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Il j a donc équilibre entre ces deux limites et les conditions d'équilibre sont en définitive exprimées par des inégalités.
127. Poulie mobile. — La poulie repose par sa gorge sur une corde, dont une extrémité est liée à un point fixe A, l'autre, B, étant tirée par une force P, la puissance {^fig- i35). Le fardeau, qui constitue la résistance, est attaché à la chape et j)eut être figuré par une force Q appliquée au centré de la poulie.
La réaction du point fixe A sur la corde est une tension T
dirigée suivant A| A {fig. i36), l'équilibre doit donc avoir lieu entre ces trois forces P, T et R que l'on peut supposer
appliquées en A, B et O; il faut pour cela qu'elles soient dans un même plan, qu'elles concourent en un même pointel
s'y fassent équilil)re. La résistance Q doit donc être dans le plan de ta poulie; les forces P et T doivent se rencontrer en
un poinl M sur OQ; elles fonl donc des angles égau: celle droite tl, comme leur résullanle doit être égale < opposée l'i Q, qui esl dirigée suivant la bisseclrice A l'angle lîMA, il en résulte que l'on doit avoir P =T; la lensioi est donc la même tout le long de la corde. ■
Si l'on appelle sot l'angle des cordes, on a donc, comi dans le calcul de la pression totale sur l'axe de la pou tixe,
Quand on lire sur la corde B, la poulie s'élève, a augment U puissance augmente également, el il faudrait une pui sancc théoriquement inlinie pour amener la poulie à repose Dur une corde tendue borisoiilalemenl. On doit donc cberclK i s'éloigner, autant que possible, de ce cas limite si désavai tagcux; si, au contraire, les cordes sont parallèles et veiti cales, on a
U puissance est moitié du fardeau à soulever.
1^. Combinaison de poulies. — On peut combiner di poulies lixes et des poulies mobiles; on obtient ainsi di appareils qui peuvent élever de très lourds fardeaux :
1° Pr«miÂi« combinaison. — Le fardeau est attaché à u prvmit^n* [«mlie mtjbilc A. dont la corde est fixée par un bc A un point tixe a et par l'autre bout à la chape d'une deuxïii poulie mobile B {^g- ' ^7 ^ 1"' **' * ^^ ^^^ embrassée p tta<r ct)rde dont une exU^'mité b esl fixe, tandis que l'antre ( «Itachi^ ù la <rba)>e d'une tixiisi^ote poulie mobile C, et m de suite ju&qu'à ce qti'cnfiu la corde d'une dernière poi
mobile vienne passer sur# une poulie fixe de renvoi servant à transmettre Teffort dans la direction de la puissance P.
Fig. 137.
D'après la théorie de la poulie, la tension de chaque cordon qui. soutient A est
or cette tension joue le rôle de résistance pour la poulie suivante et par suite la tension des cordons de la deuxième poulie est
T-Ii = 2 = ^
et ainsi de suite ; la tension du /i**"* cordon étant la puissance P, on aura
Sî donc n est le Dombre des poulies, le rapport de la lance à la puissance est 2".
2" Hoofles. — Les moufles sonl formées de deux systà «le poulies réunies en nombre égal dans une même chi l'une des chapes est fixe et l'ensemble de ses poulies const [ ta moufle fixe, l'autre est mobile et soutient les poulies.
r forment la moufle mobile. La résistance est attachée ï moufle mobile; la corde unique, attachée au bas de la c , fixe, s'enroule ensuite alternativement sur une pouti I mouUc mobile et sur une poulie de la moufle fixe poi . terminer par le garant, où est attachée la puissant ifig. ,38).
Comme il n'y a qu'un cordon, la tension est la mêmi
aSÎ s les courants el égale à P ; l'une quelconque des poulies Idonc soUicilée par deux forces parallèles et égales à H qu^ nent.une résultante 3 P que l'on peut supposer appliquéai I son centre, c'est-à-dire à la chape. Si l'on appelle
bre des poulies montées sur la chape mobile, le nombre^ Il cordons est a n et la chape mobile sera sollicitée par une Ice anP; l'équilibre aura lieu si = Q.
Le rapport entre la résislance et la puissance est égal am double du nombre des poulies de la mouQe mobile ou auu nombre an des cordons qui embrassent les poulies.
