SP

me, on trouve

larque. — Le centre des forces parallèles existe tant que

SPa

Férent de zéro.

ind SPyt= o, il est en général rejeté à l'infini, endant, il serait indéterminé si l'on avait à la fois

2Pa-=0, 2P;ta7>t=0, 2PA7Ar=0,

is ce cas très particulier, les conditions d'équilibre indiaii n° 97 sont remplies, quels que soient a, p, y, c'est-

quelle que soit la direction commune des forces : on 3rs que les forces parallèles sont en équilibre asta- . On peut vérifier que ce cas se présente quand, SP^ nul, le centre C des forces parallèles tirant dans un sens de avec le centre ÇJ! des forces parallèles tirant en sens lire. Les résultantes P' et P'' de ces deux groupes de

sont alors égales, opposées et appliquées au même . Elles se font équilibre, quelle que soit leur direcommune.

arcice. — On peut, comme exercice, vérifier ces résular le calcul. Si, comme au n** 97, on appelle a, p, y sinus directeurs du sens positif des forces, les projecsur les axes de la somme géométrique OR des forces

X = ïP, Y = pP, Z = yP» P = 2:Pa.,

et celles du moment résullant OG par rapport à Torigine

N = pSPA-arx — «2P)t7;t.

Les forces se réduisent alors à une force unique ou résultante parallèle aux forces données, d'intensité P. La ligne d'action de cette force unique a pour équations

M = 5X — arZ,

où x^ y^ z sont les coordonnées courantes (n" 102).

Actuellement ces équations deviennent, d'après les valeurs particulières de X, Y, Z, L, M, N,

on peut les écrire

OU, en posant ^0 = -yp7 ' JKo = -2pt" ' "«"^ "^pT'

Le point ayant pour coordonnées a^o, ^o^ '^o ne dépend p^^ j de a, p, y, c'est-à-dire de la direction commune des forces; ^ dépend seulement de leurs points d'application (^a?/*?-^*' et des rapports de leurs grandeurs, car les expressions de^o' ^0) -^0 sont homogènes et de degré zéro par rapport à P*^ P2, . . ., P/|. La résultante unique P passe donc par le poi^ fixe (^0? y^si ^is) quels que soient a, p, y.

Donc, si, laissant fixes les points d'application, on chaï>ê la direction commune des forces considérées et si l'on *^

et celles du moment résullant OG par f'apport à rorigine

M-=a2P;t2A-Y2PAa^A,

N = pSPyt^x — «SPaj*.

Les forces se réduisent alors, à une force unique ou résul tante parallèle aux forces données, d'intensité P. La lig d'action de cette force unique a pour équations

M — z% — xZ, N = arY — 7X,

où Xy y^ z sont les coordonnées courantes (n" 102).

Actuellement ces équations deviennent, d'après les valeur particulières de X, Y, Z, L, M, N,

Y(Pr-SP^r*)-P(P^~SPA>3>t) = o, . ...;

on peut les écrire

Vx-^-LVkXk ^ Pj k-SPa^a ^ P^ — SPa^a

OU

, en posant ^o=-2p7'ro ^"Yp^^ -«= "spT

Le point ayant pour coordonnées x^^ y^^ Zq ne dépend f de a, p, y, c'est-à-dire de la direction commune des forces ; dépend seulement de leurs points d'application {xk^yh^ et des rapports de leurs grandeurs, car les expressions de:3 ^Oî -So sont homogènes et de degré zéro par rapport à 1 P2, . . ., P/|. La résultante unique P passe donc par le po fixe (^0? yot ^o) quels que soient a, p, y.

Donc, si, laissant fixes les points d'application, on cha» la direction commune des forces considérées et si l'on

rler ces forces proportionnellement, leur résultante passe ir un point fixe de coordonnées (^oî^oj ^o)* Ce point fixe tle centre des forces parallèles.

On choisit ordinairement ce point comme point d'applicaon de la résultante, ce qu'on peut faire en transportant cette îsullante au point ^o> JKo? ^o de sa direction.

