Équations du mouvement

Trajectoire. — Soient trois axes de coordonnées Ox, Ojr, Oz et un point mobile M dont les coordonnées x, y, z sont des fonctions continues données du temps

Fig. 36.

Les équations de la trajectoire S s'obtiennent en éliminant t entre les équations du moui^ement prises deux à deux ; on obtient ainsi deux équations qui représentent deux surfaces dont l'intersection comprend la trajectoire.

Chacune de ces trois équations "exprime la loi des espaces

de la projection du mobile M sur l'un des axes ; la première, par exemple, fait connaître la loi des espaces pour la projection jjL sur Ox,

Si l'on considère deux d'entre elles, les deux premières, par exemple, elles font connaître à chaque instant la position dans le plan des xy de la projection m du mobile M; l'élimination de t entre ces deux. équations donne l'équation de la trajectoire s

de la projection m du mobile M dans le plan des xy i^fig- 36). La combinaison des' équations (i), deux à tieux, fera donc

UINÉHATIQUE DU POINT. 63

connaître la trajectoire et la loi des espaces de la projection de M sur chacun des plans de coordonnées.

Si par la projection s de la trajectoire S dans le plan des xy nous menons un cylindre dont les génératrices sont parallèles à Os, la courbe S se trouve sur cette surface; elle se trouve aussi sur deux autres surfaces cylindriques construites de même sur les projections de S sur les plans des xs et des yz, et dont les génératrices sont parallèles à i'ase 0^ et à l'ax€ Ox; la trajectoire S est donc l'intersection commune de ces trois sur/aces.

Projections de U vitesse et de l'accélération sur on axe on nn plan. — Soit M, la position du mobile sur la trajectoire à l'instant / + A{; portons sur MM,, dans le sens MM(, une

longueur MW égale à — ' . c'est-à-dire à la vitesse ■

moyenne du mobile pendant le temps A<; les projections de la grandeur géométrique MM, sur les trois axes sont ix, ^y, As; celles de la grandeur MW, ou vitesse moyenne, serpnt donc

iû~ iy ii

ii ' AÏ ' Ï7 '

Si Af tend vers zéro, MW t«nd vers MV ; on aura donc, pour les projections de la vitesse sur les axes à l'instant t,

Il résulte de là que la projection de la vitesse sur chacun des axes est ta vitesse de la projection du mobile sur ces axes. ' -

Si m et m, sont les projections de M et M, sur la trajectoire 5 projetée dans le plan des xy, la vitesse du mouve-

. , 1 I- - 1 corde m/rti . ■

ment projeté sera la bmite de ■ , et comme la

corde mm, est la projection delà corde MM,, la vitesse du

moiwement projeté est la projection de la vitesse du mobile sur le plan.

Pour obtenir les expressions des projections de l'accélération sur les axes de coordonnées, construisons Thodographe en prenant le point O comme origine fixe ; nous mènerons par ce point un vecteur OM' égal et parallèle à MV; la vitesse avec laquelle se déplacera l'extrémité M' sera l'accélération du mouvement sur la courbe ; or, d'après la propriété précédente, la projection de cette vitesse sur chacun des axes est la vitesse de la projection du mobile sur ces axes; les coor-

données du point M étant x^ y^ z, celles du point M' sont -rj > -^,.-7-> et les vitesses de ces projections sont

les projections de l'accélération sont donc les dérivées secondes des coordonnées (i) du mobile prises par rapport au temps.