D. — DIAGRAMMES D'UN MOUVEMENT
38. Diagramme des espace s. — Soit 5==/(^) l'équation d'un mouvement curviligne. On prend deux axes de coordonnées rectangulaires, l'axe des temps O^ et celui des espaces O^; on porte en abscisses et en ordonnées les valeurs correspondantes de t et de 5, mesurées à des échelles déterminées; on obtient ainsi une courbe qui représente graphiquement la loi du mouvement; on l'appelle la courbe des espaces ou le diagramme des espaces. C'est la courbe qui serait représentée en Géométrie analytique par s=/{t).
Repos. — L'état stationnaire d'un corps au repos à une
= tang
nXKHATIQtE DU POINT.
distance s^ de l'origine des espaces esl figuré par une di parallèle à l'axe des temps.
Fig. 39, Mouvement uniforme. - Le mouvemenl uniforme
est figuré par une droite \B 'yfig- 3^) qui coupe l'axe des s en un point A tel que s = So-
Pour que la vitesse i" soit figurée par le coefficient angulaire de la droite AB, c'est-à-dire que l'on ail v suffit d'adopter une même longueur pour représenter l'u de temps et l'unité d'espace; d'ailleurs la vitesse est dot par la différence lîC=^Si — S) des espaces corresponda deus abscisses dont la différence t^ — 1\ = 1 est égale à l'ui
Graphique des ohemins de fer. — Ce sont ces princ très élémentaires que l'on applique au graphique des cher de fer; la trajectoire des trains, c'est-à-dire la voie ferrée une courbe gauche; on représente sur une seule feuitl marche de tous les trains sur la voie ascendante et sur la descendante pendant un intervalle de vingt-quatre heu en considérant leur mouvement comme une successior mouvements. uniformes séparés par des. repos.
Sur l'axe horizontal des temps on figure par vingt-qu intervalles égaux les heures de minuit à midi et à min chacun de ces intervalles est divisé en six parties égales coi pondant à dix minutes, et l'on trace une première sérii parallèles à l'axe vertical des espaces passant par les pc ainsi déterminés. On porte ensuite sur l'axe vertical suite de longueurs proportionnelles aux distances qui sépa les stations dont on inscrit les noms en face des points
les figurent et l'on trace les horizontales passant par ces points ; sur ce quadrillage on représente pour chaque train : I ° la durée de ses arrêts à chaque station par un segment de droite parallèle à l'axe des temps; 2^ la marche du train entre deux stations qui se suivent par la droite qui joint l'heure de départ de la première à l'heure d'arrivée à la seconde.
Ce graphique fait donc connaître pour chaque train l'heure d'arrivée et l'heure de départ à chaque station, sa vitesse relative entre les stations, et sa vitesse comparée à celle des autres trains, d'après l'inclinaison des lignes figuratives, et enfin les lieux et les heures de croisement des trains montants et des trains descendants.
La Jig. io montre un exemple de ces graphiques.
Mouvement varié. — Uéquation du moU\?ement est dans tous les cas V équation du diagramme. Dans le cas d'un mouvement varié, s =zf(^t)^f(^t) étant une fonction continue quelconque de la variable t] le coefficient angulaire de la tangente en un point de la courbe ayant pour valeur
ds '
-j- =f'(^t) fait connaître, en grandeur et en signe, la vitesse
du mobile à l'instant t] et il est de même évident que le
coefficient angulaire ° == —- de la corde qui joint deux
points quelconques fait connaître la valeur moyenne de la vitesse dans l'intervalle de temps correspondant.
Les points où la vitesse s'annule sont les points où la tangente est parallèle à l'axe du temps. Le signe de l'accélération tangentielle est donné par le sens de la concavité; car, dans une courbe s =f(t) (s ordonnée, t abscisse), la concavité est
tournée vers les s positifs quand -7-^ ou y^ est positif, vers les 5
négatifs dans le cas contraire. Les points d'inflexion sont les points où l'accélération tangentielle est nulle.
Tj ».
