BG

77. Système de vecteurs non concourants; somme géométrique ou résultante générale et moment résultant par rapport à un point. — Soient des vecteurs A, P^ , A2P2, . . ., A«Prt placés d'une façon quelconque dans l'espace

Fig. 84. *

{/ig' 84). Prenons un point B quelconque, et faisons les deux constructions suivantes :

I** Par le point B menons des vecteurs BP^, BPg, . . ., BP^^ égaux et parallèles aux vecteurs proposés, et construisons leur somme géométrique BR ; ce vecteur R est, par définition, la somme géométrique ou résultante générale des vecteurs donnés relativement au point B.

2^ Prenons les moments linéaires BG<,BG2, ...,BG;j des vecteurs proposés par rapport au point B et construisons leur somme géométrique BH; ce vecteur est, par définition, le moment résultant des vecteurs donnés par rapport au point B.

A chaque point B de l'espace correspond ainsi une somme géométrique et un moment résultant. Quand le point B se déplace, la somme géométrique reste la même en grandeur,

MÉCANIQUE. l6l

direction et sens, comme il résulte de sa définition même, mais le moment résultant change en général.

Application à un système de vecteurs concourants. — Si l'on imagine en particulier un système de vecteurs AP|, APa, . . ., AP„ ayant même origine, leur somme géométrique relative au point A n'est autre chose que leur résultante R, et leur moment résultant relatif au point A est évidemment nul.

Pour tout autre point B, la somme géométrique des vecteurs concourants est égale à leur résultante R en grandeur, direction et sens ; leur moment résultant BH par rapport au point B est, d'après le théorème précédent, égal au moment de leur résultante AB par rapport au même point : il est donc perpendiculaire à la somme géométrique.

78. Couple de vecteurs : axe d'un couple. — Appliquons en particulier les définitions précédentes à un système

Fig. 85.

de deux vecteurs P et P< égaux, parallèles et de sens contraires {fig- 85). Ce système de deux vecteurs s'appelle un couple de ^vecteurs.

Soit B un point quelconque de l'espace; si l'on mène par ce point deux vecteurs BF et BP', égaux et parallèles aux deux vecteurs donnés, leur somme géométrique est évidemment nulle.

AC. 'Il

l62 COURS DE MÉCANIQUE.

Cherchons, d'autre part, le moment résultant relatif au point B; nous démontrerons que ce moment résultant est le même en grandeur, direction et sens, quel que soit le point B choisi. Pour cela, remarquons que, si l'on a abaissé du point B des perpendiculaires BA et BAi sur les deux vecteurs P et P« , le plan BAA| est perpendiculaire à la direction commune des vecteurs et les deux moments linéaires BG et BG| des vecteurs par rapport à B sont dans ce plan ainsi qu

Fig. 86.

leur moment résultant BH. Prenons ce plan pour plan de la Jig. 86, le vecteur P étant supposé dirigé en avant du plan de la figure et le vecteur V\ en arrière.

Le moment linéaire de P par rapport à B est un vecteur BG == P X AB situé dans le plan de la figure, perpendiculaire à AB, dans le sens indiqué. De même, le moment linéaire de P« par rapport à B est un vecteur BG, = P x A| B, car P, = P, perpendiculaire à A^B. Le moment résultant BH est la diagonale du parallélogramme construit surBG et BG^; ce vecteur est perpendiculaire à AA, et égal à PxAAf. En efTet, si l'on faisait tourner le triangle BGH d'un angle droit autour de B, dans son plan, on l'amènerait dans la position BG'H' dans laquelle les côtés BG' et G'H' seraient parallèles aux côtés AB et BA, de même sens qu'#eux et égaux aux produits de ces côtés par P; le. troisième côté BH serait donc

HÉCAMQDE. l63

amené aussi à être parallèle à AAj , de même sens que AA, et égal au produit V x AA( . Donc, avant la rotation du triangle, le côté BH élait perpendiculaire à AA|, c'est-à-dire au plan du couple, et égal à 1' X AAj . Il reste donc le même en grandeur, direction et sens, que! que soit le choii du point B.

Le moment résultant d'un couple de vecteurs s'appelle l'axe du couple.

L'axe d'un couple est ainsi un vecteur défini en grandeur, direction et sens, mais non en position, car son point d'application est un point quelconque B de l'espace. Pour obtenir les éléments de cet axe (grandeur, direction et sens) il suffit de prendre le moment résultant du couple par rapport à un point particulier, par esemple par rapport au point A,, pris sur l'un des vecteurs P, du couple ; l'axe du couple est le moment résultant des deux vecteurs P et P( par rapport au point A| {Jtg- 86); comme le moment de P) pst nul, l'axe se réduit au moment linéaire A, H, de P par rapport au point At; il est donc égal au produit de P par la plus courte distance AA) des deux vecteurs, perpendiculaire au plan du couple et dirigé dans un sens tel qu'un mobile suivant AP tour.ne autour de A, H) dans le sens positif. La distancedes deux vecteurs est le bras de levier du couple; la grandeur PX AA, de l'axe est le moment du couple. On peut remarquer que ce moment est égal à l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs du couple.

