MM

MB =

ayant même direction et même sens que MM|.

Quand Af tend vers zéro, ce vecteur MB tend vers un vecteur limite MD tangent à la trajectoire qu'on appelle dérivée géométrique du vecteur OM.

D'après cela, la dérivée géométrique d'un vecteur variable, d'origine fixe, est la limite du rapport de V accroissement géométrique du vecteur à l'accroissement àt du temps, quand At tend vers zéro.

CIMEHATIOUB DD POINT.

On yoit alors immédiaiemeiit, d'après la définition de la vitesse moyenne el de la vitesse, que : la vitess point M est la dérivée géométrique d'un vecteur iss point fixe quelconque et allant au mobile.

On voit de même, d'après la définition de l'accélér. l'aide de l'hodographe, que : l'accélération d'un moi à un instant quelconque, est égale à la dérivée ^ trique d'un vecteur \m, d'originefixe A (Jig- aS), la vitesse MV du mobile.

L'accélération apparaît alors comme étant la vîtes: laquelle varie le vecteur vitesse.

23. Projection de la dérÎT^e géométrique d'un t sur un axe. — Soit un vecteur OM d'origine fixe O : dérons les projections de ce vecteur sur un axe fixe, li jections étant faites par des plans parallèles à un plan fi peut toujours supposer que l'axe passe par O, car les ] lions d'un vecteur sur des axes parallèles sont égales.

Soit alors O^ l'axe sur lequel on projette, les proji étant faites parallèlement au plan^Oz.

La projection Om du vecteur n'est autre chose qu scisse X du point M dans le système d'axes obliques ou rectangulaires Ox, Oy,Oz.

A l'instant ( + Ai le vecteur occupe une position OM, {fig- 2^) ayant pour projection x + ^; le vecteur MM, , difTérence géométrique de CM) et OM, a

pour projection la différence des projections de C de OM, c'est-à-dire {x -h \x) — x^ ix. Le v MB = ~-rj^ étant égal au vecteur MM| divisé par àt :

"JK

projection la projection de MM| divisée par A/, c'est-

a-dire -r— • lit

Enfin, en supposant que Aï tende vers zéro, le vecteur MB tend vers la dérivée géométrique MD de OM et sa projection

tend vers la limite --j- ou :rj, qui est la projection de la dérivée

géométrique MD.

En résumé : la projection de la dérivée géométrique d'un vecteur, d'origine fixe, sur un axe, est égale à la dérivée de la projection du vecteur sur cet axe*

24. Projection orthogonale de la dérivée géométrique d'un vecteur sur le vecteur lui-même. — Appelons r la longueur OM du vecteur d'origine fixe O; quand le temps varie, le vecteur change de longueur et de direction, r est une certaine fonction du temps. Prenons sur le vecteur OM, à l'instant t^ comme sens positif, le sens OM ; alors la projection orthogonale de la dérivée géométrique de OM sur OM est

égale à -rj ou r\.

On peut déduire ce théorème du précédent. Prenons un axe fixe quelconque O^ et projetons orthogonalement le

. vecteur OM sur cet axe. En appe- Fig. 28. lant {fig, 28) r la longueur OM

et 8 l'angle :rOM, on a