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Mouvement uniformément varié.- — Si le mouvement est uniformément varié, la courbe est du second degré et, d'après son équation
on voit que c'est une parabole coupant l'axe des s au point Sq ; si 5o, ^0 et yt sont positifs, la courbe est représentée par
la Jig. 4ï- Les points A ^^^' ^'* et B d'ordonnées ^o ont
pour abscisses / = o et
t = ; 1 abscisse du
So \
sommet S est ^i = et
son ordonnée est
On voit que le sommet est le point représentatif du point et de l'instant où la vitesse du mobile s'annule, remarque conforme à celle qui résulte de la discussion du trinôme exposée au n° 12* Toutes les lois du mouvement se voient de même sur cette courbe. Si avarie de — 00 à 4- 00, le point figuratif du diagramme correspond à des valeurs de s d'abord décroissantes jusqu'au point S
qu'il atteint pour <:^ ^^ == -; la .vitesse est négative comme
l'est le coefficient angulaire de la tangente, le mouvement
est retardé puisque la vitesse tend vers zéro. Le point S du diagramme correspond donc au point 0| de la trajec^ toire {fig' 42); à partir dé ce point, s croît, la vitesse augmente et le mouvement est accéléré.
Le diagramme montre encore que, pour une valeur OP de s
CINÉMATIQUE DU POINT. yS
plus grande que 5|, il existe,detix valeurs du temps, ce qui prouve quelle mobile passe à deux époques distinctes en tout point de sa trajectoire; les tangentes trigonométriques " des angles que font avec l'axe des temps les tangentes menées en Q et en Q' sont égales et de signes contraires ; les deux vitesses correspondantes sont donc égales et de signes contraires : résultats déjà vérifiés.
Enfin, l'accélération tangentielle étant toujours positive, la. courbe tourne sa concavité vers les s positifs.
39. Diagrammes de la vitesse et de l'accélération tangentielle.
Vitesse. — A l'aide de deux axes de coordonnées rectangulaires, en portant en abscisses les temps et en ordonnées les valeurs correspondantes de la vitesse mesurées à des échelles convenables, on obtient de même un diagramme des vitesses; c'est le tracé de la courbe ayant pour équation ^=f'(t).
L'état de repos est figuré par l'axe des t, la vitesse étant nulle quel que soit t; le mouvement uniforme, de vitesse constante i^o? est 'figuré par une droite parallèle à l'axe du temps ^^S- 43-
coupant l'axe des ç en un point B __ tel que OB == p^ en dessus ou en dessous de l'origine suivant que Çq est positif ou négatif (yî^. 43). Le diagramme des, vitesses d'un mouvement varié " est une courbe, puisque la vitesse
change de valeur à chaque instant; la vitesse étant la dérivée de l'espace par rapport au temps, si l'équation des espaces est, par exemple, mise sous la forme s =f(^t), où f{t) est un polynôme développé suivant les puissances croissantes de t
Vo
.- . «^-^Tpr
et de degré /i, l'équation des vitesses se mettra sous la forme
et le second membre sera un polynôme de degré n — ^ i .
Le coefficient angulaire de la tangente en un point à ce
,. , . • , dv d^s f. .^
diagramme des vitesses ayant pour valeur -rj = -^ tait connaître en grandeur et en direction l'accélération tangentielle Y^ du mobile à l'instant t.
Si le mouvement est uniformément varié, l'équation des vitesses est
le diagramme des vitesses est donc une droite; si (^0 et yr sont
.positifs, cette droite coupe, ^^' ^^* comme dans la fig, 44?
l'axe des v au point A d'ordonnée Pqî si t varie de — 00 à 4- 00, le diagramme montre que la vitesse d'abord très grande, mais négative, tend vers zéro ; l'accélération tangentielle étant par hypothèse
positive, V et y^ sont de signes contraires, le mouvement
est uniformément retardé. Au point B d'abscisse ^i =
correspond une vitesse nulle ; ce point B du diagramme des vitesses correspond au point S du diagramme des espaces et au point O^ de la trajectoire. A partir de ce point la vitesse est positive et augmente au delà de toute limite; le mouvement est uniformément accéléré.
On étudierait de même le cas de v^ positif et y^ négatif Yf = — y'^, représenté par la Jig, 45 et par l'équation
^gy^ -v
Vo
CINEHATIQtlE DU POINT.
Le coefficient angulaire de ce diagramme rectiligne connaître la valeur de l'accélération tangentielle en ff" ^ grandeur et en signe.
La vraie valeur de Y' ne sera égale à tanga que si l'unité de temps et l'unité de vitesse sont représentées par une même longueur; dans ce cas, Taccélératîon tangentielle est
donnée par la différence de deux ordonnées correspondan deux abscisses dont la différence est égaie à l'uaité.
Accélération tangentielle. — Enfin on peut constru de la même façon un diagramme des accélérations tang' tielles Y( en portant en abscisses les temps et en ordonnées accélérations tangentielles correspondantes.
