Mouvement d'un point
1® Lorsque les projections sur trois axes sont des mouvements uniformes. — Soient
dcc
x = x^-hvt, 777 =^>
• dz „
les équations des espaces et des vitesses de trois mouvements rectilignes uniformes suivant les axes x^^, j^o, ^oî ^j ^\ ^'S
CINEMATIQUE DU POINT.
étant des constantes. Les équations de la trajectoire sont celles d'une droite
X — x^ y—yo z — zq ^
La vitesse est à chaque instant la diagonale du parallélépipède construit sur les axes en portant, à partir du point O, des vecteurs p, v' et s?" convenablement dirigés ; elle est donc constante en grandeur et en direction et le mouvement est rectiligne et uniforme.
2^ Lorsque les projections sur deux d'entre eux sont des mouvements uniformes, la projection sur le troisième étant un mouvement uniformément varié. ^- Soient
y=yo'^v't,
dx
dy dt dz
les équations du mouvement; ^oj J^o? ^o? ^j ^S ^" et y étant » des constantes. La trajectoire est une parabole dans le plan
ro
Z — Zfi
parallèle à l'axe des x.
Ses projections sur les plans des xy et des xz sont des paraboles :
L'accélération a pour projection
d'^x "dF
d^y dt^
dyz dt^
66 ' COURS DE MÉGANIQUE.
Ses projections sur Taxe des y et sur l'axe des z étant nulles, elle est parallèle à l'axe des x, elle est de plus égale en grandeur à Y et, par suite, l'accélération du mouvement résultant est égale et parallèle à l'accélératio.n de la composante uniformément variée du mouvement.
36. Vibrations elliptiques formées, par doux vibrations simples reotaugulaires. — Considérons deux mouvements vibratoires simples qui s'exécutent simultanément en un point O sur deux axes de coordonnées rectangulaires O^a; et Oy ; l'équation qui donnera l'élongation du premier étant, par exemple,
X = acos{u}t -ha),
et celle du second
. y = b cos{tJi't -h ^),
l'élimination de t entre ces deux équations donnerait une relation entre x eiy qui représenterait la trajectoire du point vibrant dans le plan.
Cette élimination est des plus faciles si nous supposons que les périodes T et T' des deux mouvements vibratoires sont égales; car alors, puisque l'on a
O) = -^ et to'= — ,
il en résulte
OJ = lù' .
Les équations développées s'écrivent
a? = a cosa cosio^ — asinasinto/, y = b cos p cos ttit — 6 sin p sin o) t:
On en tire facilement les valeurs
avcosa — èa^cosfi
sinto<= , . , 5 — -f
ab sin(a — p)
ay sina — bx sinB ab sin(a — p)
CINÉMATIQUE DU POINT. g-
et en substituant dans
et simplifiant, il vient, en définitive,
a'^*-f- b^x^^ lab xy cos(a - p) = ««0' sin*(a — p).
Cette équation représente dans le cas général une ellipse; on du alors que la vibration est elliptique.
Dans quel sens la molécule vibrante décrit-elle cette trajectoire? L'ellipse est comprise entre les droites -4- a, — a, (- è, — b parallèles aux axes {fig, 87); figurons-la, et soit P le point de contact avec la droite A ; on obtient ce point
37 = a, en prenant
toi-f-a =0,
cos(cD^-f-a) =1;
il en résulte que jk se réduit à
.r = />'cos(p — a) = AP.
Si nous donnons un accroissement au temps, on a
w^-h a > o; posons cette quantité égale à e^,
On
to^H- a = £«.
y^ 6cos(p — a + e*).
Si sin(p-a)<o, y croît, P vient en F, la molécule décrit FeUipse en sens inverse des aiguilles d'une montre; rotation gauche.
Si sin(/3 — a) > o, ^ décroît, la molécule tourne dans le sens des aiguilles d'une montre ; rotation droite.
Cette ellipse est évidemment décrite dans le temps T d'une période, car, si Ton augmente / de T, ^ et j^ reprennent les mêmes valeurs, puisque les arcs sont augmentés de ait; ceci se voit de suite en écrivant les équations
X = b cos
La position de cette ellipse dépend de la différence de phase. Si l'on a
a — P = 2 Al TU,
il s'ensuit
sin(a — P) = o, cos(a — P) = i;
L'équation se réduit à
la vibration redevient rectiligne, elle est représentée par la
droite double '
(ay — bx)^= o;
c'est la diagonale du rectangle.
Si
(a — p) = (2 7>-+-l)'JC,
le cosinus étant égala — i etle sinus nul, la vibration s'effectue suivant une autre droite symétriquement inclinée par rapport
à l'axe des x
(ay -\-bxy=: o.
L'ellipse est rapportée à ses ax^es dans le cas où
On a, en effet, -
CINEMATIQUE DU POINT. '69
et, si les amplitudes a et b sont égales, la trajectoire prend la forme d'un cercle
on dit que la vibration est circulaire,
Dans^le cas général, les projections de la vitesse sur les axes sont
— — = -^ a u) sin ( o) f H- a) , ——■ = — 6wsin(a)f-t-3).
dt V r/
Les projections de l'accélération sont
dt^
= — ati)' cos(iof -4- a) = — w*a7,
-jj^ = — c>(u« cos(aj^-i- a) = — tù^y.
Il en résulte que l'accélération totale est
Si l'on désigne par p le rajon vecteur du point P, dont les coordonnées sont x èt^, on a
et
l'accélération passe donc par le point O, elle est dirigée vers le centre suivant le rayon vecteur, et est proportionnelle à ce vecteur.
Dans le cas de la vibration circulaire, on retrouve la formule déjà établie
37. Mouvement le plus général à accélération nulle. — Si l'accélération est nulle, ses projections le sont aussi;
70 COURS DE MÉGANIQUE.
on a donc le système d'équations
d^x cPy (Pz i
= o, -Tir = «» :77^ = o- I
dt* ' dt^ ' dt^ IJ en résulte que l'on a
dx ^ ^ __ ' ^^ »
dt dt dt ^ •
i^, v' ^ v^' étant des constantes.
Par suite, les projections de la vitesse sur les trois axes sont des constantes, la vitesse est constante; on a enfîû
d'où résultent les équations
^ — ■^0 y — ya ^ — -sq
La trajectoire est donc une droite et le mouvement est, en définitive, rectiligne et uniforme.
