GRANDEURS GÉOMÉTRIQUES
D'une façon générale : Lorsqii^ on place sur une droite x' x ^ n points a^ b, c, . . ., h, k, /, la somme des n segments consécutifs ab, bcj . . ., hk, klj la, déterminés sur cette droite par les points considérésy est toujours nulle, quel que soit l^ ordre dans lequel ces points sont placés.
Pour le démontrer, nous emploierons un point auxiliaire placé sur la droite xf x à gauche de tous les points a, b, c, d, .,,, k, l {Jig. 2). ^^%' '^•
Considérons d'abord, sur la droite "g '^ g^
x' X, les trois points o, a, 6; deux cas
peuvent se présenter suivant que le ^ * «-
point b est à droite ou à gauche de a.
Supposons, en premier 4ieu, que le point b soit à droite de a. Nous aurons
(i) oa -k- ab =^ oh.
Si nous supposons maintenant le point b à gauche de a, nous aurons
ob -\- ba =^ oa,
d'où
oa — ba ~ ob
ou
oa -+- ab = ob,
La relation (i) existe donc dans les deux cas. Nous pourrons donc écrire la suite d'égalités
oa -h ab =^ ob, ob -h bc = oc, oc -h cd =: od,
ok -^ kl — ol, ol -i- la = oa,
Si nous les ajoutons membre à membre, nous aurons, eu
faisant disparaître les termes communs aux deux membres
ab -y- bc -\- cd -h ...-:- /il -\- la = o,
relation qui démontre la propriété énoncée.
Analjtiquement, prenons une origine O sur la droite x'x (jui porte les segments, et soient a: et x^ les abscisses des extrémités a et b d'un segment ab; on a
ab — a?' — x;
en effet, d'après la définition même des coordonnées, les segments O a et 06 sont égaux k x et œ^; dès lors, en appliquant la relation générale ci-dessus aux, trois points O, a, 6, on a
c'est-à-dire
ab — Ob ^ Oa,
ab = cv' — X.
La projection d'un vecteur A< B< sur un axe Oûc est donc bien donnée, dans tous les cas, par la formule
\i = x\ — Xi.
En partant de cette expression analytique d'un segment, ou vérifie immédiatement que la relation (2) est une identité.