L'état de repos et le mouvement uniforme caractérisé une accélération nulle à toute époque sont figurés par 1' des t. Le mouvement uniformément varié, caractérisé par une accélération tangentielle constante, est représenté par une parallèle à l'aie des t tracée à distance yj audessus ou au-dessous de l'origine, suivant que y^ est positif ou négatif (Aê--46).
Le diagramme des accélérations tangentielles d'un mouvement varié J^/(/)est une courbe ayant pour équation, par rapport axes Ot et Oy,
L'étude simultanée de ces quatre courbes, la trajectolri
Fig. 46.
les diagrammes des espaces, des vitesses et des accélérations tangcntielles, permet de se rendre compte des lois du mouvement par la seule inspection de ces figures géométriques.
Il est important de remarquer que, si le mouvement considéré est rectiligne, l'accélération tangentielle yt n'est autre que l'accélération totale du mouvement; à cette différence près, tout ce qui précède s'applique, en particulier, au mouvement rectiligne..
40. * Diagrammes d'un mouvement rectiligne périodique simple. — Dans ces sortes de mouvement l'élongation, ^ la vitesse et l'accélération totale étant des fonctions sinusoïdales ou cosinusoïdales , c'est-à-dire des fonctions périodiques simples, ou encore des fonctions harmoniques, les diagrammes construits d'après la méthode générale indiquée sont des sinusoïdes ou des cosinusoïdes ; les relations de position et de grandeur de ces courbes font connaître lès lois du mouvement qu'elles représentent.
Mais dans l'étude des mouvements vibratoires en acoustique ou en optique, on emploie, pour représenter ces courbes, une méthode dite cinématique; l'application de cette même mçthode de figuration géométrique à la représentation et à l'étude des grandeurs périodiques qui caractérisent les courants alternatifs en fait saisir la généralité et l'importance.
Cherchons à figurer d'abord la vitesse ç = toa sinwf ; pour cela, traçons une droite OA faisant avec un axe fixe O^.un
angle (0^ = -?=- et portons sur cette droite (Jig- 47) ^^^
* longueur OA = toa; l'ordonnée OP du point A a pour expression
OP = wa sino)^.
Cette projection du vecteur OA représente donc, à l'instante, la vitesse (^.
Imaginons que ce vecteur tourne dans le sens inverse des
CINÉMATIQUE DU POINT. 79
aiguilles d'une montre autour du point O, avec une vitesse o> = ^ uniforme. Supposons die plus qu'il sôit en coïncidence avec l'axe Ot à l'origine des temps ; la projection de ce vecteur
Fig. 47.
tournant sur l'axe des y figure à chaque instant en grandeur et en signe la vitesse i^.
On peut d'ailleurs tracer la sinusoïde, diagramme ordinaire des vitesses, en se servant de .ce vecteur tournant comme le montre la figure.
La vitesse est la dérivée de l'élongation j? par rapport au temps, et avec le choix d'origine que nous avons fait (n® 13) on a
X = — a Costa t = a sin (tùt
Le vecteur figuratif de l!élongation sera donc déterminé, par sa longueur a et il devra présenter, par rapport au vecteur
qui figure la vitesse, une différence de phase -> c'est-à-dire
qu'il sera perpendiculaire à ce derni-er dans le sens que montre la figure; on donne à cette différence de phase le nom de décalage; ainsi le vecteur élongation présente, par
iir
80 COURS DE MÉGANIQUE.
^ rapport au vecteur vitesse, un décalage en arrière de -» sa
projection sur l'axe vertical
OQ = a siit Itut j = — a cos cd t
fera connaître à chaque instant Télongation; on a tracé d'ailleurs en traits et en points le diagramme ordinaire figurant l'équation du mouvement.
Ce qu'il importe de retenir, c'est que, pour ces fonctions périodiques, en passant de la dérivée à la fonction primitive,
le vecteur prend un retard - ; inversement le vecteur prend
une avance - lorsqu'on passe de la fonction primitive à la
dérivée ; il en résulte, puisque l'accélération est la dérivée de la vitesse, que le vecteur OC, dont la projection sur l'axe vertical OR = aïo^ cos (o/ représentera à chaque instant l'accé- , lération totale, sera perpendiculaire sur le vecteur OA et en
avance de - sur lui, comme le montre la fig. 47 î la courbe
en points est le diagramme des accélérations.
On peut comparer ces résultats géométriques à ceux déjà résumés parle Tableau de la p^ge 28.
