TT
Cette même formule peut servir à traiter le problèmeinverse : A combien de tour^ à la Fig. 34. minute faut-il faire tourner un axe
pour qu'un point qui lui est lié, à distance R, ait une vitesse ç à la . seconde?
30. Projections du mouvement circulaire uniforme sur deux axes rectangulaires. — Supposons un mobile M se déplaçant d'un mouvement uniforme, dans le sens inverse des aiguilles d'une piontre, avec une vitesse angulaire to sur une circonférence de rayon R {fig- 34); soit Mo sa position au temps zéro définie par l'angle MoO;r^;=a, et soit M sa position au temps i définie par l'angle MOMo= = wr; les coor-
CINÉMATIQUE DU POINT. ' 55
Jonnëes du point M à Finstant t^ ou les équations du mouvement, sont
r^ â? = Rcos(io^ -h a), ^ y = R sin
\{tsit ->r a).
On l'appelle le mouvement circulaire uniforme gauche. Si le inouvement est droit , on doit changer . dans ces équations co en — o) ; elles deviennent
X = Rdos(a>/ — a), * ^ = -rRsin(to^ — a).
L'équation delà trajectoire est dans les deux cas
Dans le mouvement direct, par exemple, les composantes • de la vitesse et la vitesse ont pour expression :
de 'dt
= — a)Rsin(aj^-Ha) = — to y,
dv
--J- = wR cos(a)^ -h a) =w:r,
dt
i^ = wR.
L'accélération y = w^R dirigée suivant la droite MO, vers le centre, a pour projections sur ces axes
Y^ = — w*R cos(u)f -:H a) = — a>*ar,
31. Application^ une trajectoire quelconque. — Pour une trajectoire quelconque, nous avons vu que l'accélération est la dérivée géométrique d'un vecteur Am d'origine fixe A égal à la vitesse du mobile. On peut alors immédiatement, résoudre les problèmes suivants : •
Premier problème. — Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que l'accélération du mouvement soit constamment tangente à la trajectoire? — Comme la vitesse est tangente à la trajectoire,, cela revient à demander quelle est la condition pour que l'accélération ait même direction que la vitesse. Mais l'accélération est la dérivée géométrique d'un vecteur A/n. égal à la vitesse; il faut donc chercher dans quel cas la dérivée du vectenir Am a même direction que ce vecteur. Pour cela il faut et il suffît que le vecteur Am, c'est-à-dire la vitesse, ait une orientation fixe. La vitesse ayant une orientation fixe, le mouvement est rectiligne. En effet, on peut toujours prendre trois axes Oxy Oy^ Ozy dont l'un, O^, soit parallèle à la direction de la vitesse; alors, en appelant j' et z les coordonnées du mobile, les composantes de la vitesse suivant les axes Oy et Oz sont nulles,
dy dz
-f- = o et -— = o, ,
dt dt '
donc y et z. sont constants et le point décrit une droite parallèle à. Oj:.
Nous avions vu, dans la théorie du mouvement rectiligne, que, pour un tel mouvement^ l'accélération a même direction que la vitesse ; nous venons de démontrer la réciproque : le mouvement rectiligne est le seul qui possède cette propriété.
Deuxième problème. — Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que V accélération soit constamment normale à la trajectoire, — Si l'accélération est normale à la trajectoire, elle est normale à la vitesse :. or l'accélération est la dérivée géométrique d'un vecteur Am égal à 1^ vitesse; la longueur r de ce vecteur est précisément la valeur numé-» rique dz ç^.de la vitesse. On veut que la dérivée du vecteur lui soit perpendiculaire : pour cela il faut et il suffit que le vecteur ait une longueur constante (26), c'est-à-dire que la vitesse ait une valeur numérique constante.
GINEMATIOVE DU POINT.
La trajectoire a alors une forme quelconque, mais elle ( parcourue d'uQ mouvement uniforme.
Dans ce cas l'hodographc est une courbe tracée sur u sphère de centre A.
Troisième problème. — Quel est le mouvement le pi général dont l'accélération eut nulle? — La dériv géométrique du vecteur Am, égal à la vitesse, est nulle. ' vecteur est donc constant en grandeur, direction et sens. '. vitesse étant constante en direction, le mouvement est rec ligne ; la vitesse étant aussi constante en grandeur, le mouv ment est uniforme. Le mouvement est donc rectiligne uniforme.
Dans ce cas l'hodographe est un point.
32. Expression générale de l'accélération tange tldlle. — Dans -un mouvement curviligne quelconque, i appelle accélération tangentielle la projection de l'accélération du '''S' '^'
mobile M sur la tangente à la trajectoire en-M.