3" Palan. — Les poulies placées les unes au-dessous des autres forment un appareil de grande longueur; aussi prt
Kig. (39-
rre-t-on le plus souvent monter les poulies de chaque moufleJ
teetniobile, sur un même axe. La/iff. iSg fait comprendre
I dispositif dont la théorie est d'ailleurs identique à la pré-4
nte.
129. Cas où ces machines sont mises en mouveme tles forces étant supposées en équilibre à chaque insta
' Mouvement sans frottement. — Les machines que tu . d'étudier sont des sjslt^mes matériels, assujetti tames lîiiisons, sur lesquels on fait agir deux, forces, ■puissance P el la résisUnce Q, appliquées respectivemen Bdeux points matériels A cl B de la machine.
En supposant qu'il n'y ail pas de frollement, nous avo Uonué les condition.s nécessaires et suffisantes qui doivei P^ans chaque portion de la machine, lier P et Q pour que machine soit en équilibre dans cette ]>ositîon. Mais, à l'eiu ^tion des balances, les machines servent rarement à I'^ vd'équilibre : on les uiihse à l'état de mouvement | e certaines résistances.
C'est en se plaçant à ce point de vue qu'on est condi ^Bux considérations suivanles.
Imaginons qu'il n'y ail pas de frottement et que la maci e melle en mouvemenl, ce qui arrivera évidemment si Bdonne pendant un court instant à la puissance une valeur)
■ peu supérieure à la valeur P qui convient à l'équilibre : Wtois la machine lancée, nous supposerons que, dans chaqi ^position considérée, P et Q remplissent les condilious d'éql
■ libre. Appelons V la vitesse que possède le point matériel iftù est appliquée la puissance P, ei W la vitesse du pâ
BjDatériel B où est appliquée la résistance Q; enfm appela l(P, V) et (Q, W) les angles respectifs de P avec V el de !*veq W (Jîg. i4o).
On a. alors le théorème général suivant :
Si les conditions de Vêquilibre sans frottement so. 'emplies, on a à chaque instant,
PVcos(Pj V)+ QWcos(Q,\V) = o.
Celte relation fondamentale, que l'on peut vérifier po
MÉCANIQUK.' a55
haque machine, rattache ainsi à un principe unique les conlitions de fonctionnement des machines sans frottement.
Avant de faire cette vérification nous mettrons la relaion (i) sous deux autres formes équivalentes.
I® Appelons Vp la projection de la vitesse V du point
Fi g. i4o.
matériel A sur la puissance P et de même Wq la projection de W sur Q : on a
Vp = V cos(P,V), Wtt=Wcos(Q,W);
donc la relation (i) peut s'écrire
(a) PVpH-QW^=o,
ou
Wi
Cette relation montre immédiatement que Vp et Wq sont de signes contraires : ainsi dans la fig, i4o Vp est positif ciWq négatif. En outre, on peut énoncer la relation (3) Comme il suit :
&i les conditions d^équilibre sans frottement sont remplies, le rapport de la puissance à la résistance est égal Qtt rapport inverse des vitesses des points d^ application de ta puissance et de la résistance estimées respectivement Suivant les directions de ces deux forces.
C'est ce fait général que l'on énonce sous une forme con< en disant.:
Ce qu ^on gagne en force on le perd en vitesse.
2° On* peut obtenir une forme purement géométrique
la relation fondamentale (i) et (2) de la façon suivan
Supposons que, pendant le temps très court Lt la machi
subisse un déplacement très petit amenant A en A' et B en
{fig' ï4o)- Alors la vitesse V est en grandeur, direction
sens, la limite de — - quand A^ tend vers zéro, et Vp est j
limite de ^ — â/ ' ^^ appelant (AA')p la projection de A^
sur P : de même W est la limite de -— et Wq la limit
de ^ ,, ^ • Il en résulte que -,;^ est la limite de rrrrr* ^^ ^ Ai ^ (V)p (AA)p. ■
relation (3) s'écrit sous la nouvelle forme (4) =l,m--^-^-«.
On peut donc dire aussi :
Ce qu'on gagne en force on le perd en chemin paTcouru.
Remarque. — Les propositions précédentes sont générales, Dans la pratique, il arrive ordinairement que pour utiliser li puissance tout entière, c'est-à-dire ppur rendre maximum l
terme
• PVcos(P,V),
on la dirige dans le sens même de V, alors le cosinus deviei
égal à I .
Si en outre Q est dirigé en sens contraire de W, on
cos(Q, W) = — I et la relation fondamentale prend la forr
simple
PV — QW = o