On reconnaîtra d'ailleurs aisément, sur la figure, que ces constructions ne sont, en définitive, qu'une application du principe de l'hodographe.
41. Somme de mouvements périodiques parallèles et de même période. — Cette figuration conduit à une méthode géométrique simple d'addition des mouvements vibratoires F: parallèles et de même période.
Soit à ajouter deux mouvem^ents vibratoires dont les équations sont
371= ai Sin2 TC =7J . ►
arjznajsinf 27t ij 4-aj;
CINEMATIQUE DU POINT. Si
traçons un vecteur Ofli =a, faisant avec une droite prise pour
aiedesïemps et,originedes phases unangie 2« s; (^^. 4^) el
Fie. 48.
un second vecteur Oaî=«î faisant avec le même axe un angle 2Tï=-t-a, la diagonale OA = A représente l'amplitude de la fonction résultante. On a en effet
. k* = a\ -\- a\ + 2a,ai cosa,
équation identique à l'équation (3) (n° 16).
La différence de phase de la fonction harmonique résultante est définie par l'angle S ^ AOa, ; on a en effet
■•»SÎ-np-;
équation identique à l'équation (4) {n" 16). On voit d'ailleurs que la projection OQ sur l'axe vertical
fait connaître à chaque instant la fonction harmonique X comme le montre l'équation (a) (n" 16).
Il est donc évident que, si a„ a^, A, invariablement liés, tournent avec une vitesse uniforme t^>:=^ -= , leurs projections
sur l'axe des x feront connaître à chaque instant les fonctions composantes et leur résultante.
On voit que Je parallélogramme que nous*venons de construire suffit, pendant sa rotation, à faire connaître les élénients du mouvement résultant; on peut cependant employer le diagramme ordinaire et tracer les deux sinusoïdes S et S' et leur résultante S'', obtenue {Jig* 49) en faisant la somme des ordonnées correspondant à une même abscisse.
D'une façon générale, on pourra composer de la même
Fig- 49-
manière un nombre quelconque de mouvements vibratoires parallèles de même période : on représentera chaque mouvement vibratoire par une droite de longueur égale à l'amplitude a^ comptée à partir d'une origine fixe O {Jig* 5o), et dont la direction Oa,, avec un axe fixe O^, représente la phase
a^ ; l'amplitude du
mouvement vibratoire résultant de la superposition (le tous ces mouvements est représentée par la résultante OA du polygone construit avec toutes ces droites et
CINÉMATIQUE DU POINT. 83
l'angle que fait OA avec O t représente la phase du mouvement résultant.
Ces constructions sont d'ail- ^'^* ^^*
.leurs aussi applicables aux vitesses et aux accélérations.
Si nous composons par exemple trois mouvements vibratoires de même amplitude, mais dont les phases diffèrent
de -^j la construction précédente (Jig- 5i) montre que la résultante est nulle puisque le polygone est fermé.
42. Diagrammes du mouvement périodiquement uniforme. — Les équations analogues à celles du numéro 19 :
s = *o + t?o < -H a sin (o) ^-h 8), V =ÇQ-h atù cos((of -+- 8), Y^ = — ato>* sin((i)« -1- 8)
sont les équations des trois diagrammes des espaces, des vitesses et des temps qui caractérisent le mouvement périodiquement uniforme sur une courbe ; en les rapportant à un même système d'axes de coordonnées rectangulaires on obtient les
trois courbes de la fig^. 52, où l'on a supposé Sq, i^oj « et 8 positifs .
CLd)
Le diagramme d'accélération y^ est une sinusoïde qui coupe
l'axe des temps au point A à distance ; on a figuré la
courbe correspondant à une seule période; elle est d'abord au-dessous de l'axe des t et son ordonnée minimum est — aw^. Pour tracer le diagramme des vitesses, on a mené B v parallèle à l'axe des t à distance ç^o 5 la courbe est une cosinusoïde qui, rapportée à ce nouvel axe, présente au point d'ab--
scisse une ordonnée ao).
Enfin, pour tracer le diagramme des espaces on figure d'abord la droite
5 = 5o -h Po *
qui coupe l'axe des s au point C d'ordonnée OC = Sq et qui fait avec l'horizontale un angle a tel que l'on ait
tanga = Po;
à partir des points de cette droite déterminés par les valeurs de t on portera des longueurs égales à a sin((i) ^ H- 5) ; on obtiendra ainsi une sorte de sinusoïde rapportée à un axe oblique qui présentera des tangentes parallèles à cet axe aux points correspondant au quart et aux trois quarts dé la période.
