Y=^ = LT
elle est de dimension un en longueur et de dimension moins deux en temps.
L'unité d'accélération est celle d'une vitesse qui s'accroît de l'unité de vitesse pendant l'unité de temps ; dans un système où l'on prend le centimètre et la seconde comme unités de longueur et de temps, l'unité d'accélération serait celle d'un mobile dont la vitesse augmenterait e/z une seconde d'un centimètre par seconde; cette unité d'accéJération n'a pas reçu de nom particulier.
L'accélération de la pesanteur est à Paris représentée par le nombre 980,96; dans. les calculs on admet qu'elle est de 981 unités d'accélération.
Cette expression numérique change avec les unités d'après la formule (2)', le rapport des valeurs numériques d'une accélération est égal au rapport inverse des grandeurs des unités de longueur et au rapport direct des carrés des grandeurs des unités de temps employées.
Dans rhjpothèse d'une décimalisation du temps dans laquelle le jour serait divisé en 10 intervalles égaux remplaçant les heures, chacun d'eux étant divisé en 100 parties égales remplaçant les minutes, et enfin chacune de ces parties étant divisée en 100 parties remplaçant les secondes, l'expression numérique Y de l'accélération à Paris, en conservant le centimètre comme unité'de longueur, se calculerait de la façon suivante : la seconde est la ( —, — ^-^ — ) = i-^, — ) partie du
\24x36oo/ \ 86 400/ ^
jour; la nouvelle unité en serait la ( r ) = ( ) par-
tie; le rapport de la nouvelle unité de temps 9 à l'ancienne
V^^ est donc
86 ioo
et. par suite, on a
et
Les équations de la Géométrie jouissent de la propriété d'être homogènes relativement à la longueur ; celles de la Cinématique ont la même propriété d'homogénéité, par rapport à la longueur et au temps dont les unités sont laissées arbitraires ; tous les termes d'une équation de Cinématique doivent donc être de mêmes dimensions par rapport à L et à T.
Ainsi dans l'équation
(1) X — a -^ ht -^ ct^'^
;98 COURS DE MKC^CNIQL'E.
iddOks laquelle .r reppésente lun e^paoeet^^ un «temps, a ireprésente nécessairement I un espace â7t>9 b estune vitesse<(^o== (Li^~ *
et c une accélération -y^ LT"*^, on a en eflPet, si ces conditions
sont remplies, en exprimant tout en fonction des unités fondamentales,
•équation qui est bien -homogène, car chaque terme ^, Xq, ç.ol,
- Y'^, a 'finalement pour dimensions 'L.
La forme (2) a donc sur la forme (i) l'a vantarge de rappeler la signification physique de dhacune des constanftes et en rméme 'temps de faciliter la vérification des<oonditions d'homogénéité.
'La vitesse et l'accélération angulaires n'ont pa"s les mêmes «dimensionsquelavitesse'etl'aocélération ordinaires,; il'rësulte de leurs définitions (2 7) que leurs symboles sontL^T^^etiL^^T""^.
Force. — La force est île produit d'une masse par une
accélération ; ses dimensions sont représentées par l'équation
symbolique
Ces dimensions sont donc celles de l'unité de poids. Dans le système C.G.S., l'équation de Newton
-donnant l'attraction d'uncvmasse M surune masse M'àladis- 'tance R, contient «un factieur iK dont «on peut calculer les. dimensions<en remplaçant F, Met Riparleurs dimensions tcsjpeoûves. ; ton itrouveî ainsi
Ce n'est donc pas un simple facteur numérique, mais bien une grandeur physique.
JiiCANlQVR. 99
S5. Homâgéaéitèdanslesy^ème d'unités : langueur, force, temps. — Daxis ce système les dimensions de la vitesse el de l'accélération sont les mêmes que précédemment.
La force x>epré5entée par le symbole F sera de dimension un en force, zéro en longueur et zéro en temps.
La masse, d'aprés la relation fondamentale
F = /»Yj
•est doaniée par le quotiieint
et en remplaçant y par le symbole LT~* de ses dimensions, o« -écrit
j»=:L-»FT^
56. Champ de force. Lignes de force. — La pesanteui*, qui sollicite tous les corps à tomber vers le centre de la Terre, -et qui les fait tomber à sa surface lorsqu'aucun obstacle ne s'oppose à leur chute, est Texemple le plus classique d'une force.
Un espace semblable à celui qui environne la Terre, et dans lequel toute masse pesante est soumise à l'action d'une force, s'appelle un champ de force.
Pareillement, l'ei»pace qui entoure un aimant, et dans lequel un morceau de fer est sollicité par une force attractive, s'appelle un champ de /or ce magnétique; de même enfin, une sphère électrisée produira, autour d'elle, un champ de force électrique tel que toute masse électrique abandonnée à elle-même se déplacera sous l'effet d'une force attractive ou répulsive.
En donnant cette définition, on ne se préoccupe pas de la cause qui peut donner naissance à un champ, et l'on suppose, en ouire^ que l'introduction de la masse pesante, du morceau
lOO COVnS DE HBCANIQl'E.
de fer, de la masse électrique qui sert à étudier théoriquement le champ, n'y apporte aucune perturbation,
La force qui, en un point dii champ, sollicite l'unité de masse mesure Vintensité du champ; la direction de cette force est la direction du champ.
\J unité de champ, dans le système C.G.S., sera donc un champ tel que, agissant sur l'unité de masse, la force exercée soit égale à une dyne, et cette définition peut s'appliquer au champ de la pesanteur, au champ magnétique ou au champ électrique.
