BX
Le théorème est donc démontré.
81. Corollaire I. — Le moment de la résultante de plusieurs vecteurs concourants par rapport à un axe est égal à la somme algébrique des moments de ces vecteurs: En efiet, prenons un point quelconque B sur Paxe; nous avons vu que le moment linéaire du vepteur résultant par rapport au point B est la somme géométrique des moments des vecteurs composants : en projetant sur l'axe, on voit que . la projection du moment linéaire du vecteur résultant est égal à la somme des projections des moments linéaires des vecteurs composants; ce qui démontre la proposition.
82. Corollaire II Étant donnés des vecteurs quelconques, la somme de leurs moments par rapport à un ax^ est égale à la projection sur cet axe du moment résultant par rapport à un point quelconque de Vaxe. En effet, prenons un point quelconque B sur l'axe; par définition, le moment résultant des vecteurs donnés par rapport à B est la somme géométrique des moments linéaires des divers vecteurs par rapport à B. La projection de ce moment résultant sur l'axe est'donc égale à la somme des projections des moments linéaires des divers vecteurs sur ce même axe ; -ce qui démontre la proposition.
83. Corollaire III. — La somme algébrique des moments des deux vecteurs d^un couple par rapport à un axe est égale à la, projection sur cet axe de Vaxe du couple.
Cette proposition est un cas particulier de la. précédente. Prenons un point B quelconque sur l'axe des moments; le moment résultant BK ou axe du couple est la somme géométrique des moments linéaires des deux vecteurs du couple par rapport à B. La projection de l'axe BK ijig^ 88) du couple sur Taxe des moments est donc égale à la somme des projections des moments linéaires des deux vecteurs du couple par rapport à B, c'est-à-dire à la somme des moments des deux vecteurs par rapport à l'axe des moments.
Remarque. — Appelons a l'angle du plan du couple PP| avec un plan II perpendiculaire à l'axe des moments ; l'axe BK du couple est perpendiculaire au plan du couple et égal à l'aire du parallélogramme PP| ; il fait avec z^ z l'angle a. La
Fig. 88.
l68 COURS DE MÉCANIQUE.
somme des momentâ des deux vecteurs du couple par rapport à z' z^ étant la projection de Taxe BK sur z^ z^ est égale à BR cosa ou à aire PP|Cos a, c'est-à-dire à l'aire du parallélogramme />/><, projection du parallélogramme PP| sur le plan n.
[Fig. 89.
JC
84. Expressions analytiques : i^ Moments d'un vecteur par rapport aux trois axes. — Soient trois axes rectangulaires et un vecteur Pj appliqué en un point de coordonnées ^4,^1, Z\ {fig- 89). Appelons Xi, Y|, Zi les projections du vecteur sur les trois axes et Li, M|, N| ses moments par rapport aux trois axes; nous nous proposons de calculer ces trois dernières quantités.
Calculons le moment ^^ par rapport à Oz, Projetons le vecteur A|Pi en a^px sur le plan des xy^ le moment N< par rapport à O^ est le double de l'aire du triangle Oai/?i précédé du signe 4- ou du signe — , suivant qu'un mobile parcourant a^pi tourne autour de Oz dans le sens positif ou le sens négatif des rotations.
Les coordonnées du pointai dans le plan xOy sont (^i ,^i), celles du point />» sont X2= x^ -f- Xi, y2'=y\ -i- Y|.
D'après une formule- connue, établie en géométrie analytique, le double de l'aire du triangle Oa^pi avec le signe que nous venons de définir est
^\yt — yi^t't
on a donc
Ni = a:i(7i-+-Yi)— ^'i (37,-4- X,)t=a7|Yi —jiXi; On trouve de même par permutations les moments par