A. — POINT MATÉRIEL UBRE.
■43. Axes fixes. — On rapporte les positions de tous corps à un système d'axes que l'on appelle, par (léfinitii axes absolument fixes : ce système d'axes est un trièi irirectangle invariablement lié aux étoiles appelées éloi fixes.
Ai. Point matériel. — Afin de commencer par le p blême le plus simple, on étudie d'abord le mouvemenl d'i portion de matière assez petite pour qu'on puisse, sans ern sensible, déterminer sa position comme celle d'un point g métrique. Une telle portion de matière s'appelle un po matériel. On considère ensuite les corps comme formés | la réunion d'un très grand nombre de points matériels.
En même temps qu'il change de position un point ma riel peut tourner et se déformer ; mais on ne s'occupe, di ce qui suit, que de la position du point et non de la manii dont il peut tourner et se déformer.
L'observation et l'eipérience montrent que les points ma riels agissent les uns sur les autres ; ainsi les points matéri qui constituent un corps appelé solide agissent les uns sur autres de façon à maintenir, à peu de chose près, la forme corps quand on cherche à le déformer ; deux points électri; s'attirent ou se repoussent ; etc.
45. Principe de l'inertie. — Un point matériel livre lui-même a, par rapport aux axes fixes, une accélérati nulle. D'après ce principe, un point matériel livré à lui-méi est, ou bien immobile, ou bien animé d'un mouvement rec
ligne et uniforme (n° 37). Les deux cas peuvent se présenter suivant les conditions initiales dans lesquelles on placé le point : I® on peut supposer le point livré à lui-même sans vitesse, alors il reste immobile; 2" on peut supposer qu'on livre le point à lui-même après lui avoir communiqué, par un procédé quelconque, une vitesse V, par exemple après l'avoir lancé avec la main; alors il conserve indéfiniment cette vitesse en grandeur, direction et sens, et il prend un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse V.
46. Force. — D'après le principe de l'inertie, si l'on observe un point matériel possédant une accélération, ce point n'est pas livré à lui-même; d'autres points agissent sur lui. L'accélération que possède le point est donc l'effet d'une, cause extérieure à lui ; cette cause est ce qu'on appelle une force. L'effet d'une force sur un point est dotic de lui imprimer à chaque instant une certaine accélération y. On ne s'occupe pas en Mécanique et en PhysifjUe de l'essence des forces qu'il est impossible de pénétrer; on cherche, simplement, à prévoir et à calculer les effets des forces. Dans ce but, on caractérise et l'on mesure chaque force par l'effet qu'elle produit sur un point matériel, c'est-à-dire par l'accélération qu'elle lui imprime.
47. Masse. — Quand un point matériel déterminé, soumis à une force, possède, à un instant ^, une accélération y; on représente la force qui agit sur lui à cet instant par un vecteur F ayant pour origine le point, pour direction et sens la direction et le sens de -l'accélération y et pour longueur le produit de y par un coefficient positif m, caractéristique du point et appelé masse du point :
Une force est donc représentée par un vecteur; on dit qu 'elle
a pour point d'application le point matériel sur lequel elle agit, qu'elle a pour direction et sens la direction et le sens du vecteur qui la représente, enfin qu'elle a pour intensité le nombre qui mesure la longueur du vecteur. On peut résumer ce qui précède en disant qu'une force F, agissant sur un point matériel, lui imprime une accélération v, liée à F par la relation géométrique
vraie en grandeur, direction et sens.
Quand par la suite nous parlerons d'une force F appliquée à un point, il faudra toujours entendre par là un certain vecteur défini en grandeur, direction ou sens.
Remarque importante. — Ces faits ne sont rigoureusement vrais que pour les mouvements rapportés au sjstème d'axes fixes indiqué. Mais ce n'est qu'en Astronomie ou dans le cas de quelques expériences tout à fait exceptionnelles (comme le pendule de Foucault, par ei^emple) que Uon a besoin de se servir de ce système d'axes. Dans l'immense majorité des cas, il est permis de prendre un système d'axes lié à la terre : il n'en résulte aucune inexactitude appréciable, comme le montre l'observation, d'accord avec la théorie des mouvements relatifs.
