MM'=MM'+M'M
Divisons tous les termes de celte égalité par i(
MM' Mi\r M'M'
par définition les termes de cette égalité expriment le: moyennes des mobiles qui iraient de M en M", de M de M' en M" dans le temps \t. En passant à la limi à-dire en faisant tendre At vers zéro, ces vitesses n deviennent la vitesse V au temps t du mouvement et les vitesses c et t' des mouvements composants
' Donc, d'une façon générale : quand on compc mouvements rectilignes quelconques, suivant l
droite, la vitesse résultante est la somme algébrique des deux vitesses des mouvements que Von compose,
a® Composition des accélérations. — Elle résulte immédiatement de celle des vitesses, puisque, à chaque instant, l'égalité (i) est satisfaite; dérivons tous ses termes par rapport à t : nous aurons
dt
dv dt
Ut
ces expressions sont Taccélératiop F au temps ^ du mouvement résultant et les accélérations y et«Y des mouvements compo-
sants; donc
r=YH-Y'.
Quand on compose deux meuglements rectilignes quelconques, suivant la même droite^ V accélération du mouvement résultant est la somme algébrique des deux accélérations des mouvements que Von compose.
Il est évident, d'après cela, que ces deux théorèmes peuvent être étendus à un nombre quelconque de mouvements rectilignes dirigés suivant la même droite.
16. Composition de deux mouvements vibratoires parallèles et de même période.
Considérons en un même point et au même instant deux mouvements vibratoires parallèles caractérisés par une même période T, mais présentant une différence de phase, et prenons la phase du premier comme origine des phases ; les équations de ces mouvements seront, par exemple, de la forme
Xi =|ai sin -=- >
. f ITZt
les élongations s'ajoutent algébriquement et l'élongation X
CINEMATIQUE DU POINT, 87
du mouvement résultant est
X = iF| -h oTj = ai sin -= — h ax sm 1 -= — h a j OU, en développant,
(i) X = ai sin-=; — h a% sin -=— cosa -H a^ cos -=- sina.
Cherchons à mettre cette équation sous la forme
c'est-à-dire à représenter la somme des élongations des deux mouvements vibratoires superposés par une élongation unique de même période, mais de phase différente; développons, il vient
a ) X = A sin -=- cos o -f- A cos -=r sin
et en identifiant les équations (i) et (2')
A cos 8 = ai -h «j cosa, A sin 8 = a] sina;
en ajoutant membre à membre, après avoir élevé au carré, on a
(3) A*aa af -4- a| -h 2ai aj cosa et en divisant membre à membre
//v ^ «jsina
(4) tangS =
a|-+- aj cosa
la première de ces équations fait connaître l'amplitude du mouvement vibratoire résultant, la seconde donne la quantité S qui définit sa phase.
La valeur de A est toujours réelle, carie minimum de cosa
COURS DE HliCAMQIIE.
et dans ce cas l'expression de A est le carré de ;î); l'équation (4), de même, donne toujours une réelle pour S.
eut faire, au sujet des vitesses ou des accélérations t aussi sinusoïdales, des calculs semblables et qui conà des conclusions analogues.
isœ^^i, c'est-à-dire si a =^ o ou 2/JTt, ce qui veut dire lifierence des phases du second mouvement vibratoire iporl au premier est nulle, ou égale à un nombre fois n, on a
ïliludes s'ajoutent; si, au coniratre, cosoi = ive lorsqu'on aa = (2/2+ 1)71, on voit que
s amplitudes des deux mouvements superposés sont A devient nul, l'amplitude du mouvement vibratoire it s'annule, il y a extinction du mouvement vibratoire, lène auquel on donne le nomd' interférence.
(Composition de n vibrations parallèles de même
e. — Imaginons qu'en un même point se superposent ations parallèles différant par l'amplitude et par la mais de même période, et soient
ations de ces n mouvements.
CINÉMATIQUE DU POINT. 89
- L'équation du mouvement résultant est
'?.TZ t '2.TZ t
X = 2 iFi = sin ~=r- 2 a\ cos «i -h cos -7=- 2 aj sin «i ; elle peut se mettre sous la forme
X = Asin(?f'+o).!
On a en effet, en développant et en identifiant,
A cos '2 iro = 2 «1 cos aj , A sin 'XTz^ = Sai sinai ;
d'où l'on déduit
A- = (2ai cosaj )--r-(2a, sin a, )-,
^ 2ai sin «i tang27ro = •
!«! cos ai
Les valeurs de A et de 8 sont toujours réelles; le mouvement résultant est donc un mouvement vibratoire de même période; il serait facile d'écrire les équations analogues qui feraient connaître la vitesse et l'accélération.
18. Composition de deux vibrations parallèles de périodes inégales. — Soient deux mouvements vibratoires de périodes inégales et n'ayant ni la même amplitude ni la même phase; leurs élongations peuvent être représentées par
Xx = ai sin -=r-j
. /'ITZC
Xi= ajsinf -jp- H-
Posons
air 2Tr -fr = -Y
la seconde expression peut s'écrire
a?j = as sm ( -7=- < H- £ < -r- 1 .
4o COURS DE MÉCANIQUE.
Le calcul sera conduit exactement comme dans les cas précédents à condition de remplacer 8 par e^ 4- 8 ; on aura
A'= aJ-f-ajH- aaïAs cos(e^ ■+■ 8).
L'amplitude sera donc fonction du temps; elle passera par des maxima et des minima correspondant aux valeurs + 1 et — I du cosinus. On aura pour e^ -f- 8 = 2mz des maxima A^ = (aj -h aa)^, et pour (e^-+- 8) = (2/1 + i)ti des minima A^ = (ai — «a)^ qui pourront même être nuls si a^ = aj.
