. AB, c'est-à-dire au moment du couple.

Théorème I. — Deux couples de même axe sont équi- ^alents, car ils ont tous deux une somme géométrique nulle et même moment résultant. Ils pourront donc être réduits l'un à l'autre par les opérations élémentaires. Comme cette proposition est d'une grande importance, nous nous jarréte- TOûs un instant. Elle nous. apprend qu'on peut, sans changer Teffet d'un couple, le transporter parallèlement à lui-même [dans un plan ou dans des plans parallèles, le faire tourner idatts un de ces plans, enfin modifier son bras de levier et ses forces, pourvu qu'on ne change ni son moment ni son sens de jTolalion, c'est-à-dire qu'on n'altère pas son axe.

Tliéorème II (Composition des couples). — Un nombre

Fis. ;j8.

quelconque de couples est toujours équivalent à un unique dont l'aze est la somme géométrique des axer couples composants.

En cffcl, le s^stt'inc formé j»r p couples P., ■ Pj. — Pj ; . . . , l'p, — l'p esl un sjslènae de vecleors d sonnne géomOlrique est nulle. Le moment résultant système eal le m^me par rapport à tous les point» l'espace (Jg. 98).

En elTet, pour obtenir ce mumenl résultaDl OG, par porl au point O, on peut procéder comme il suit : on pi ■ l'abord le iiiomeiil résultant OG," de P, et — P, .mon i^iii esl (igal à l'axe du prei <;ouplc, puis le moment ^és^^ 00, de P, et — P„ qui esl il l'axe du second couple, el de suiie jusqu'à OG^, qui esl f du deiaier couple; puis on pose entre eux tous ces composants OG(, OGj, Considéroiis alors un couple d' 4!)G i-jial au moment résultant; couple unique est équivalents système (Jes couples donnés, car il a, comme ce système, somme géométrique nnllc, et un moment résultant égalât On pourra, par les opérations élémentaires, réduirfl ^stème de couples donnés au couple unique d'axe OG.

Couples en équilibre. — Si OGr=o, le couple final équivalent à zéro; le système proposé également. Les se font alors équilibre.

101. Cas général : Réduction à une force et à> couple. — fn système de forces quelconques est équioc à une force unique égale à leur somme géométrique^

liguée en un point arbitraire et à un couple unique dont 'axe est le moment résultant par rapporta ce point. En ffet, soit ORIasummegéumelriquetles forceset OGIeurmoaeni résultant du système par rapporta un point arbitraire O. ■' nouveau système formé par la force R et un couple (P,— P)

i\t; OG est «équivalent au système proposé, car il a métue

inme géométrique OR et même moment résultant OG par .|i[iort au point O (Jig. 99)- Le système proposé pourra . m: être réduit au syslt'me R, P, — P par les opérations

■ mentaires.

< ^omme le point O est pris à volonté, il y a une infinité de

lions de déterminer une force et un (toupie

■ iiiivalents à un système donné. Une fois le Fig. yg. "intO choisi, les forces du couple {P, — P)

■ 'OnL pas entièrement déterminées, puism on peut prendre pour ce couple l'un /iflconque des couples équivalents en I iJiibrc inlini ayant OG pour axe.

i'our que le^ forces données se fassent (iiilibre, il faut et il suffit que OR et OG • 'iL'ul nuls, c'est-à-dire que la force R et le couple (P, — P) iiicQl nuls séparément. t.tnvoit, d'après cela, qu'une force et un couple ne peuvent

"' taire é

liUbri

que

i la force et le couple sont nul(

s sepa-

bOS. Cas particuliers de la réduction. — Cherchons, Vparliculier, quelles sont les conditions nécessaires et sntes pour qu'un système de forces (S) soit équivalent bl^oaple unique ou à une force unique.

j" qa^un système soit équivalent à un couple tfjatit et il suffit que la somme géométrique des vit nulle.

conrliiion est nécessaire, car dans un couple la

i c»t nulle; elle esl

mme gi^uin<:Inc|ue des tiens fur

nmiettt suffîsaale.

• /'iiur qu'un xyslèmi- de forces soit équivalent à

[ farce unique, il.faut et ilsuffit que la somme géomé.tri

\des forcei ne soit pas nulle et que le moment résuU

oit perpendiculaire à la direction de celte

La coniJitinn esl nécessaire : en elTct, soît un âjrstènx , fort^eti (S) équivalent à une force unique R'. Le sjst^me [ a inéme somme géoniétriquc et même moment rtJsullaat

la seule force K'. Donc, la somme géoméirique OR de

[, Système osl (îgale el purallèle à H', e[ le moment résulUnl

\ de ce système c»t ideuliquc un moment linéaire de

, ce moment linéaire 00 esl |)erpeii<liculaire à R', c'est-JH

îi sa parallèle OR.

Lu couditron esl sufflbanle. Soit un système dans lequc

iiiumeut résultant OG est perpênd

bire à la somme géométrique OR

faiil montrer que ce système esl

vali'Hl à va vecteur unique, parai

û OU. Kn efl'el, considérons le pla

(fig. loo), mené par O perpendi

luiremenlùOG,plan quiconticat(

lrati)ns dans ce plan un vecteui

égal cl purallèle ù OR, de même

que OR, de telle façon que ie moment linéaire de ce veel

parrapporlàOsoilOG. Ce vecteur R' esl à une dîstanee

di-()délrrniîii.V |.arla fondilion

n\.H'= OG,

et le sens de OG indique de quel côté de O il faut plai Dès lors le système proposé, esl équivalent à la uniqne R', car la somme géomë.lrique de cette force est el sou niomeni résiillaul en O est OG.

