Figuration des champs. — L'intensité en un point
d'un champ est figurée par un vecteur; on donne une représentation complète du champ par ses lignes de force et par ses surfaces de niveau.
Supposons, par exemple, une masse attractive en P; les lignes de force du champ qu'elle crée autour d'elle sont des droites qui concourent en ^{fig- 56); des flèches en indiquent le sens; les surfaces de niveau sont des sphères concentriques.
Si la masse est répulsive, les lignes de force sont des droites qui émanent de P.
Il est facile de tracer les lignes de force du champ produit par deux masses dont l'une serait .attractive, l'autre répul-
Fig. 57.
sive, chacune d'elles agissant suivant la loi de la raison
inverse du carré des distances. Si — q est un centre attractif,
+ q nn centre répulsif, les lignes de force tracées sur la
fiS' ^7 ^^ pointillé entrent par — q^ pour sortii^ par -^q] la
MÉCANIQUE. Io5
forme de ces courbes peut être déterminée en chaque point par la direction de l'intensité du champ, et celle-ci s'obtient facilement, puisque ces grandeurs sont des vecteurs de même nature que les accélérations et qui, par suite, se composent comme elles. Les surfaces de niveau sont figurées en traits pleins; leur forme résulte de leur définition, elles coupent les lignes de force à angle droit.
La fig. 58 montre le champ résultant de la présence dé
Fig. 58.
deux masses répulsives, agissant en raison inverse du carré de la distancé, où les lignes de force sont en pointillé et les surfaces de niveau en traits pleins.
59. Équations du mouvement d'un point sous l'action d'une force. — Soit un point matériel de masse m en mouvement sous l'action d'une force. A l'instant t le point possède une accélération v ayant pour projections
dl^
dt^
d^z dt^'
et il est sollicité par la force F ayant pour projections (F) X, Y, Z,
Io6 COURS DB MÉCANIQUE.
Dans l'espace le vecteur F es* égal au: vecteur y multiplié par m; là projection de F sur u» axe est/ donc égale à cellfe de Y raulfâplîée par m. Appliquant eè théorème aux tpoî* axes^, onale&trois équations
qii'onx appelle les é^ua££0/t9 dw mouvements. Ce sont ces équations que l'on emploie ordinairement pour résoudre les deux problèmes suivants.
i"" Étant données la masse d'un point et les projections de son mouvement, trouver la force qui le sollicite.
On suppose connues les coordonnées x^ y, z du mobile en fonction du temps
(2) x=f{t), y = ^{t\, z = ^{t)\ on peut alors calculer les dérivées secondes
et les équations du mouvement deviendront
(3) . X = mf{t), Yx=mff(t), Z=mY{t).
On connaîtra donc à chaque instant Ta force appliquée au point. En se servant des formules (2) qui lient a:, y, ^ à /, on pourra chercher à exprimer X, Y, Z en fonction d«s coordonnées, c'est-à-dîre chercher à déterminer la force en fonction de lia position.
Exemple. — Prenons, par exemple, le mouvement vibratoire défini par les trois équations
a; = a cos ( oj ^ -h a ),
y =r b cos{(at -h^),
. z = c Gos(to^ -+" y)»
MÉCANIQIFE. 107
0), «, è, c, X, ^j y étant àes eonsfiantes. On» a die suitie pour les projections die la force*
X = — m(«*a cos(u)/ -4- a), Y.= — m<o'6 cos(a)i -4- P), Z = — mw^c cos(io^ "♦■ Y)>
on a ainsi la force à chaque instant ; mais on peut écrire aussi
el Fon a I» force pdiir chaque position du point matériel". Ces dernières formules montrent que Ja force est dirigée de M vers O et égale au produit de la di&tance OM par la constante m (0^ ; on peut donc dire que le point considéré est attiré par Forigine proportionneM'ement à la distance,
7i^ Problème^ nrverse : Connaissant la k» cto' la f ovce qjoi agit sur xm poinl mcatéadel et les. eoadiiiŒQns; initiaies àam, lesqiaellee le. poiat est plaeé, trouver son mouiremesit..
Les conditions initiales sont : r* l'a position que possède le point à l'instant où le mouvement conunence ; 2^ la vitesse (hi point à cet instante Ces conditions initiales sont à la volonté de rexpérim^ntateur ; elles sont donc arbitraires. Supposons, par exemple,, qu'on veuille étudier ïe mouvement d'une pierre sous l'action de la pesanteur ; chacun sait que ce mouvement varie suivant la façon dont la pierre est lancée au départ. L'expérimentateur qui tient la pierre à la main pour la lancer peut, à l'instant où il la laùce, lui donner la position qu'il' veut et lui imprimer la vitesse qu'il veut : en d'autres termes, il peut la placer dans des conditions initiales arbitraires. Une fois ces conditions choisies;^ c'est-à-dire une fois la pierre lancée, son mouvement est entièrement déterminé par l'action de la pesanteur. C'est précisément en disposant de ces conditions Initiales qu'on arrive, avec un projectile, à atteindre un but déterminé.