Ces maxima et ces minima se suivront à des intervalles réguliers; soit 8 le temps qui sépare deux maxima; deux maxima qui se suivent sont caractérisés par
d'où, en retranchant
et en remplaçant s par son expression, il vient
ft ^^ ' xr .
en remplaçant T et T' par les inverses -j^» -j^ des nombres des
vibrations a la seconde correspondant à chjique mouvement vibratoire on obtient
le nombre n des maxima à la seconde est donc
Le nombre de maxima à la seconde produits par deux
CINÉMATIQUE DU POINT. il
mouvements vibratoires de périodes inégales est égal à la différence du nombre de leurs vibrations à la seconde.
19. MouYement périodiquement uniforme. — Le mou- ^fu^é/ veinent périodiquement uniforme est celui qu'on obtient lorsqu'on compose un mouvement vibratoire simple avec un mouvement rectiligne uniforme sur la droite sur laquelle s'exécute la vibration.
Soit
ar' = Xt -+- Po £
l'équation du mouvement uniforme, où k\ est une constante, et soit
ac^ =z a sin(w/-4- 8)
l'équation du mouvement vibratoire.
L'équation du mouvement résultant sera, d'après les théorèmes précédents
la vitesse sera donnée par la formule
(a) V = — p- = vo ^- «««> cos(u)<H- $)
at
et l'accélération sera
(3) Y = -1- = — afa)*sin(w^ -+- ô).
B. - MOUVEMENT CURVIUGNE.
20. Mouvement curviligne sur une trigectoire donnée- Vitesse. — Soient M et M i les positions du mobile sur la trajectoire aux instants ^et ^H- A^. Portons surMMf, dans
le sens MM|, une longueur MW égale à — ^^ {^fig- ^3) ;
le vecteur MW s'appelle vitesse moyenne du mobile pendant le temps Af ; c'est la vitesse que posséderait un mobile fictif animé d'un mouvement rectiligne uniforme qui parcourrait le segment de droite MMi dans le temps ùkt. Lorsque A< tend vers zéro, la vitesse moyenne M W tend vers un vecteur limite MV, tangent à la trajectoire en M, que l'on appelle vitesse du ntobile à V instant t, et qui représente cette vitesse en grandeur, direction et sens.
Supposons le mouvement défini par la trajectoire et par l'expression de l'arc MoM = 5 en fonction de t. Comme le rapport de l'arc MM^ à la corde MM^ tend vers l'unité quand A^ tend vers zéro, la vitesse a pour valeur absolue
arc MM| , ds "ÂÏ ~~" 'dt'
lim
Si l'on mène la tangente à la trajectoire MT dans le sens
des arcs positifs, la vitesse est dirigée dans le sens MT, ou en
ds sens contraire, suivant que -j- est positif ou négatif. Donc la
valeur algébrique v de la vitesse estimée positivement dans
ds le sens MT est^« Quand cette vitesse ç'^st constante en
grandeur et signe, on dit que le mouvement curviligne est uniforme.
Accélération. — La conception de l'accélération dans les cas les plus simples appartient à Galilée.
Fig. 24.
CINÉMATIQUE DU POINT. 43
Soient MV, M| V< les vitesses du mobile aux instants t et t + A/ {fig, 24). Menons par M un vecteur MU égal et parallèle à M, V, et soit MH la différence géométrique entre MU et MV, c'est-à-dire la grandeur géométrique qu'il faut composer avec MV pour obtenir MU.
Si l'on porte sur MH une longueur MI égale à — -» le vecteur MI est V accélération
moyenne du mobile pendant le temps ùkt. Quand A^ tend vers zéro, ce vecteur MI tend vers une limite MJ, qu'on nomme accélération du mobile à V instant t.
Gomme le plan MVU a pour limite un plan appelé plan osculateuren M. à la trajectoire^ l'accélération MJ est située dans le plan osculateur.
21 . Hodographe. — On ramène facilement la notion d'accélération à celle de vitesse. Un point M étant en mouvement sur une trajectoire {fig- 24), on mène par un point fixe arbitraire A {fig- 25) un vecteur A.m égal et parallèle à la vitesse MV du mobile M à l'instant t.
Quand t varie, le vecteur Km
Fig. 25.
change et décrit une surface conique; son extrémité m constitue un nouveau mobile parcourant, sur ce cône, une trajectoire curviligne h appelée hodographe,
La vitesse de ce nouveau mobile m est, à chaque instant, égale et parallèle à l'accélération du premier M. En effet, à l'instant t-\-^t le mobile m occupe une position m^, telle que Am^ soit égal et parallèle à M^Y ^ ou à MU : par conséquent mm^ est égal et parallèle à VU ou à MH. La vitesse moyenne du point m
sur rhodographe pendant Tintervalle Af est un vecteur mi
dirigé suivant mm^ et égal à — — î- : cette vitesse moyenne mi
est donc égale et parallèle à l'accélération moyenne MI du premier mobile M. En faisant tendre A^ vers zéro, le plan Am/W| tend vers le plan tangent à la surface conique suivant A/w, plan qui est parallèle au plan osculateur à la trajectoire au point M, et Ton voit que la vitesse mj du mobile m à l'instant t est égale à l'accélération MJ du mobile M au même instant.
22. Dérivées géométriques. — Leur application à la définition de la vitesse et de raccélération. — Soit un vecteur OM dont l'origine O est fixe (y?g. 26) et dont l'extrémité M est animée d'un mouvement déterminé de façon à décrire
une certaine trajectoire; à l'instant t le vecteur a une position OM, à l'instant f 4- A^ une position 0M|. L'accroissement géométrique du vecteur est la différence géométrique