Prenons une Origine O' sur la trajectoire et un sens positif O'S pour les arcs. Soient, à l'instant t, M la position du mobile, s la valeur algébrique de l'arc O'M, et
MTIa tangente dans le sens positif. Nous avons déjà vu que vecteur vitesse MV est tangent à la trajectoire et que sa vale algébrique v, estimée positivement dans le sens Mï, est
"" dt'
Dans la Jig. 35 le mobile est supposé marcher dans sens négatif; s diminue quand t croit ; c est négatif, Soieni l'accélération du mobile, y, sa projection sur MT, cette pi
jection étant positive si elle a le sens MT, négative dans le cas contraire. Nous allons démontrer qu'on a
^'^ di ~"dr^'
En effet, supposons d'abord la vitesse i^ positive; alors le sens de ^^ se confond avec celui de MT, et y^ est la projection de Y siir la vitesse ; or y est la dérivée géométrique du vec^teur vitesse de longueur r = v] la projection de y sur ce vecteur lui-même est donc (24)
dr
dt
dv
la formule est démontrée porur ce cas.
Supposons ensuite la vitesse rnégative; alors le vecteur vitesse est en sens contraire de MT et y^ est égal et de signe contraire à la projection de y sur le vecteur vitesse; mais, en appelant r la longueur du vecteur vitesse, on a r = -7- ^î la projection de y sur le vecteur vitesse est
dr dt
dv dt
et sa projection ^ur MT est encore.
Nous avons ainsi l'expression algébrique de fe projection de l'accélération sur la tangente.
On démontre que l'accélération y est dans le plan oscùlateur en M du côté de la concavité de la trajectoire et que la projection y„ de l'accélération sur la normale principale à la trajectoire est
p désignant \^ rayon de courbure en M.. Ce résultat est
CINEMATIQUE DU POINT^ 5^
l'extension à une courbe quelconque du théorème que nous avoiis démontré pour une trajectoire circulaire; on. peut s'en rendre compte approximativement en remarquant que, sur une petite, étendue, au voisinage d'un point M, une courbe quelconque peut être confondue avec un arc de cerclé ayant, pour plan le plan osculateur en-M, et pour rayon le rayon de courbure en ce point.
Si, dans . un mouvement, on connaît ces deux composantes tangentielle y^ et normale y/i, on obtient l'accélération Y en fa,i$ant leur somme géométrique; la grandeur de
l'accélération est y = vT? + T/r
33. Application à la discussion d'un mouvement sur une trajectoire donnée. -^ L'expression de l'accélération tangentielle suffit à faire reconnaître la nature d'un mouve-
ment sur une trajectoire donnée :
1° Si Yf = -r-i est constamment nulle/-,- est nulle aussi et,
par suite, v est une constante; le mouvement e^st donc tel que sa vitesse chaïige de direction avec le temps, -puisqu'elle reste toujours tangente à la trajectoire, .mais reste constante en grandeur : c'est le caractère d'un mouvement curviligne uniforme. Réciproquement, si v est une constante,* -j- est nul et
• par suite aussi -7-5; la condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement soit uniforme est donc
d^s dv
2" Si -r-r est différent de zéro, le mouvement est varié, dt^ ■ ' '
puisqu'on appelle ainsi tout mouvement qui n'est pas uniforine. Il peut être accéléré ou retardé si sa vitesse croît ou décroît en valeur absolue, c'est-à-dire suivant que. le carré v^
60 COURS DE NÉCAMQUE.
augmente ou diminué. Le mouvement est donc accéléré si la dérivée
d(v*) dv d*s
est positive; il est retardé quand cette même quantité est négative. On peut dire aussi que le mouvement est accéléré quand v et-^f ont le même signe, c'est-à-dire quand les vecteurs vitesse et accélération tangentielle ont le même sens ;-
il est retardé dans le cas contraire.
d^s 3® Si l'accélération tangentielle ^-^ est une constante y^,
on a
, . d*s dv
il en résulte que i^ = ^'o-H Y^^? ^0 et y^ étaill des constantes; et enfin on peut écrire
ds d'où résulte
(2) ' s = So-hVot-h - -(ti^y
la courbe est donc parcourue d'un mouvement uniformément varié. '
Réciproquement, si la courbe est parcourue d'un mouvement uniformément varié, on peut passer par différentiation de l'équation (2) des espaces à l'équation (i)
l'accélération tangentielle est constante; l'équation (3), dans laquelle y^ est constant, est donc la condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement curviligne soit uniformément varié.
CINÉMATIQUE DU POINT. 6l
4** Si raccélération tangentielle *{e= -^ est de la forme
d'^s dv
(1) Yr=-5^, =-^=««-'cos<ot,
on peut écrire
et
(2) s = SQ-h^Qt — acostùt;
lé mouvement est alors un mouvement périodiquement uniforme. (^^•I^)
Réciproquement, si le mouvement sur la courbe est périodiquement uniforme, on peut remonter de l'équation (2), qui le représente, à l'équation (i), qui est donc la condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement soit périodiquement uniforme.
Pour que le mouvement forme une vibration simple, la même condition est nécessaire, mais elle n'est pas suffisante; il faut de plus que Vq-=o, Or y^ peut se mettre sous la forme
et, si t^Q est nul, on a
Yf = — a)»(5 — 5o).
L'accélération tangentielle est, en un point quelconque M de la trajectoire curviligne, proportionnelle à l'arc s — Sq et dirigée dans le sens qui va vers le point fixe s=::Sq. C'est la condition pour que le mouvement constitue une vibration * simple.
^rii