Remarque. — Dans le cas particulier où toutes les forces )iit dirigées dans le même sens, le centre des forces arallèles est intérieur à toute surface convexe entourant )us les points d'application des composantes. En effet, renons pour sens positif celui des vecteurs donnés P|, ...,

Fig. 106.

'/, pour plan des xy un plan tangent II à cette surface, et ^uraxe O^ une perpendiculaire à ce plan située du même >té que la surface {fig- io6). Alors les z de tous les points application sont positifs, et l'équation

^0— vp,

onire que Zq est également positif. Le centre des forces irallèlcs se trouvant par rapport à un plan tangent quel- >nque du même côté que la surface est situé à l'intérieur de

^41e-ci.

107. Moments des forces parallèles par rapport à un lan. — Un système de forces parallèles, dont la résultante AG. i4

COl'ftS HE HECAMQCE.

[énërale P ^ SP* n'est pas Diilli?, est équivalent à une ton i^ésulUnlc unique P appliquée du centre des forces panJ lètes, d'après la convention faite plus haut. Les formules qi ionnenl les coordonnées Jro, jfn, Sg de ce centre conduisent [uand on les traduit en langage géométrique, au théorémj Bèfes moments par rapport à un plan.

Étant donné un plan II, i^u'on peut toujours prendre pi a^çÛ/, etiuiaxe05(^^. [05)de direction arbitraire, oi

uppelle moment d'une des Jorces parallèles, par rapport à ce plan U, le produit de ta valeur algébrique P* de ^orce, par la coordonnée z/, de son point d'applîcit' ^ion Pas*.

Le moment ainsi défini est une quantité positive, négaUi fou nulle, dont la valeur dépend du point d'application de norce, de sorte que ce moment change quand on la transport 1 point de sa direction. La propriété fondamentale ré pultant de cette définition est la suivante :

Le moment par rapport à un plan de la résultants J^ plusieurs forces parallèles est égal à la somme alg* brique des moments des composantes à condition i prendre^ pour point d'application de la résultante,

centre des forces parallèles.

■ËCANIQCE.

EPur le démoolrer, supposons d'abord l'axe Oz perpendiplan n; le 3 du cenlre des forces parallèles esl Rié par l'équaliun

lù P=SP*; or cette équation exprime précisément le

héorèm

oulons démonlrer.

Si l'axe Oz est oblique au plan II, on prendra un ase auxiiaire Os' normal au plan et faisant avec Os un angle a.. appelons s',, z'j, ..., z'^, z\ les coordonnées s des points

^plication comptées parallèlement à ce nouvel axe, c'estxe normalement au plan ; on aura, d'après ce qui précède,

is les coordonnées z' et z sont liées par les relations évi-

substituant, on a la relation à démontrer

théorème des moments est donc établi dans sa généralité. n l'appliquant successivement aux trois plans coordonnés losés obliques, on obtient, pour déterminer les coorlées ^oiJKo, Zb, du centre des forces parallèles en axes

'tques^ les mêmes formules qu'arec des axes rectangu-

res.

Branarqce. — I.e théorème des moments des forces paral- S par rapport à un plan ne peut s'appliquer que si SP^^o. (Orsque SIV^^ o, les forces sont équivalentes à un couj |i zéro. Même dans ce dernier cas, le théorème ne peut ■s'appliquer, car si la résultante esl alors nulle, le centre j ^^ forces parallèles est à l'infini. 11 n'y a d'exception que ' r le cas encore plus particulier où les forces étant équiva-

lenles à K<5ro s.

indéterminés,

t;0ins DE »&CANIQUB.

a équiliLre asLiili({ue;