48. Pesanteur; poids : 1° Point matériel. — Un point matériel lancé dans le vide prend par rapport à la terre une accélération g, constante en un même lieu, dirigée suivant la verticale descendante du lieu. On dit que cette accélération est due à la pesanteur; elle varie avec la latitude et l'altitude; à Paris, elle estreprésentée par le nombre 981 , l'unité de longueur étant le centimètre, et l'unité de temps étant la seconde de temps moyen. On en conclut qu'un point pesant est, en un lieu déterminé, soumis aune force constante dirigée suivant la verticale descendante ; cette force s'appelle le poids absolu
du point. L'intensité du poids absolu d'un point de masse m est liée à l'accélération g imprimée par ce poids au point par la relation
le coefficient m étant' une constante caractéristique du point matériel considéré. Ce poids absolu varie comme g avec la latitude et l'altitude.
2® Corps quelconque . — On regarde un corps quelconque comme formé par la réunion d'un très grand nombre de points matériels. La masse totale M d'un corps est la somme des masses mi, m^^ . . ., nin des points matériels qui le constituent
M = /Wi -+- /nj
fitj
Les corps que l'on a à considérer, en Mécanique appliquée ou en Physique, ont des dimensions assez petites pour que la valeur de l'accélération g^ due à la pesanteur, soit la même en grandeur, direction et sens dans toute leur étendue. Les poids absolus des divers points matériels constituant un de :Ces corps sont alors
Py=mxg^ Pt = m^g,
Pn= rnng\
leur somme
s'appelle le poids absolu du corps au lieu considéré ; d'après les valeurs' de />i,/?2, .-.^pn^^ fonction des masses, on a immédiatement
P = (mi-h mj-i-. . .-h mn)g = M^.
Le poids absolu d'un corps en un lieu est donc le produit de la masse totale du corps par l'accélération due à la pesanteur en ce lieu.
Quand un point matériel est retenu par un obstacle, il peut
rester immobile ; par exemple, un point pesant placé sur une table ou sur la main de l'observateur reste immobile; cela tient à ce que l'obstacle exerce aussi sur le point une réaction ou force, et cette force empêche le poids absolu de mettre le point en mouvement.
Le point matériel exerce alors sur l'obstacle une action y ou force pressante, ou pression totale, égale à son poids absolu. C'est ainsi qu'on peut, très grossièrement, comparer entre eux les poids absolus des corps par la sensation de l'effort musculaire nécessaire pour les empêcher de tomber.
49. Les trois unités fondamentales. — En Géométrie on n'a à considérer qu'une unité fondamentale, l'unité de longueur, d'où l'on déduit ensuite les unités dérivées de surface et de volume.
En Cinématique on se sert de deux unités fondamentales : l'unité de longueur et celle de temps, et l'on en déduit les unités employées aux mesures des autres quantités, vitesse, accélération.
Enfin, en Mécanique, il faut employer trois unités fondamentales, les unités de longueur, de temps et une troisième unité qui est, suivant les deux systèmes en usage, une unité de masse ou une unité de force.
50. Système G. G. S. — Ca système repose sur ce fait que les masses des corps sont proportionnelles à leurs poids absolus en un même lieu. En effet, soient m, /w', m"^ ... les niasses de certains corps;/?, /?', />'', ... leurs poids absolus en un lieu-où l'accélération due à la pesanteur est ^ : on a
p = mg, p'—m'g, p''=rnrg, ...;
les quantités />, /?', p'\ . . . sont donc proportionnelles à m, Si
et si
on a
Dès lors on peut, à Taide d'une balance, comparer entre elles les masses des corps.
Lorsqu'on pèse un corps dans le vide par la méthode de la double pesée, on le place dans un plateau d'une balance, on lui fait équilibre avec une tare; puis on enlève le corps et on le remplace par des poids marqués de façon à rétablir l'équilibre. Dans ces conditions, le corps a même masse que les poids marqués. En effet, il est évident que le corps et les poids marqués faisant successivement équilibre à la même tare exerceront la même action sur le plateau; le corps et les poids marqués ont donc même poids absolu et par suite même masse.
Prenons alors comme unité de masse la masse d'un centimètre cube d'eau au maximum de densité ; cette unité s'appelle le gramme-masse. Tous les corps qui, dans la méthode de la double pesée, font équilibre à la même tare qu'un poids marqué i gramme, ont même masse que ce poids marqué, q^' est-à-dire même masse qu'un centimètre cube d'eau; ils ont donc une masse i . Tous les corps faisant équilibre à la même tare qu'un poids marqué 2 grammes ont poW masse 2, etc. Tous les corps faisant équilibre à la même tare ' qu'un poids marcpié n grammes {n entier ou fractionnaire) ont une masse mesurée par le nombre n.
