Machines simples. — 1 lonstituces par un corps solide

. machines simples' m libre, ayant an ] fixe ou un axe fixe. Ces machines sont destinées à transfo l'action des forces; elles servent à équilibrer, au moyi forces nommées puissances, d'autres forces nommées i tances.

Le premier type de machine simple est le levier fdiw un corps solide mobile autour d'un point fixe.

Le second type de machine simple est le treuil con par un solide qui tourne autour d'un axe fixe.

Les balances, les poulies et les moufles sont des mac constituées par des solides articulés les uns aux. autres p points ou des axes. Quoique ce ne soient plus à propH parler des machines simples, nous donnerons leur théoi découle immédiatement de celle des deux machines

119. Levier. — Soit une barre A.B ayant fixe O (Jiff' 1 19); en B est appliquée une résistance

en A uue puissance P ; négligeons le poids de la chons la condition pour que ces deux forces se f

libre ; il faut et il suffit qu'elles aient une résultante unique et qui passe par le point fixe; pour cela il faut et il suffît :

1° Que la puissance et la résistance soient dans un même plan contenant le point d'appui.

2° Que la somme des moments des composantes par rapport au point fixe soit nulle, ce qui donne l'égalité

Op elOq sont les bras du levier; la puissance et la résistance doivent être inversement proportionnelles aux bi*as du levier.

Il existe trois genres de leviers :

Premier genre, — Le point d'appui O {fi g- 1 20^ ) est compris entre les points A. et B d'application de la puissance et de Ja résistance ; la pince des tailleurs de pierre, le gouvernail des bateaux en sont des exemples ; les ciseaux sont des leviers doubles du premier genre, ainsi que les tenailles.

Deuxième genre, — Le point d'application Bde la résisance est placé entre le point d'appui O et le point d'applica-

Fig. J20.

ion. A de la puissance (Jig- 120^); la brouette est le type de e genre de levier.

Troisième genre, — Le point d'application A de la puisance est placé entre le point d'appui O et le point d'applicaion B de la résistance ; c'est le cas de la pédale du rémou-

«33 COURS De MBCUVIQCB.

ltur{Jtg. lao*); les pinceltes sont fcirméesd'im levier do de troisième genre.

Dans les deux premiers genres, la résistance est daa pratique plus grande que la puissance; dans le Iroisiénie est toujours plus petite.

Dans ta pratique, le point fixe est remplacé par une p( surface ou pnr un axe fixe; la théorie se rappiiiche alw celle du treuil et les conditions d'équilibre se simplifît il n'est, en effet, alors pas nécessaire que la puissance résistance soient exactement dans un même plan avec point d'appui ; il sufliide passer en revue les divers eseœ' qu^on donne te plus souvent des leviers des trois genret ( reconnaître l'exactitude de cette remarque,

120. Treuil, — Quand un solide mobile autour d'un fixe esl sollicilé par deux forces, il faut et ilsufSt,

y ait équilibre, que la somme algébrique des mom deux forces par rapport a 1 axe "«oit nulle : il suffit doi projeter les deux lorcesi sur un plan perpeûdicu]

d'écrire que la somme des moments des deux projections ar rapport au pied de l'axe est nulle. Le treuil est un corps olide assujetti à tourner autour d'un axe fixe, permettant de ransformer un mouvement circulaire en un mouvement reciligne.

11 se compose d'un cylindre en bois ou en métal, Vai^bre du treuil {fig, 121), terminé à ses extrémités par des touniions reposant sur deux supports ou coussinets. Sur ce îjlindre est enroulée une corde fixée par une de ses extrémités au cylindre même et soutenant par l'autre bout le ardeau Q à élever ; nous supposerons l'axe de rotation horiwntal. Ce cylindre porte une roue d'un plus grand diamètre i laquelle est appliquée tangentiellement la puissance P.

La condition d'équilibre est que la somme algébrique des noments des forces qui agissent sur le tour ou treuil, par

Fig. 132.

ipport à son axe, soit nulle (^^. 122). Si donc on appelle r : rayon du cylindre et R le rayon de la roue, on doit avoir

PR = Qr.

a puissance est à la résistance comme le rayon du cylindre it au rayon de la roue.

On peut agir sur la grande roue au moyen d'une corde ; on eut la remplacer par une manivelle, ou par une ou plusieurs irres traversant le cylindre normalement.

COtBS BE UECAMQtie.

Dans le treuil des caniars {Jîg. i a3) la grande roue p^ des chevilles sur lesquelles un homme se déplace; en pa d'une cheville à celle qui esi au-dessus, le hras de levier cl« puissance augmente. Il arrivera un inslanl uù le mouvema de la puissance l'emportera sur celui de 1» résistance, le fâi deau s'élèvera; maïs l'homme devra alors passer sur la cie

Fig. ,a3.