108. Centres de gravité. — Nous avons déjà défini le poids d'un poitil iiialéiiel ; c'est luie force verticale don l'intensité p est égale â la masse <tn point matériel multiplia par l'accélération ^ due à la pesanteur, accélération qui, a un Qiénie lieu, est lu même pour tous les points, pesanU. Li direction de la verticale change d'un lieu à l'autre; l'obser vation a prouvé que la valeiii- de g varie avec la latitude at l'altitude; tnais ces variations sont insensibles dans l'élendui d'uu corps de dimensions ordinaires. Un corps solide pesan peut donc être considéré comme une réunion d'un grani nombre de points matériels liés entre eux et sollicités par de: forces verticales parallèles proportionnelles à leurs maiseiJ i^a résultante de ces forces, qui est égale à leur somme, s'ap pelle \g poids du corps. Le centre de ces forces parallèles sfl nomme spécialement cen(/'e de gravité; il occupe dansW corps une position indépendante de l'orientation de celui-PÎ car, lorsque le corps se déplace, tout se passe, pour un o vateur entraîné avec lui, comme si, le corps restant immobiU les forces parallèles tournaient d'un même angle autour d leurs pointa d'application, ce qui n'altère pas la posîtioodl centre des forces parallèles. Ainsi, le centre de graoitéei. le point da corps par lequel passe constamment lepo'd du corps, quelle que soit son orientation. Si donc on fiïû le centre de gravité en laissant au corps solide la liberté i tourner autour de ce point, le corps, soumis uniquement l'action de la pesanteur, resterait en équilibre dans toute! les positions qu'il peut prendre.

109. Expressions des coordonnéea du centre de gri Tité. — Soient m,, m,, . .,, m„ les masses,/;,, /»;, . . .,'/Jb1'

aids des points matériels

couitftueut i

h/M -i)î(-3^2,:K2,22), ..., (^//,y/2, ^,1) leurs coordonnées, et M le poids et la masse du corps. On aura

Si l'on désigne par (^o? JKo? -^o) l^s coordonnées du centre ; gravité, on a, d'après les formules qui donnent le centre ;s forces parallèles,

p\X\-\- p<iX^-\- . . .-4- pn^n in\X\ -4- m^x^-^ . . .-4- TrtnXfi x^ — — ,

P\-^ P%-r- ' ' '-r- Pn Wll -H m2 -r- . ... -h /Hyj

1, sous forme abrégée,

__ ^px __ "Lmx ^ ^py ^^y 2/>3 ^mz

On voit, d'après ces formules, que la position du centre de avité dépend uniquement des masses des points. Cette observation est importante, car elle permet d'étendre notion de centre de gravité à des systèmes non pesants. ême, dans certaines questions relatives à des points maté- ?ls de masses m<, m2, ..., m„ non invariablement liés tre eux, il est utile d'introduire le point dont les coor- •nnées ^05^07 ^0 sont définies parles formules précédentes : point qu'Euler proposait d'appeler centre d^ inertie connue à porter le nom de centre de gravité, quoique les nsidérations qui conduisent à la notion du centre de gravité soient plus applicables. Le centre de gravité est évidem- 3nl situé à l'intérieur de toute surface convexe entourant > points considérés (p. 209, Remarque).

Lorsque l'on connaît les centres de gravité G< et G2 de ux parties d'un corps et leurs masses ^^ et Ma, on en déiit immédiatement le centre de gravité du corps, car ce ntre est le centre des forces parallèles Mi^etMa^ apiquées aux deux points Gi et G2. D'une manière générale, ï'sqiie l'on connaît les centres de gravité G<, G2, ..., G^

cou MB DE MBCIMQCE.

de plusieurs parties d'un curps et leurs masses, M|, M) Mp, le cetilre de gravite du corps est le centre des force» parallèles M,^, Mj^, ,,., Mpgr appliquées aux poiots G|,. Gs, ..., Gp. En appelant j:,,j',, 3,, x„ya, Zj, ..., Xp,yf, Zf les coordonnées des centres de gravité de ces diverses parties, on aura pour les coordonot-Ps Xc,y^. s,, du ccnlrede gravité dn corps

SMj-

Quand on veut déterminer le centre de gravité d'un corps solide de forme donnée, par exemple d'une masse de métoi, on doit appliquer les formules précédentes à un corps formé d'un nombre eitr^memcnt grand de points matériels siltiés i des distances mutuelles extrêmement petites. On tourne ft diflîcuUé en regardant le corps comme continu, ce qui n'ai pas conforme à la réalité, mais fournit une approxiinalioli; 1res suffisante pour les applications. On supposera le coiJH divisé en parties inKniment petites, en petits cubej exemple, et l'on appliquera les formules précédentes.