Conformément aux principes adoptés par la Commission Britannique en 1871 etpar le Congrès des Électriciens en 1881, on a pris comme unités fondamentales : pour la longueur, le centimètre C; pour la masse, la masse du gramme G; pour le temps, la seconde de temps moyen S.
Ce système d'unités est le système C. G. S. (centimètre, gramme-masse, seconde).
lfT
Unité de force dans le système G. G. S. Dyne. — Une fois qu'on sait mesurer les longueurs, les masses elles temps, on sait mesurer les forces d'après la relation fondamentale
F = my
qui lie l'intensité de la force à l'accélération qu'elle imprime à un point de masse m. L'unité de force sera la force exprimée par le nombre i ; pour avoir F = i il suffît de faire m = i ,
Dans le système C.G. S. l'unité de force est la force qui, agissant sur l'unité de masse, un gramme-masse, lui imprime l'accélération i , les unités de longueur et de temps étant le centimètre et la seconde. Cette unité de force s'appelle la dyne.
Cette unité est très petite par rapport aux forces que l'homme peut développer avec son système musculaire. Ainsi, à Paris, le poids absolu de i gramme-masse (centimètre cube d'eau) est 981 dynes, car ce poids p imprime à la masse i une accélération de 98 1 unités ; on a dès lors
^ = I X 981 = 981 dynes.
La dyne est donc un poids de l'ordre de grandeur du milligramme-poids.
L'effort musculaire qu'on fait en soutenant un poids de i ^^ est de 981 000 dynes, ou sensiblement une mégadyne.
Poids commerciaux. — Il résulte de ce qui précède que les quantités appelées poids dans le commerce ne sont pas des poids, mais des masses ; le poids commercial d'un corps en grammes n'est autre chose que sa masse dans le système C. G. S .
51. Deuxième système. — On emploie fréquemment, dans les applications, un deuxième système d'unités dans lequel on considère, comme unités fondamentales, les unités de Ion-
gueur, àe force et de temps, l'unité de masse devenant alors une unité dérivée.
Le système le plus souvent employé est le suivant :
Unité de longueur mètre;
Unité de force kilogramme-force ;
Unité de temps seconde,
le kilogramme-poids ou kilogramme-force étant le poids absolu d'un litï*e d'eau à Paris. Il est indispensable d'ajouter, dans la définition de cette unité de force, que le poids absolu est pris en un lieu déterminé, Paris par exemple, car le poids absolu d'un corps change avec la latitude et l'altitude.
Unité de masse dans ce système. — Dans ce système, la masse d'un point est définie par la formule
p étant le poids absolu évalué en kilogrammes-forces et g l'accélération due à la pesanteur. Si l'on fait/? = g^, on a m = i . L'unité de masse est donc la masse d'un point dont le poids absolu est g kilogrammes-forces.
A Paris, g étant, avec ce choix d'unités fondamentales, égal à 9, 8 1 , l'unité de masse sera la masse de 9^**, 8 1 d'eau distillée
L'inconvénient de ce système est que l'unité de force, le kilogramme-force, est une quantité dont la définition exige l'indication d'un lieu déterminé à la surface de la terre ; de plus, la masse d'un corps, qui est une qualité physique inhérente à ce corps, est exprimée par des nombres différents., suivant que le kilogramme-force est défini en un lieu ou l'autre de la terre. C'est ce qu'on évite dans le système C. G. S., pour lequel la définition des unités n'exige l'indication d'aucun lieu déterminé.
Gramme-force. — Le granime-force est le poids absolu d'un
MÉGANIQUE. gS
centimètre cube d'eau à Paris; c'est la millième partie du kilogramme-force que nous venons de définir.
52. Mesure statique des forces. — Le système de mesures qui consiste à prendre un poids absolu pour Tune des unités fondamentales a été le premier employé. Cela tient à ce que Fhomme s'est d'abord fait une idée de la force par l'effort qu'il est obligé de faire pour supporter un fardeau ; d'où ^^^' ^^•
la comparaison des forces aux poids. Cette comparaison peut se faire d'une manière plus précise à l'aide du dynamomètre (Jig, 53).
Prenons un ressort de forme quelconque, dont la flexion peut être mesurée par une graduation; suspendons à ce ressort, à Paris, des poids de 1*^^ de 2^6^ etc.; nous pourrons noter les flexions correspondantes.
