X := r cos
Les quantités r et 6 varient en fonction du temps.
La projection de la dérivée géométrique MD de OM sur Ox est
-. dx -. dr ^ ' nd^
dt at at
CINBHATIQVE OU POINT.
Cette formule est vraie quel que soil le choix de l'axe O^ dès lors, pour avoir la projection D^ de MD sur OM, pre nons pour axe fixe Ox la position OM du vecteur i l'instant t. Nous aurons
2o. AppiUcationB : Premier problème. — ■Quelle est la con dition nécessaire et suffisante pour que la dérivée géomé trique D rf'un vecteur OM soit constamment dirigé, suivant ce vecteur. — Nous allons montrer que celte condî lion est que l'orientation du vecteur soit constante.
En effet, actuellement, le vecteur dérivé se confond ave sa projection sur OM, Le segment MD, estimé posîtivemeii dans le sens OM, est donc ^ en appelant r la longueur OM La projection de ce segment sur un axe fixe quelconque O;
B élant l'angle ^OM. Mais, comme la projectioji x de OS sur Ox est
;p = rcose. ^'^•^^■
dt dt dt
Comparant ces deux formules, on voit que /'sinO-j- est nul; comme /■ et 9 sont différents d léro, T- est nul, et Q est constant.
L'angle de OM avec un axe fixe Qx {fig- 29) pris arbi
"U-rw^
trairement élanl constant, OM a une orientation fixe dans l'espace . Celte condition nécessaire est évidemment suffisante.
On peut se rendre compte, approximativement, de cette condition en remarquant que, si l'orientation du vecteur change, comme dans hi fi g. 2^, la dérivée MD du vecteur fait avec le vecteur un angle qui est difiiérent de zéro comme é tant Pangle de la tangente MD à la trajectoire de M avec OM.
Deuxième problème* — Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que la dérivée géométrique d^ un vecteur soit constamment normale à ce vecteur? — Cette condition est que la longueur r du vecteur reste constante. En effet, si le vecteur dérivé D est constamment perpendiculaire sur OM, sa projection sur OM est constamment nulle; or
cette projection est^« On a donc
dr
-— = o, r= const.
at
dr Réciproquement, si r est constante, -j- est nul et le vecteur D
est perpendiculaire sur OM.
On peut se rendre compte approximativement de ce résultat en remarquant que, si r varie, la tangente à la trajectoire de M est oblique sur OM; si, au contraire, r est constant, le point M décrit une courbe située sur une sphère de centre O et la tangente MD à cette courbe est perpendiculaire au rayon OM.
Troisième problème. — Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que la déri{>ée géométrique d'unvecteur soit nulle? — Il faut et il suffit que ce vecteur soit constant en grandeur, direction et sens.
En effet, si la dérivée géométrique est nulle, sa projection
CINEMATIQUE DU POINT.
sur un axe Ox quelconque est nulle. Or cette projec est TT' a? désignant la projection du vecteur sur l'axe; do est constant; cette propriété a;yant lieu pour un axe c conque, l'extrémité M du vecteur est fixe.
On peut dire aussi que, la vitesse de l'extrémité A vecteur étant nulle, cette extrémité est fixe,
26. Hodographe d'un mouvement rectîligne varii Soit un mobile M parcourant l'axe Ox d'un mouve. varié et possédant à l'instant l la vitesse représentée p vecteur MV {Jiff^ 3p); pour tracer l'hodographe de ce me ment, prenons une origine fixe O' et menons, à partir de origine, un segment O'M' égal et parallèle à MV. Qu;
varie, la vitesse du mobile M change de grandeur, mai. de direction; les points M', que l'on obtient par la cons lion de l'hodographe, se trouvent donc tous sur la droite parallèle à Ox, et l'abscisse x' du point M' sur cet 3:1 par construction égale à la vitesse du point M.
Si la vitesse du point M était constante, le point ] l'hodographe serait immobile; la vitesse du point M variable avec /, le point M' se déplace lui-même ave vitesse qui est l'accélération du mouvement du point M
Il est facile de constater que, dans cette applicatii l'hodographe à l'étude du mouvement rectiligne varié, avons reproduit les termes mêmes du n" 11, où nous défini l'accélération dans un tel mouvement ; l'accord est complet entre ce mode de représentation cinématiq l'accélération et sa définition même,
Fig. 3x.
27. Mouvement circulaire varié ; son équation angu-^» laire ; vitesse et accélération angulaires. ^ Supposons un point M assujetti à se déplacer d'un mouvement varié sur une circonférence de rayon R {^fig* 3 1). Sa position M dans le plan à chaque instant sera définie par sa distance constante p = R à l'origine O et. par l'angle
que fait avec une droite fixe Oo: la droite OM, cet angle étant
coïnpté positivement dans un certain sens de rotation et négativement en sens contraire; la forme de la fonction <p est quelconque quand le mouvement circulaire est varié, «t la relation (i) est V équation angulaire du mouvement. Soit ç là vitesse du point M à l'instant t estimée positivement dans le sens positif des angles I appelons to la vitesse du point m situé à l'unité de distance du centre; comme tous les points du rayon OM décrivent des arcs homo thé tiques dans le même temps, leurs vitesses sont proportionnelles à leurs distances au centre : on a donc
ou
La quantité o) prend le nom de vitesse angulaire ; sa
dérivée, par rapport au temps ^, est V accélération angulaire..