Ille suivante de façon à conserver iine position imnloM! is l'espace; sans quoi, enlraîné parla roue, il reviendrai e position telle que, le moment de la puissance étant éjst ^Celui de la résistance, le fardeau cesserait de s'élever.

Le oabestan est ud treuil à axe vertical manœuvré par o Pliarres fiies horizontales; \a Jîg. ia4 suffit à en faire Wi f Rendre la disposition, La seule différence vient de ce qu6

' n'esl pas fisée à l'arbre du Lreuil, elle fait seulement^ piques lours sur le cylindre et le brin libre est tiré par aam

Pis. ^^^■

; l'expérience moalre que la traction ainsi exercée eta ■oulement de la corde diitcrrainent une adhérence suffi-' laie pour s'opposer à tout glissement.

121. Remarque sur les systèmes déformables. — Les ] ichines que nous allons esaminer maintenant sont formées -l la plupart de plusieurs solides articulés les- uns aux] s par des points ou des axes, ou reliés par des cordes ■ machines forment donc des systèmes rtiatériels défor-1 blea. Pour qu'un système de ce genre soit en équilibre J s une certaine position, il faut que les forces extérieurea J ■lui sont appliquées remplissent les six conditions d'équid'un sjstème de forces appliquées à un corps solide. En J si ce sjstème déformable est en équilibre sous l'action] >Ëertaines forces, il restera, a fortiori, en équilibre si oui loIidiSe, c'est-à-dire si on lie invariablement entre eux lesj qui le constituent de façon à former un seul corps J ide. Dès lors, les forces appliquées au système doivent! îfier les conditions d'équilibre d'un système de forces 1 ^quées à un solide.

îJG cotna I)E hecamque.

122, Balance. — La balance se compose d'un levier hoi zontrtl ou jlêfiu, yjant nn axe fixe en son milieu {fig- ia5] un prisme Lriungulaire O appelé couteau esl iraplaoté pe pendiciilairemenl au lleuu, el repose par son arête inférieui sur on plan poli el dur; c'est celte arête qui consliUie Tas

Fis. '^5.

de rolation. Il y a de ml^nw ans t'slrtSmités A et B, detr petits prismes placés en sens inverse du précédent et sitrU arêtes desquels s'appuîenl les pièces, crochets ou plans a, fi auxquelles sont fixes les plateaux de la balance. Une i guille (7 reliée au fléau se déplace devaol une graduation se trouve au zéro quand le fléau esl horizontal.

Projetons sur un plan perpendiculaire à l'axe du coûter et appelons points de suspension du fléau et du plaleau le projections des points ou arêtes de suspension sur ce plan.

Supposons les points de suspension en ligne droite. Si I centre de gravité du fléau était exactement au point de suî pension, il serait en équilibre indifl'érenl; pour lui doorne un équilibre stable, il l'aut que son centre de gravité soi au-dessous du point d'appui.

Il esl facile, dès lors, de calculer l'angle dont s'inclînei le iléau sous une surcharge déterminée.

La balance étant en équilibre, les plateaux se placent de façon que leurs centres de gravité respectifs viennent dans la verticale de leurs points de suspension.

Soient P les poids égaux appliqués aux extrémités du fléau et qui comprennent le poids du plateau et des corps qui j sont placés, TîT le poids du fléau appliqué en son centre de gravité G. Désignons par / la longueur commune OA = OB des bras de levier du fléau supposés égaux, et par d la dis-

Fig. 126.

lance OG; ajoutons une surcharge /? à droite : le fléau s'inclinera d'un angle (Jig' 1 26) et nous aurons, en appliquant le théorème des moments par rapport à l'arête du couteau

P/cosô 4- TîTéfsinô = (P -4-/?) /cos0,

d'où l'on lire (0

lanff6 = —.' ° wa

On voit que la sensibilité de la balance, c'est-à-dire l'angle dont elle s'inclinera pour une surcharge égale à i^s^ par exemple, sera, toutes choses égales d'ailleurs :

I** Proportionnelle à /, et en raison inverse de xn; mais il ne faut pas oublier que xn est fonction de / et c'est au

COritS DB iriCANIQCE.

' .'il n\

pas avantage, pour d'autH

îonslmcLeui- à voir

raisons, à construira des buknces à courts l]é; ' En raison inverse de d; 3° Indépendanle de la cliarge aP.

La formule montre que, toutes les fois que l'angle t t issez petit pour qu'on puisse confondre la tangente Bvecl'ar ! dont s'inclinera la balance sera proportionnel à 1 Rircharge quand celte dernière sera fort petite.