Lorsqu'un corps a une épaisseur très petite par rapport li ulres dimensions, on assimile le corps à une surface* telle est, par exemple, une feuille de papier ou de métal très . De même, il est des cas oîi l'on peut considérer "ô "corps comme réduit à une ligne : tel est le cas d'un fil long ellin.

HO. Théorèmes relatifs aux centres de gravité.

i" Lorsqu' une figure admet un centre de symétrie, ioft centre de gravifé se confond acec le centre de symétrie'

En ellet, la figure tout entière peut être partagée en âA menis mutérîels très petits deux à deux symétriques et à même masse; la droite qlii joint deux d'entre eux passe p» le centre de symétrie qui est son milieu; par conséquent I

UECANigrE.

é$aitantc des forces égales H parallèles appliquées aux.l iLrémilés de cette droite passe aussi par son milieu; comme I en est de même de toutes les rcsullanles semblabrement | bicnues, la résultante totale passe par le centre de sjmétri' ■i° Lorsfu'une Jigure plane admet un axe de symétrie ■\ a un diamètre, son centre de gravité est sur cet axe ou \ urce diamètre. Si la figure adniet un axe de symétrie, à | 3[il point A correspond uq point B symétrique tel que le ilieu O de AB soil sur l'aie; c'est donc en ce poipt O qu'est | ppliquée la résultante des deux forces égales appliquées- j A cl en B; il en est de même de toutes les résultantes ubtees de la même façon, c'est-à-dire qu'elles sont toutes appli- j [nées en des points de l'axe de symétrie. Il reste à composer ] es ces résultantes partielles dont les points d'application f sur l'axe, donc le point G est aussi 'axe. fig. los.

ire que la figure admet un diamètre /b-

r dire qu'il existe une droite qui coupe ^i 1

s les cordes parallèles à une direc- - — -h — -hç-,

déterminée en deux parties égales J l , 108). Les centres de gravité de '*■

(S ces cordes se trouveront donc sur lie de symétrie oblique qu'on nomme leur diamètre ugué et, par suite, le centre de gravité de la figure s'y

aussi.

Lorsqu'une figure dans l'espace admet un plan de itrie ou un plan diamétral, son centre de gravité est ans ce plan. Le raisonnement est le même ; si la figure ilmcl un plan de symétrie, à tout point A coprespond un flint B symétrique tel que le milieu O de la droite AB se ■tve dans le plan de symétrie; c'est donc en ce point O Bu appliquée la résultante des deux forces égales appli- Rnsen A et en B; il en est de mêmï de toutes les résultantes

iii;me façon : leur point d'application est dam

«tï

OOUBS DX HBCANtQVB.

ie plaa et par suite 1p ceuire »ie graviu^, poini H'applicatinii de In rcsiiltante de ces r^suUanles partielles, esl aussi dan) ce plan de symétrie.

Dire que la figure admet uq plan diamétral, c'est dir^ ^a'il existe un plan tjiû coupe loules les L-oi-des parallèles me direction déterminée en deux parties égales. Les cenlK C gravité de toutes ces l'ordes se trouveront donc dans ce pIlÉ àe symétrie oblique qu'on appelle leur p/«n diamétral jugué, et par suite le centre de giavité de la figure s'j trouva

lil. Centre de gravité des lignes planes.

Nous considérons exelusivenienl des lignes homogènes. Pne ligne matérielle est dite homogène (]uand la l'une portion quelconque de cette ligne est proportionodli

I sa longueur.

Segment de droite. — Le centre de gravité d'un segmen

■de droite este

qui,

Circonférence de cercle. — Le ce

Xonfcrcnce est en son centre.

Contour d'un triangle. — Chaque f tionnel à sa longueur et appliqué en 1 milieu; aux points ÎS et P, milieux de AC et AB en particulier, t donc appliquées des l'orces pa- ■tvllcles, de même sens, respectiveftinent proportionnelles à AC et à AB

Soit H le point d'application de i résultante de ces deux forces, on di HN' AB

centre de syniutrie, e de gravité d'une c

ININ et MP sont les moitiés de AB et de AG, on a