Alors pour trouver l'intensité d'une force quelconque agissant sur un point matériel nous pourrons fixer le point à l'extrémité du ressort, convenablement orienté, et noter la flexion correspondante ; nous aurons la mesure de la force en kilogrammes-forces.
53. Homogénéité dans le système d'unités, longueur, masse, temps. Dimensions des unités dérivées. — Si, pour les applications, il est indispensable de faire choix d'un système d'unités déterminées, il n'en est pas de même pour la théorie. Dans les recherches théoriques, il est préférable de laisser les unités fondamentales indéterminées, de façon que les formules obtenues puissent être appliquées à tout
système d'unités. Les formules devant alors subsister, quel que soit le choix des trois unités fondamentales, devront présenter une triple homogénéité par rapport aux longueurs, aux masses et aux temps.
Si l'on change la grandeur d'une unité fondamentale, l'e^Lpression numérique d'une quantité, préalablement exprimée .en fonction de la première unité, change : soient, en effet, n l'expression numérique d'une quantité et N la grandeur de l'unité précédemment choisie; si l'unité devient N', l'expression de la quantité sera n'\ exprimons que l'unité N est comprise n fois dans la quantité à mesurer et que l'unité N' y est comprise n' fois, nous aurons la relation
donc
Le rapport des valeurs numériques d^une même quantité est égal au rapport inverse des grandeurs des unités qui ont été successivement employées à la mesure.
Si l'unité est dérivée, et si elle varie par suite du changement de l'unité fondamentale, il faut, pour traiter ce même problème, savoir comment l'unité dérivée dépend des unités fondamentales ; on est conduit ainsi* à définir les dimensions des unités dérivées.
On appelle formule de dimensions d^une unité dérivée la relation qui lie cette unité aux unités fondamentales ,
Ainsi, par exemple, l'unité de surface est la surface construite sur l'unité de longueur, c'est-à-dire que l'unité dérivée de surface varie comme le carré de l'unité fondamentale de longueur; ses dimensions sont représentées par le symbole
et l'on dit que l'unité de surface est de dimension deux en longueur^ zéro en masse el zéro en temps.
MÉGANIQUE. gS
Il en résulte que, si l'on appelle 5 une surface mesurée à l'aide d'une unité fondaAientale de longueur, si l'on prend une unité de longueur \/ois plus petitç, la mesure de cette quantité sera s\^^ c'est-à-dire X^ fois plus grande.
D'une façon générale, dans le système C.G.S. une unité dérivée N sera reliée aux trois unités fondamentales repré-*! sentées par les symboles L, M, T, par une expression de la forme
^ = l«mPt^.
Cette formule exprime ce que l'on appelle les dimensions de l'unité dérivée, qui est de dimension a en longueur, p en niasse, y en temps.
Ces nombres a, ^ et y peuvent être positifs, nuls ou négatifs.
Si une quantité de dimensions a, p, y est mesurée par le nombre Q avec un certain choix des unités fondamentales, elle sera mesurée par le nombre
si l'on prend une unité de longueur \ fois plus petite, une unité de masse [jl fois plus petite et une unité de temps t fois plus petite.
Appliquons ces principes aux grandeurs q-ue nous avons définies en Cinématique et en Mécanique.
54. Dimensions de la vitesse, de l'accélération et de la force; unités.
Vitesse. — La vitesse est le quotient d'un espace parcouru par un temps ; on a donc
elle est de dimension un en longueur et moins un en temps.
L'unité de vitesse est celle d'un mobile qui parcourt l'unité de longueur pendant l'unité de temps; les vitesses sont le plus souvent exprimées en centimètres ou mètres à la seconde ou en kilomètres à l'heure.
Suivant le système d'unités adopté, l'expression numérique de la vitesse change comme le montre l'équation (i). Le rapport des valeurs numériques d'une même vitesse est égal au rapport inverse des grandeurs des unités de longueur et au rapport direct des grandeurs dés unités de temps employées.
Supposons, par exemple, que la vitesse d'un train soit exprimée en kilomètres à l'heure par le nombre 72 et proposonsnous de calculer l'expression numérique <> de cette même vitesse en centimètres à la seconde. Nous écrirons, d'après la règle précédente,
p = 72 X 10* X r-;; = 'i OOO.
Accélération. — Li' accélération est le rapport de l'accroissement de la vitesse à la variation du temps, c'est-à-dire le quotient d'une vitesse par un temps; par suite,