Les lignes de force sont des courbes qui, en tous leurs points, sont tangentes {fig- 54) à la direction du champ.
On appelle surfaces de niveau des surfaces qui sont, en tous leurspoints, normales à la ligne de force qui passe par ce point.
On appelle champ uniforme un champ dans lequel l'intensité et la direction sont constantes; dans un tel champ les lignes de force sont des droites parallèles et les surfaces de niveau sont des plans parallèles entre eux et perpendiculaires aux lignes de force.
57. Champ de la pesanteur. — D'après la définition du champ on voit que, dans le cas de la pesanteur, Vintensité du champ et V accélération du mouvement que prendrait une masse pesante abandonnée dans le champ sont des grandeurs de même nature.
En eflel, supposons dans un champ uniforme d'intensiU h une masse m ; la force qui la sollicite est f=mh;
mais d'autre part, si l'on appelle Y l'accélération du mouvement, uniformément accéléré, qu'elle prend dans le champ,
on a aussi
Y el A ont donc la même valeur numérique ; les unités qui leur servent démesure ont mêmes dimensions; en effet, dans le système C.G. S., par exemple, on a par définition de raccélération
et par définition de l'intensité du champ
L'intensité du champ de la pesanteur, à Paris, est donc de 981 dynes par gramme-masse et l'on peut la représenter par la même lettre g que l'accélération.
Dans le cas particulier de la pesanteur, les lignes de force sont données en chaque point par la direction An fil à plomh en ce point. La ligne de force, qui passe par chaque lieu de la Terre, se confond donc, par définition, avec la verticale du lieu.
On démontre, dans la théorie de l'attraction, que le champ de la pesanteur à l'extérieur de la Terre est sensiblement le même que si toute la masse de la Terre était concentrée en son centre ; dans ces conditions les surfaces de niveau sont, théoriquement, des sphères concentriques.
Si l'on considère deux points de la Terre très voisins, les lignes de force y sont sensiblement parallèles, et les portions de surfaces de niveau dans le voisinage de ces points sont des plans parallèles à la surface des eaux tranquilles et perpendiculaires, par conséquent, à la verticale du lieu.
Dans un faible espace, tel que le volume d'une salle de peu de hauteur, le champ est sensiblement uniforme ; la pesanteur peut donc, dans ces conditions, servir d'exemple de /orce constante.
J02 COURS DE VÉCAN1QUB.
On peut se rendre compte exactement de rapproximatioii que Fou fait en supposant le champ terrestre uniforme dans umt oertaJjie étendue.
I • Nous admettons, par exemple, que la direction du champ est constante à Piarîs.
Soient deux points A et B à distance d {/ig. 55 ) ; l'angle a des normales est donné en secondes par l'équation
2 7rR 36o X 60 X 60
R étant le rayon de la Terre.
Supposons
R.= &aooooo^, fi? = leoQ™ et ;»ic = 6(appr.);
on a
36o dx6o^ 3 ,6 X. 60* X io« ^.^
27cR 6 X 6 X lo/î
• Ces normales font done^ em réalité,, un ais^e de 'iff'.
2® Nous admettons aussi que, dans une même salle l'intensité dm champ est constante; or elle varie en raisoi» inYcrse du carré de la distance au centre ; soit g sa, valeur à distance ^l du centre, g^z=z g — dg cette intensité à distance R-hA. On a,, et c'est la loi de Newton,.
g — dfr Rî
g {Y^-^hY d'où, en négligeant hî^ et divisant paar R,
dg 2 R A H- A' 2 /î
"y "^ R*H-2RA-i-M ~ R H- 2 /i
et enfin en négligeant^ au dénominateur,. 2 â vis<-à-vis de R,
dg 2/t
MécA3^»IQUfi. I03
Supposoir» uni coirps transponUé' du. pied au sommet de^ la Tour Eiffel'; oma
R = 0™ X io«, /i = 3»" X loî,
donc
c?^ 2 X 3 X lo*
Fig. 55.
SI donc nous transportons un poids de i"**^ du pîed au sommet de la» tour, soni poids absolu aura diminué de» oV ^ l; d'après cela, sa perle est de oS', ooi. par 3*"'.
Ge^ fiaiit est facilement susceptible de vérification expérimentale; c'est l'expérience de M. vonJoliy.
Une balance sensible au ~ de milligramme est placée: ail premier étlaged^uae' maison, uni fil est suspendu, sous le plateaurde dboite, traverse librement le plancher et aboutit près du sol du rez-de-chaussée. On place sur le plateau de droite un poids de i*** qu'on équilibre avec de la tare, le fil pendant librement. Cela fait, on enlève le poids du plateau de la balance et on le porte au rez-de-chaussée, où on l'accroche à l'extrémité inférieure du fil ; on constate que, la différence de hauteur des deux positions du poids étant de 3™, la balance accuse une augmentation de i'"^' dans le poids apparent du corps pesé.
Cette expérience avait été imaginée au xvii® siècle par le P. Ximénès, qui ne l'avait pas réali&ée.
La pesanteur est donc, en réalité, un exemple de force variable, mais on comprend quelles difficultés ces considéralions, sur seâ changements de direction et: d'intensité, entraîneraienJti dans l'étude des lois de la chute des> corp& ou dans l'étude: de la tcajeetoire de& projectiles, pour ne citer que ces deux exemples..
Fi g. 56.
Io4 COURS DE MÉCANIQUE.
