Moment linéaire d'un vecteur par rapport à un

point. — Soit {^fig» 81) un vecteur P d'origine A et un point arbitraire B de l'espace. Le moment . linéaire du vecteur P par rapport au point B est un .autre vecteur BG d'origine B ayant : i ® une longueur BG égale numériquement au produit PS du vecteur par sa distance 8 au point B ; 2** une direction perpendiculaire au plan BAP déterminé

l56 COURS DE MÉCANIQUE.

par le vecteur et le point B; 3* un sens tel qu'un mobile parcourant le vecj;eur AP de A vers P tourne dans le sens positif autour de l'axe orienté BG.

Ces définitions déterminent complètement le moment linéaire BG. On peut remarquer que, si un mobile suivait le moment linéaire BG de B vers G, il tournerait aussi dans le sens positif -autour de l'axe orienté AP.

Quand on représente les longueurs et les forces à la même échelle, ce que nous Supposerons constamment par la suite, la grandeur P8 du moment linéaire BG est numériquement égale au double de l'aire du triangle BAP.

Le moment linéaire d'un vecteur P par rapport à un point ne change évidemment pas quand on transporte ce vecteur en un point quelconque de sa direction san^ altérer ni sa grandeur ni son sens. Si, laissant la grandeur et la direction d'un vecteur invariables, on changeait son sens, son moment linéaire par rapport à un point changerait lui-même de sens.

Le moment linéaire d'un vecteur P par rapport à un point B reste le même en grandeur, direction et sens quand, laissant le vecteur invariable, on déplace le point B sur une parallèle au vecteur.

Cas où le moment linéaire d'un vecteur est nul^ — Pour que le moment linéaire BG = PS soit nul, il faut et il suffit que l'un des facteurs P ou S soit nul; donc il faut et il suffit, ou bien que le vecteur soit nul, ou bien que sa direction passe par le point B par rapport auquel on prend le moment. Ces deux cas sont précisément les seuls cas dans lesquels le plan BAP serait indéterminé.

Dimensions d'un moment. — Quand on a fait le choix d'une certaine unité de longueur et d'une certaine unité de force, la grandeur du moment linéaire BG est mesurée par le nombre PS qui est de dimensions FL, ou dans le système longueur, masse, temps, ML*T~2.

MÉCANIQUE. l57

7S. Théorème I. — Le moment linéaire (Ttin vecteur PJ? par rapport à un point B est égal au moment linéaire par rapport au même point de la projection du vecteur sur un plan' mené par A perpendiculairement à AB.

Fig. 82.

Soient en effet {fig- 82) un vecteur AP d'origine A et un point B; menons par A un plan perpendiculaire à BA et appelons p la projection orthogonale du vecteur P sur ce plan; il faut montrer que les deux vecteurs P et /? ont même moment linéaire par rapport à B. En effet, ces deux moments ont même grandeur, car les deux triangles BAP et BA/? sont évidemment équivalents dès qu'on leur donne comme base commune BA ; ils ont même direction, car ils sont perpendiculaires aux deux plans BAP et BA/? qui se confondent; ils ont aussi même sens, car un mobile suivant l'un ou l'autre des vecteurs AP ou A/? tourne dans le même sens autour d'une perpendiculaire au plan BAP/?.

76. Théorème II. — Le moment linéaire, par rapport à un point, de la résultante de plusieurs vecteurs concourants est égal à la somme géométrique des moments linéaires de ces vecteurs.

Nous démontrerons d'abord le théorème pour deux vecteurs conceurants; nous passerons de là au cas d'un nombre quelconque de vecteurs.

Deux vecteurs. — Soient deux vecteurs concourants AP et AQ appliqués au point A, AR leur somme géométrique

l58 COURS DE MÉGANIQUE.

OU résultante {Jig* 83). Prenons les moments linéaires respectifs BG, BH, BK de ces trois vecteur^ par rapport à un point quelconque B; il laut montrer que le vecteur K est la somme géométrique des vecteurs G et H. Pour cela, menons par A un plan H perpendiculaire à AB et appelons />, </, r les

projections des trois vecteurs P, Q, R sur ce plan; comme la projection d'un parallélogramme est un parallélogramme, le vecteur r est la somme géométrique des vecteurs p et q.

D'après le théorème I, les moments linéaires des vecteurs P, Q, R par rapport à B sont identiques à ceux des vecteurs /?, 9, r\ ils sont donc égaux aux produits àe p^q^ r par BA et perpendiculaires aux plans BA/?, BAgr, BAr dans le sens indiqué par la définition des moments linéaires. Ces trois moments G, H, K sont évidemment dans un même plan n' perpendiculaire à AB au point B. Cela posé, menons par B trois vecteurs BG', BH' et BK' respectivemetit parallèles aux vecteurs/?, y, r, de même sens qu'eux et égaux aux produits de/>, q^ r par BA

BG' = />xBA, BH'=^xBA, BK'=rxBA.

MÉCANIQUE. iSq

Ces trois vecteurs sont également dans le plan II'. La figure BG'K'H' est alors homothé tique de A/?yr, et comme cette dernière est un parallélogramme de diagonale Ar, la première est un parallélogramme de diagonale BK'.

Mais maintenant, pour obj^enir les trois moments linéaires BG, BH et BK de /?, y, r, par rapport à B, il suffit de faire tourner l'ensemble des trois vecteurs BG', BH', BK' d'un angle droit autour de BA dans le sens j^ositif des rotations : donc BK est la diagonale du parallélogramme construit sur BG et BH, ce qui démontre le théorème.

Nombre quelconque de vecteurs concourants. — Soient n vecteurs Pi , P2, . . . , P» ayant même origine A, et R leur résultante. Construisons les moments linéaires BGi , BG2, . . ., BG^ de ces vecteurs par rapport à un point B et soit BG le moment linéaire de R. Il faut montrer que BG est la somme géométrique de BG|, BGa, . . ,, BG^.

On pourrait employer la même méthode que précédemment en remplaçant tous les vecteurs par leurs projections sur le plan. Il mené par A perpendiculairement à AB, et remarquant que la projection de la résultante R sur ce plan est la somme géométrique des projections des composantes.

Nous emploierons une autre méthode qui consiste à montrer que, si le théorème est vrai pour n) — i vecteurs concourants, il l'est pour n. Soit Q la résultante des n — i vecteurs P4, P2, . . ., P/i 4 et BH son moment linéaire par rapport à B. Par hypothèse BH est la somme géométrique de BG<, BG2,. . .., BGrt i

(BH) = (BGi)-i- (BG2)-H . . . +(BG;^-,).

La résultante R des n vecteurs donnés Pi , P2, . . . , P/2 s'obtient en composant Q avec P/i ; donc le moment linéaire BG de R est la somme géométrique des moments BH et BG,2 de Q et

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