> MÉCANIQUE. rgîf

'. On peut caractériser la ligne d'action de cette fori^e g unique R', équivalente au système, en disant que c'est le lieu des points P pour lesquels le moment résultant du système est nul. En effet, le système donné et la force R' étant équivalents, leur moment résultant est le même pour tout point de l'espace ; et pour un point pris sur R', le moment de R' est nul, et réciproquement.

Remarque, — Le système donné est équivalent à une force OR et à un couple d'axe OG. On peut alors interpréter le résultat que nous venons d'obtenir en disant que pour que . l'ensemble/d'une force OR et d'un couple d'axe OG puisse se réduire à une force unique, il faut et il suffit que l'axe du couple soit perpendiculaire à la force; l'ensemble se réduit alors à une force R' égale et parallèle à OR.

Expressions analytiques. -— Pour terminer l'examen de

ces cas particuliers, voyons quelles sont, au point de vue

analytique, les conditions pour qu'un de ces cas se présente.

Soient

X, Y, Z et L, M, N

les projections sur les axes de la somme géométrique OR, et du moment résultant OG d'un système par rapport à l'origine. Ce système sera équivalent à une force égale à OR et à un couple d'axe OG :

i^ Il sera équivalent à un couple unique si OR est nul :

2^ Il sera équivalent à une force unique R', si OR n'étant

pas nul,

(Xî-i- Yî-f'Z«>o)

le moment résultant est perpendiculaire à OR :

(i) LX H- MY + NZ = o.

AC. i3

COI^BS DE Hi;CAMODH.

La force unique K' est alors précisépienl le vecleur quU

r coordonaèes X, Y, 7., L, M, N, c'est-à-dire le vecl*ui

nui a pour projections X, Y, Z et pour moments par rapport

X axes L, M, N. En a|>|»elanl x, y, s les coordonnées d'un

V|K)inl P de la li^e d'action de R', on devra avoir

L =j-Z-sy,

fces trois équations en x, y. z se rdduiseut à deux en vertu WAe la relatioQ (i); elles définissent une droite qui est la ligue Efl'actlon de la force unique W.

103. Retour au cas général; axe central. — Itnaginous ftun système de forces quelconques dont la somme génmé- Ijlnque n'est pas nulle. Ce sjsi(>me est équivalent à une forée l'Unique OR égale à la somme géométrique des forces appli »]uée en un point arbitrairement choisi O et à un conpli r^^ont l'axe OG est le moment résultant par rapport à ce C point.

Si l'on prend un autre point O', liî même système esl Esquivaient à une force O'R' égale à OR appliquée au point 0' couple d'axe O'G', en général diffcrenl de OG,

On peut toujours choisir le point O' de telle façon qli^

]Ha force O'R'e/ l'axe du couple O'G' aient même direction;

! lieu géométrique des points O' possédant cette pfo-

'' priétê est une droite parallèle à la somme géométrique def

forces appelée axe central.

En effet, décomposons {Jig- loi) le couple d'axe OG «t

deux, l'un dont l'axe OH esl normal à OR et l'autre don!

l'ase OK est dirigé suivant OR. D'après ce que nous avotf

I vu dans le numéro précédent, l'ensemble de la force OR ^

;ouple d'ase OH normal à OR est équivalent à une force:

HÉGANIOUB. tg't^

dqueO'R' égale el parallèle à OR siluce daos le [ilan mené-r O perpendiculairement à OH.

Dès lors, le syslèrae proposé est équivalent à la force 0'R.'3 lau couple d'axe OK. parallèle à O'R'. Gomme on peuti însporter l'axe d'un couple où l'on veut, on peul dire 1

Fig, lûi.

isi que le système considéré est équivalent à une force O'R' ' V un couple dont l'axe O'G', égal et parallèle à OK, a laj pae direction que O'R'.

^ous avons ainsi trouvé un point O' possédant la propriété]

nandée : tous les poiuls de la droite indéfinie O'R' pos'-l

sédent la même propriété, car on peut toujours transporler n

il' en un point de sa ligne d'action. La droite O'R' est alors ^'

Vaxe central.

Cet axe est unique, car en tout point O en dehors ] de O'R' le moment résullant OG est la somme géométriqui du moment résultant du couple d'axe O'G' et du moment 1 linéaire de la force R' : le moment résullant du couple ] d'axe O'G' est un vecteur OK. égal et parallèle à O'G' et, parj Suite, dirigé suivant OR; le moment linéaire OH de R' i perpendiculaire à OR; le moment résultant OG, summe^ de OK. et OH a donc une direction différente de OR.

Il peut arriver exceplionncllement que OG soit perpendiculaire à OR; alors le moment OH ou son égal O'G' est nu^ lies forces sont équivalentes à une force unique R'; l'a IDtral est alors la ligne d'action de cette force unique.

196 COURS DE aiÉCAMQVE.

Équations de Taxe central. — Soient trois axes reclan laîres Ox^ Oy^ 0-5, construisons la somme géométrique ' et le moment résultant OG par rapport à O et soi (X, Y, Z), (L, M, N) les projections respectives de ces civecteurs. Désignons par j:, y^ z les coordonnées^ d'un pc quelconque O' de Taxe central. La force R' a pour proj tions X,"Y, Z, et elle est appliquée au point O' ; son niom linéaire par rapport à O est un vecteur OH ayant pour p jections

(OH) yZ — zY, z\ — xZ, x\ —yX:

appelons U, M', N' les projections de O'G' ou de égal OK sur les axes. Le vecteur OG étant la soin géométrique de OH et OK, on a

L =jkZ — ^Y-hL', M = cX — arZ-t-M',

N =jFY — j^X-f-N',

d'où, inversement,

( L'= L -j/Z-h5Y, (i) I U'^M — zX-hxZ,

Exprimons maintenant que O'G' a la même direct que O'R'; nous aurons

(2) X "" Y ~ Z ou