Quand le moment d'un couple est nul, ou bien le facteur P est nul et les deux vecteurs du couple sont nuls, ou bien le bras de levier AA, est nul et les deux vecteurs sont égaux et directement opposés.

79. Homènt par rapport à un axé. — Soit un axe s's sur lequel on a fixé un sens positif, de s" vers s par exemple, et un vecteur P appliqué au point A ; le moment du veçteui' par-rapport à Vaxe est la^valeur algébrique du moment

linéaire de la projection du vecteur sur un plan perpendiculaire à l'axe par rapport au pied de l'axe sur ce plan.

Menons, d'après cela (^g- 87), un plan quelconque II perpendiculaire à Taxe, appelons O le pied de Taxe sur ce plan et ap la projection du vecteur AP sur ce plan. Le moment linéaire de ap par rapport au point O est un vecteur Oh

Fig. 87.

dirigé suivant Oz. Le moment de AP par rapport à l'axe est la longueur Oh précédée du signe -f- ou du signe — suivant que Oh est dirigé dans le sens positif de Taxe ou en sens contraire. Dans Xdijlg, 87 ce moment est.positif.

Remarques sur la grandeur et le signe du moment d'un ▼ecteur par rapport à un axe.

Soit 8 la plus courte distance du vecteur AP à l'axe; cette plus courte dislance se projette en vraie grandeur sur le plan n, suivant la perpendiculaire OD à ap, La valeur absolue du moment OA par rapport à l'axe z^ z est égale k ap x5, c'est-à-dire au double de l'aire Oap\ quant au signe à donner à ce moment, il est -f- ou — suivant qu'un mobile parcourant ap tourne autour de z'z dans le sens positif ou le sens négatif des rotations.

Il*''*

HÉCAMQVE. l65

Si l'on désigne par 6 l'angle du vecteur AP avec l'axe z'Zj on a évidemment ap = AP sinO. Le moment du vecteur AP 'par rapport à l'axe est donc aussi dz AP.S.sinO, où il faut prendre + ou — suivant qu'un mobile allant de A en P tourne autour de z'z dans le sens positif ou le sens négatif des rotations.

Le moment d'Un vecteur par rapport à un axe ne change pas quand on fait glisser le vecteur le long de la droite indéfinie qui le porte. En effet, cette opération ne change aucun des trois facteurs AP, 8, sinô, ni le signe à prendre devant le produit.

Si deux vecteurs sont égaux et directement opposés, leurs moments par rapport à un même axe sont égaux et de signes contraires. En effet, les trois faqteurs sont les mêmes pour les deux moments ; les signes seuls sont différents.

Cas où le moment est nul. — D'après la dernière expression, le moment par rapport à un axe est le produit de trois facteurs : i** le vecteur donné; 2° sa plus courte distance à l'axe; 3° le sinus de l'angle du vecteur avec l'axe.

Pour que le moment soit nul, il faut et il suffit que l'un de ces facteurs le soit, c'est-à-dire : i® que le vecteur soit nul; 2® ou bien qu'il rencontre l'axe ; 3® ou bien qu'il soit parallèle à l'axe.

Dans les deux derniers cas, le vecteur est dans un même plan avec l'axe ; donc pour qu'un vecteur ait un moment nul par rapport à un axe, il faut et il suffit : ou bien que le vecteur soit nul, ou bien qu'il soit dans un même plan avec l'axe.

80. Théorème. — Le moment d*un vecteur par rapport à Un axe est la valeur algébrique de la projection sur cet axe du moment linéaire du vecteur par rapport à un point quelconque pris sur l'axe. Soit (/ig. 87) un point quelconque B pris sur Taxe z'z ; construisons le mo-

l66 COURS DE MÉCANIQUE. .

ment linéaire BK du vecteur AP par rapport au point B, et projetons ce vecteur enBAr sur l'axe. 11 faut montrer que le moment.de AP par rapport à l'axe est égal au segment BXr, avec son signe, c'est-à-dire que BA" = OA en grandeur et signe. On voit d'abord sur la figure que les deux segments BA: et OA ont même sens, c'est-à-dire même signe. Il reste à voir •qu'ils ont même valeur absolue.

Pour cela, appelons a l'angle aigu de BK avec z'z\ on a en valeur absolue BA" = BKcosa. Mais BK est égal au double de l'aire BAP ; donc

BA: =:2BAPcosa.

D'autre part,

. le triangle Oap étant la projection du triangle "BAP, on a

Oap = BAPcosa,

car l'angle du plan BAP avec le plan de. projection, Il est égal à l'angle a des perpendiculaires BK et O^ à. ces deux plans. On a donc

O/i = 1 BAP cosa, d'où