MM"=MM'+M'M

Divisons tous les tcrm MM'

s de cette égalité par A; MM' M'M"

Kpar définition les termes de cette égalité expriment les vitesses aaojennes des mobiles qui iraient de M en M", de M on M' et e M' en M" dans le temps A(. En passant à la limite, c'ealn-dire en faisant tendre Ai vers zéro, ces vitesses moyennes ■deviennent la vitesse V au temps ; du mouvement résultant ■ et les vitesses v et c' des mouvements c

Donc, d'une façon générale : quand on compose deux nouvements rectilignes quelconques, suîcant la même

36 COUkB Dl HiCAKIOtrB-

di-oile, la vitesse résuttanle est la somme algébrique det deux vitesses des mouvements e/ue l'on compose.

a" Composition des accélérations. — Elle résulte immédiatement de celle des vitesses, puisque, à chaque instant, i'égalilé (i) est siitisfaile; dérivons tous ses termes par rapport ù t : nous aurons

dV^ dv dt "Tt'^

ces expressions sont l'accélération Pau temps (du inouvpmenl résullaut el les accélérations f ^^^ des nmiiveinents composants; donc

l on compose deux mouvements rectiUgnes quelconques, suivant la même droite, l'accélération du n ventent résultant est la somme algébrique des deux accélérations des mouvements que Von compose.

Il est évident, d'après cela, que ces deui théorèmes peuvent être étendus à un nombre quelconque de mouvements reciilignes dirigés suivant la même droite.

16. Composition de deux mouvenients vibratoires parallèles et de même période.

Considérons en un m^me point el au même instant deux mouvements vibratoires parallèles caractérisés par une même période T, mais présentant une dill'érence de phase, et prenons la phase du premier comme origine des phases ; les équations de ces mouvements seront, par exemple, de la forme

les élongalions s'ajoutent algébriquement et l'élongalion X

CINÉMATIQUE DU POINT. 3y

du mouvement résultant est

X = a?! H- j?, = ai sin -= — h aj sin f -7= — h a I ovi, en développant,

\i) X = «1 sin-=; — h aj sm -=— cosa -h «j cos -=r- sina.

Cherchons à mettre cette équation sous la forme

(t^) X = Asin(:Ç'-H8),

c'est-à-dire à représenter la somme des élongations des deux mouvements vibratoires superposés par une élongation unique de même période, mais de phase différente 5 développons, il vient

a ) X = A Sin -=- cos ô H- A cos -^ sin

et en identifiant les équations (i) et (2')

A cos = «1 -f- «2 cos a, A sin8 = ai sina;

^n ajoutant membre à membre, après avoir élevé au carré, on a

'"^) A*= af -4- a| -h ^«1 «2 cosa

^^ en divisant membre à membre

(A\ fs ajsina

^^> tango = = :

ai -h «2 cos a

^^ première de ces équations fait connaître l'amplitude du ^^uvement vibratoire résultant, la seconde donne la quantité 8 qui définit sa phase.

La valeur de A est toujours réelle, carie minimum de cosa

aitms DE irM:*xi()iK.

est — i et dans ce cas l'expression de A est le carré de (o( — 03): IVqnalion ((j), de m^me, lionne loiijoui-s une valeur réelle pour 5.

On peul faire, nti sujet des vitesses ou des accélérations qui sont aussi sinusoïdales, des calculs semblables el qui conduisent à des conclusions analogues.

Si cosai=:i, c'esl-i'i-flire si a =: o ou an-, ce qui veut dire que la dillérence des pliase^ du second mouvemenl vibratoire 1 par rapport au premier est nulle, ou égale it un nombre pair de fois n, on u

les anipliUides s'ajouteni; si, au conlraire, eos a qui arrive lorsqu'on aa; = {2/i+ i)ti, ou voit que

et si les amplitudes des deux inouveuieuls superposés sont égales, A devient, nul, l'amplitude du mouvement vibratoire résultant s'nunule, il ^ a cs.linntiou du mouvement vibratoire, phénomène auquel on donne le nom d'interférence.

17. Composition de n vibrations parallèles de même période. — Imaginons qu'en un même point se superposent n vibrations parallèles difl'érant par l'ampUlude et jiar la phase, mais de même période, et soient .

les équations de ces n mouvements.

CINÉMATIQUE DU POINT. 89

■ L'équation du mouvement résultant est

X = S iPi = sin -7p- S «1 cos aj -+- cos -7=^- S «j sin «i ; elle peut se mettre sous la forme

X = Asin l-Y- + M-!

On a en effet, en développant et en identifiant,

A 0082710 = Saj cosa, , A si II 2 7:8 = Sai sînai ;

d'où Ton déduit

A- =^Sai cosa, )'^-\-(I.ai s'm a, )'^

^ ]Sai siiiai

tans 2 710 = ^ •

lai cos ai

Les valeurs de A et de 8 sont toujours réelles; le mouvement résultant est donc un mouvement vibratoire de même période; il serait facile d'écrire les équations analogues qui feraient connaître la vitesse et l'accélération.

18. Composition de deux vibrations parallèles de périodes inégales.' — Soient deux mouvements vibratoires de périodes inégales et n'ayant ni la même amplitude ni la même phase; leurs élongations peuvent être représentées par

Xi = ai sin -=-,

. /'ÀTZt rs

372= «2Sin( -^ -h Ô

Posons