Si nous appelons l'angle formé par le raypn mobile avec la direction Oxk l'instant f et -+- A l'angle à l'instant 1 4- tkt\ la vitesse «0 du mobile sur la circonférence de rayon un à
l'instant t est, en grandeur et signe, la limite • ^ du rap-
CINEMATIQUE DU POINT.
ÀO
port -r-; on a donc
dt ' ' ^ '
Dans le cas du mouvement uniforme, hi^=i -r est une
constante ; le point M décrit alors des arcs égaux en des temps
égaux, sa vitesse v est constante en grajideur et signe et son
accélération angulaire est nulle; l'équation angulaire d^un tel
mouvement est
28. Hodographe du mouvement circulaire varié; accélérations tangentielle et normale. — Soient M et M' deux positions infiniment voisines du mobile M sur la circonférence de rayon R aux époques ^ et f -f- Ar, et soit A9 l'angle des deux droites OM et OM' (Jig^ 32); par le point A
Fig. 32.
menons A m et A/n' égales et parallèles à V et V -f- AV vitesses du mobile aux mêmes époques; l'accélération moyenne
est-—-? elle tend à la limite vers la dérivée géométrique du
vecteur A m. Abaissons du point, /n la perpendiculaire m H sur A m' ; le vecteur mw! peut être considéré comme la somme géométrique des deux vecteurs mH etH/w' et, par suite, l'accélération moyenne est aussi la résultante des deux compo-
mH , H/w' santés -rr- et
L'angle des droites A m et A/w' étant le même que celui des droites OM et OM', c'est-à-dire AO, on a, puisque v et A6 ont le même signe,
mil __ psinAO A6 sinAÔ
"AT ~ Â7 "~ ^Â7 Aô
Cette composante que nous appellerons y^ est, à la limite, dirigée suivant la normale à la vitesse, c'est-à-dire suivant le rajon, et elle a pour expression
car le rapport dû sinus à l'arc tend vers l'unité.
Quant à la composante -tt-> elle tend vers la projection
orthogonale de la dérivée géométrique du vecteur A m sur le vecteur lui-même; elle est donc (n° 24) dirigée suivant la tangente, et est en valeur absolue égale à la valeur absolue de la dérivée de la grandeur A m de la vitesse par rapport au temps ; la valeur algébrique yt de cette limite estimée positivement dans le sens positif des angles est dans tous les cas,
en grandeur et en signe, y,= ^ = K -7- , comme nous le montrerons au n*^ 32.
Donc l'accélération d'un point mobile sur une circon- Jérence se compose d'une accélération tangentiélle égale à la dérivée de la vitesse par rapport au temps où au produit de V accélération angulaire par le rayon, et d'une accélération normale, dirigée vers le centre du cercle, égale au carré de la vitesse divisée par le rayon, ou au produit de ce rayon par le carré de la vitesse angulaire,
29. Mouvement circulaire uniforme. — Le mobile M décrit la circonference.de rayon R avec une vitesse v con-
Fig. 33.
CINÉMATIQUE DU POINT. 53
stante en grandeur, mais variable en direction; il y a, par conséquent, une accélération.
Appliquons la construction de l'hodographe : soit Mç' la vitesse du point M, menons par le point O une droite OM' parallèle et égale à M(^; le lieu dé M' est évidemment une circonférence de rayon ^ que le point M' parcourt dans le même sens et dans le même temps que M emploie à parcourir la circonférence de rayon R {fig* 33).
Le rapport des vitesses (^ et y des points M et M' est le même que celui des rayons R et f»; on a donc
(I ou
al
La vitesse y du point M' de l'hodographe est l'accélération du point M se déplaçant d'uii mouvement uniforme sur la circonférence; figurons cette vitesse en M'y et menons par le point M une parallèle My égale et de même sens; ce vecteur figure l'accélération du point M; elle est donc constante en grandeur et dirigée vers le centre de la circonférence suivant le rayon.
Ces conclusions peuvent d'ailleurs se déduire immédiate-
ment du cas général ; puisque p est constant, -^ est nul et
l'accélération tangentielle est nulle; l'accélération totale se
réduit donc à sa composante centripète p- ou to^R.
Si l'on appelle T la durée d'une révolution, c'est-à-dire le temps que le mobile met à parcourir la circonférence, on a
et
a-ït R
rp
en portant cette- valeur de i^ dans Texpression de y, il vient
47r»R -fi-
Quand les machines, dont certaines pièces tournent, ont pris leur régime normal, on caractérise d'habitude leur mouvement par le nombre n de tours qu'elles exécutent à la minute.
L'espace 2/?tc décrit par le point m sur la circonférence de rayon un d'un mouvement uniforme, en une ipinute, mesure
la vitesse angulaire à la minute, et =w est la vitesse
angulaire à la* seconde ; cette formule peut servir à résoudre le problème inverse.
La vitesse à la seconde d'un point situé sur la pièce qui tourne à distance R de l'axe est ,
