P .. BB

:'est ce qui arrive par exemple pour le treuil.

Treuil. — Le treuil (n** 120) est un corps solide mobile auteur d'un axe fixe et sollicité par deux forces P et Q appliquées en des points A et B. Ces forces sont dans des plans perpendiculaires à l'axe et sont en outre perpendiculaires aux rayons CA et DB aboutissant aux deux points d'application.

Pour qu'il y ait équilibre il faut et il suffît que la somme des moments des deux forces par rapport à l'axe soit nulle. Supposons cette condition remplie et faisons tourner le treuil avec une vitesse angulaire co de façon que la vitesse V du point A soit dans le sens de P et, par suite, la vitesse W de B en sens contraire de Q. Comme les points A et B décrivent avec la vitesse angulaire u) des cercles perpendiculaires à l'axe ayant pour rayons CA = R etDB = r, on a (n° 129) V=:R(i), W=z,-tO, cos(P,V) = -4-i, cos(Q, W)=:-I.

La quantité (i) devient donc

PVcos(P,V)4-QWcos(Q, W) = w(P.R — Q.r)

= w(Mom. P-+- Mom. Q)

en appelant Mom. P et Mom. Q les moments des for«es P et Q par rapport à l'axe.

On voit que cette quantité est nulle quand les forces se font équilibre.

Par exemple, supposons qu'il faille avec un treuil élever un Doids de loo''^ suspendu à une corde enroulée sur le treuil. Si la puissance P est dix fois plus loin de l'axe que la •ésistance Q= 100^^, on pourra avec une puissance de lo'^s eulement équilibrer Q. Mais quand le treuil fonctionne, )Our que le fardeau s'élève de i™, il faut que le point l'application de la puissance parcoure un chemin de io"\ AC. 17

puistjii'ù cliaqtic iosUinl la vitesse du pniui A est dix f( [iliis gruinU' que telle du puint B.

Corps solide mobile autour d'un axe fixe et sollicité ; deux forces situées d'une façon quelconque. — Soit un sol mobile autour d'ua axe Os. Considérons une force Pa| cjuée en un point A de ce corps (/î^. i4i)- Faisons tourner l'orps avec une vitesse angulaire (o, nous allons montrer qu*

Pig. M..

a, dans tous les cas, PVcos(l*, V) = wMoni.P, où Mot», désigne le moment de P par rapport à l'axe O^.

Su|)posons, pour fixer les idées, u positif : le point A (rorps décrit en tournant une portion de circonférence do le plan est perpendiculaire à l'axe et dont le centre C est 8 l'axe. La vitesse V de ce point est tangente à cette circoa rence dans le sens positif des rotations et doanc'e par

Déiuniposons 1' en trois composantes rectangulaires /j,, P2 dirigées res|iectivenicnt suivant la direction V* d# vitesse, suivant la parallèle AE à l'axe et suivant le rayon Ç Appelons en particulier p la valeur algébrique de la ff mii^re couiposaule estimée positivement dans le sens de on écrivant que la projection de P sur V est égale à la somi des projections des trois composantes, on a

l'cos(P.V) = p,

car les projections de/? j e\. p^ sur V sont nulles. Donc

PVcos(P, V) = w./?.GA.

Mlàis le moment de P par rapport à Taxe est égal à la somnve^ des moments des trois composantes/?, Pi, P2 ' les compo** santés /?< et /?2 étant dans un même plan avec l'axe OMt dcsc moments nuls, et Ton a

Mom. P = />.CA.

Donc enfin

PV cos(P, V) = w Mom. P.

Cela posé, imaginons qu'on fasse agir une deuxième force Q sur le corps solide, cette force étant appliquée en un point^B :■ quand le corps tourne, ce point B prend une certaine, vi*-* tesse W et l'on a de même

QWcos(Q,W) = a)Mom.Q.

Donc

(i) PVcos(P, V)-t-Q\Vcos(Q,\V) = a)(Mom.P-hMom.Q).

Pour que les deux forces se fassent équilibre, il faut et il

suffit que

Mom.P -h Mom.Q — o;

la quantité (i) est donc nulle, quand les forces considérées se font équilibre.

Levier. — Le levier est un solide mobile autour d'un point fixe O sollicité par deux forces P et Q. On peut lui imprimer un mouvement quelconque laissant le point O fixe. Pour cela, il suffît, par exemple, de le faire tourner avec une vi-tesse angulaire w autour d'un axe quelconque Oz issu deO..

Dans ce mouvement, on a, d'après ce qui précède,

(i) PV cos ( P, V) -f- QW cos( Q, W) =^ (d( Mom. P -h Mom. Q ), les moments étant pris par rapport à l'axe choisi Oz.

-jGo COIRS DE MÊCAMOl'E.

Si les forces P et Q se font équilibre, elles ont une résultante passant par le point fixe; la somme de leurs moments par rapport à l'axe Oz étant égale au moment de cette résultante est nulle, car la résultante rencontre Taxe en O. La quantité (i) est donc nulle pour tous les mouvements que peut prendre le levier.

Si, en particulier, on fait tourner le levier autour d'un axe Oz perpendiculaire au plan du point O et des deux forces, la vérification est immédiate : elle est identique à celle qu'on a faite pour le treuil.

Poulies. Moufles. — Dans les combinaisons de poulies <|uc nous avons étudiées la même proposition est facile à retrou\er; dans la première combinaison, si la poulie A et, par suite, le point d'application de la résistance Q s'élèvent de h, la poulie B s'est élevée de i/i; en effet, si le centre est passé de O en O' (Jig- i4^')j td <|"e 00'= h, la corde est

passée delà position aC/nDB à la position aC'/?i'D'B', a étant fixe; la longueur comprise entre « et B a donc diminué de CC'H-DD'=2/i et comme la longueur totale de corde n'a pas changé, le point B s'est élevé de BB'= 2/1,

La poulie C s'est alors élevée de 'À^'ih) •= 'l'^li et la poulie de rang n de 2"/z; le point d'application delà puissance a

MÉGANIQUE. 26 1

donc décrit un chemin 2" A; l'appareil permet de vaincre une résistance 2" fois plus grande que la puissance employée, mais à condition que le point d'application de la puissance parcoure un chemin 2" fois plus grand que celui parcouru par le point d'application de la résistance.

Dans les deux autres combinaisons, si la résistance s'élève de A, chacun des 2 n cordons parallèles est diminué de A, et par suite le point d'application de la puissance est déplacé de 2nA; ici encore, ce qu'on a gagné en force on le perd en chemin parcouru.

2" Mouvement avec frottement. Frottement dans la poulie. — La proposition précédente n'est exacte que si l'on fait abstraction du frottement et, pratiquement, on gagne moins en. force qu'on ne perd en chemin parcouru; prenons pour le démonlrer l'exemple de la poulie O fixe, la puissance et la résistance étant verticales. Ces deux forces sont égales s'il y a

Fig. 143.

équilibre; de plus, si le point B vient en B', A vient en A' et les déplacements sont évidemment égaux {Jig* i43), on a