La position d'équilibre est stable, car si le fléau fait n

ingle 9, inférieur à celui qui convient à l'équilibre, le mo

t/>/cos9| est supérieur au moment Gi{/BinQ|, la force)

tïl tourner le fléau vers la position d'équilibre, et inverse

t si cette position a été dépassée, l'angle Qg .étant plQ

fand que 0, c'est le inomenlcifi^sinOiqui est le plus grand É

a force [j ramène le fléau à la position d'équilibre.

Supposons les trois points AOB non en ligne droite. Dési-

gnons par l et /' les longueurs OB et OA et appelonsjtp et ^ les angles que font ces droites avec la dfoite OG.

Soit l'angle d'inclinaison de la balance pour un cbarge déterminée p {fig. 127), nous aurons, en appliquai comme ci-dessus le tliéorème des moments.

(P + /j-|/5in(ç-0)-r7-sln(ç'+0)-h77Trfsine,

OÙ nous lirons

(P-f-/?)/sin<p— P7^sin(p^ ° "" (P-h/?) /cos<p + P7'cos<p'-+-TiiS*

Si, pour simplifier, nous supposons / = /', co == cp', P = P', us obtenons la formule

(P -f-jo)/sin(<p — 6) = P/sin(<p 4- 0)4-Tiîef «inO,

'ù nous tirons

. pi sïuo

lange = :— =; ^ — 3

° (2P-h/>^/coscp -HTïja

on y fait cp = -; on retrouve la formule (i). Celte formule

atre que la sensibilité n'est pas indépendante de la charge ie.

23. Méthodes de pesée. — Une balance est dite juste nd son fléau reste en équilibre à la position zéro si on rge ses plateaux de poids égaux; la balance est soumise s à Taction de trois forces, les deux poids P égaux et son Is Tîj; à réquilibre, cette- dernière force est appliquée au Il G qui doit venir se placer dans le plan vertical passant le point O. On doit donc avoir comme condition d'équie, en appelant / et /' les bras de levier du fléau,

t-à-dire

DUT qu'une balance soit juste, il faut et il suffit que ses L bras de levier soient égaux.

n ne peut admettre que cette condition est remplie que 'agit de pesées commerciales; mais s'il s'agit de [pesées s dans le laboratoire de recherches scientifiques, s'il faut îxemple peser i''^ avec une approximation de i"^^ l'erreur

COCRB DK HÉCAHIQUE.

lalive admise esl de — ;, et il osl èvidcnl que le constrij leur ne peut pas répondre que l'égalité des bras de levier ô comportera pas une erreur relative plus grande.

On ne peut donc admettre que la condition de justesse sûjj remplie.

La méthode de <louble pesée imaginée par Borda coasM à placer le corps à pt?ser dans l'un des plateaux et à l'é librerpar une tare placée sur l'autre plateau ; on enlève en" le corps et on le remplace par des poids marqués donll gomme fait connaître le poids cherché ; mais quand on char la balance, on doit admettre que les trois points de suspension ne restent pas en ligne droilej et alors la sensibilité vanq avec chaque pesée; pour éviter cet inconvénient on pèsç par la méthode dite à charge constante qui estunem^^M de double pesée à sensibilité constante.

Supposons qu'on opère avec une balance capable de j i^ï avec une sensibilité de i"»; on met dans l'un des plat un poids unique de i''^ et dans l'autre toute la série desp divisionnairesdont la somme fait également i''S, Si la I est juste, elle reste au zéro, sinon on l'y ramène par u placée du côté convenable; on place en second lieu le coj du cûté des poids divisionnaires et l'on enlève un cet nombre de ceux-ci jusqu'à ce que l'équilibre soit rétabliîl somme des poids enlevés représente le poids du cqrps j double pesée. Les pesées successives doivent se faire changerai le poids de i^*, ni la tare; elles se font donc à g sibililé constante puisque (aP -(-/)) est une constante.

124. Balance romaine. — La balance dite romaiiu compose d'un levier du premier genre assujetti à tooi autour d'un point fise B (Jtg- i ?-8). On suspend à l'a mité A, à l'aide d'un crochet, le fardeau à peser, on luil équilibre par un poids constant/i soutenu par un anneau j

l'on fait glisser le long du bras BC. Appelons / le bras AB, ti la distance GB du centre de gravité du levier au point B et xs le poids du levier. L'équation d'équilibre est

(i) P/-HT!Jc? = /?xBG'.

Appelons G le point où il faut placer le poids mobile p

Fig. 128.

pour obtenir Téquillbre quand il n'y a aucun fardeau attaché en A, l'équation d'équilibre se réduit dans ce cas à

Tnû? = /?BG;

retranchons les égalités (i) et (2), membre à membre.

d'où