Corpa s'appuyant sur un pl&n fixe

I " Cas d'im Beol point d'appui. — Considérons d'abord cos où le corps ne s'appuie tjuc par un point sur le plan Sai le plan e\erc(! sur le corps une réactton normale, si nou supposons que le corps peut glisser sans frottement. Lecorp peut être considéré comme libre, mais soumis aus forces F, Fg, .... Fj,, qui agissent directement sur lui, et à cett réaction Q. Pour que le corps soil en équilibre, il fautqo les forces F aient une résultante unique égale et dîrect«meii opposée à Q (Jig-. 1 17}, c'est-à-dire que les forces données

aient une résultante passant par le point d'appui, normalean plan el dirigée de façon à appliquer ie corps sur le plan. Cea conditions sont évidemment suffisantes, car, lorsqu'elles sonl remplies, la résultante ne peut déterminer aucun glissemenl et est détruite par la fixité du plan qui développe une réaction égale et opposée à Q. 11 serait aisé de retrouver analyliqnemenl ces résultats.

■a" Cas de plusieurs points d'appui en ligne droite. — Admettons que le corps s'appuie sur le plan fixe X Oy par d« points A), Aa, ,,., A^, de la droite Oi. En tous ces point^ le plan exerce des réactions normales Qi , Qa, . . ., Q^, loiit** dirigées dans le même sens (^g. 1 18}. Ces forces ont une

allante Q normale au plan, dirigée dans le même sens, et it le point d'application tombe sur Ox entre les points rêmes Ai, Ajt,.

Pour que l'équilibre ait lieu, il faut que les forces données sent équilibre aux réactions du plan, c'est-à-dire qu'elles :nt une résultante unique, normale au plan, dirigée de fon à appliquer le corps sur le plan, et dont le prolonge-

ent rencontre O^r en un point situé entre A| et A^. Ces •nditions nécessaires sont suffisantes, car cette résultante :ut alors être décomposée en deux autres, normales au plan appliquées en deux points d'appui; ces forces seront truites par la résistance du plan.

Pour exprimer ans^lytiquement ces conditions, nous prenons pour axe des œ la droite O^, l'axe des z normal au m et situé du même côté que le corps par rapport à ce in. Toutes les réactions Q<, Q2, ..., Q/> sont alors posies ou nulles. Les équations d'équilibre sont

X = o, Y = o, Z-hQi-t-QîH-. ..-f-Qp = o; L = o, M — «iQi — a2Q2-.« — «/>Q/^=o. N = o,

désignant par «i, «2, . . ., ap les abscisses des points appui. Quatre de ces équations X = o, Y = o, L = o, = 0, qui sont indépendantes des réactions, expriment des ûditlons nécessaires d'équilibre; elles montrent que les 'Ces données doivent avoir une résultante unique normale

COURS TIE tttexfnQVB.

I plan (les xy et rencunti-nnt l'use des x. La U'oi^ièni Uion nous monlre <]iie Z duil être négatif, c'est-à-ilire que ■résultanle duît élre dirigée île façon à appliquer le corps Kle plan. Soîl x l'abscisse du point où la réâullanle t «outre Ox. Son moment par rapport à Oj- sera M = — j Itm devra donc avoir

^«,Q, + «,Qi

'on lire, en remplaçant Z par sa \aleiir,

Eet cette quantité est, comme on sait, comprise entre iesdeu Edeurs extrêmes ai et Op, car les quantités Q, , Qj, . . ., isont positives; le prolongement de la résultante rencon [donc Ox entre les points d'appui extrêmes.

Les réactions du plan doivent maintenant vérifier les di fr^qualions

M — a,Q| — <i,Q, — ...-a(,Qp= o.

S'il n'y a que deux points ^d'appui, cites donnent les deil réactions. S'il y a plus de deus points d'appui, lefl rëaelîl e sont pas déterminées par ces deux relations. On les minerait en introduisant des considérations d'élasticité.

.3° Cas général. — Supposons que le corps solide repo

\r le plan fixe par une série de points Ai, Aj, ..., Xp.U

i ligne droite. Le plan exerce des réactions normales Q

Si ■ • -1 Q/») 1"' *"^' '"^^ résultante unique Q, car elles SS

toutes dirigées dans le même sens el, d'après ce que l'on 9!

jsac la composition des forces parallèles, le point où c$

■cësultante perce le plan est situé à l'intérieur de toulpo

^gone convexe qui renferme tous les points d'appui; enp

pîculier, il est à l'inlérieur du |)olygone de sustentad<H

HEGANIQtE. -i-ig

fone convexe donl les sommets sont des poinls d'appui i renferme tous les autres points d'appui dans son inUJflir. Pour qu'il j ait équilibre, il faut que les forces données assent(''qui)tbrc à la résultante Q; il faut donc que les forces F lient une résultante unique normale au plan, dirigée de façon 1 appliquer le corps sur le plan et qui le traverse à l'intérieur li] [iol;)-gone de sustentation. Ces conditions sonf suffisantes, :aL', dans ces hjpothèses, on pourra toujours décomposer 'olle résultante en trois forces normales au plan et applipii'cs à trois des points d'appui, forces qui seront détruites •iuia résistance du plan.

l'renons, comme plus haut, le plan fixe pour plan des xy; 1 turps pouvant être considéré comme libre, mais soumis à L'nclion des forces F,, Fa, ...,F„. Q,, Qa, ..., Q^, les conditions d'équilibre seront, en désignant par «i , i| , «i, ij, . . . les coordonnées des points d'appui, II) X = o, Y = o, N = o;

U) j L H-6|Qi+ 6,Q,-t-...-i- ipQp = o.

f M-a,Q,-a,Qs — ...— OpQp=o.

Les équations (i), étant indépendantes des réactions, expriment une condition nécessaire d'équilijjrc : c'est que les forces données aient une résultante unique normale au plan; Kfi elï'el, la quantité LX + MV+NZ est nulle, et l'on ne le peut avoir Z ^ o, sans quoi toutes les réactions seraient luUes, puisqu'elles ne peuvent être que positives ou nulles, ians ce cas particulier, où toutes les réactions seraient nulles, 'i L et M seraient nuis, il y aurait équilibre entre les forces l'tectement appliquées. En écartant ce cas d'équilibre évilent, on voit que les forces F,, .,., F„ doivent avoir une ésultantc normale au plan; il faut, en outre, (|uc Z soit néfttif, comme il résulte de la première des équations (a), et

B,la résultante unique perce le plan des jyà l'intérieur du

HECANIQUB.

istenlalîon, ctjridilion que l'on dé<)uirai

poljgone de

deux, dernières équmions (2). S'il d'j a que trois p d'appui, non en ligne droite, les équations (a) permelUi déterminer les trois réactions. S'il j en a plus, il faut compte de l'élasticitt; des corps.