I70 COURS DE MECANIQUE

D. — STATIQUE DES CORPS SOUDES UBRES.

80. Équilibre des corps libres. — En Physique, on divise leç corps de la nature en solides, liquides et gazeux. Nous nous occuperons ici des corps naturels appelés solides, conime une pierre, un morceau de métal, un morceau de caoutchouc, etc. Un- solide naturel est dit entièrement libre quand aucun obstacle extérieur ne gêne sonjnouvement.

Par exemple, une pierre posée sur une table n'est pas entièrement libre, car la table empêche par ^a résistance certains mouvements; une porte n'est pas entièrement libre, car son articulation avec les gonds empêche certains mouvements.

Nous nous occuperons d'abord des solides entièrement libres, puis nous donnerons quelques exemples de solides gênés.

On -dit qu'une force est appliquée à un corps solide quand elle agit sur un des points matériels dont l'ensemble constitue le corps solide. Ce point s'appelle le point (inapplication de la force.

On dit qu'un corps solide sollicité par plusieurs forces est en équilibre quand ce corps, abandonné à lui-même, sans vitesse, sous l'action des forces, reste immobile sans se déformer.

Il est évident qu'un corps solide libre sollicité par une seule force ne saurait être en équilibre. Le cas d'équilibre le plus simple possible est donc le cas d'un corps sollicité par deux forces.

86. Corps libre sollicité par deux forces. — Soit un corps libre sollicité par deux forces P et Q {Jig» 90) appliquées en deux points A et B. Nous regarderons comme évident que, pour que le solide soit en équilibre, il' faut que les deux forces P e/ Q soient égales et directement opposées^

Fig. 90.

MÉGANIQUE. 171

c'est-à-dire égales, parallèles, de sens contraires et dirigées suivant la droite AB joignant leurs points d'application.

Cette condition nécessaire de l'équilibre n'est pas toujours suffisante.

Par exemple, si aux deux extrémités d'un fil élastique on applique deux forces égales et directement opposées, dirigées de façon à tendre le fil, elles ne se font pas immédiatement équilibre : le fil s'allonge, par conséquent se déforme, et prend, seulement après cette déformation, un certain état d'équilibre ; il peut même arriver, si les forces sont trop grandes, que le fil se rompe.

Une tige métallique soumise à ses deux extrémités à des pressions égales et directement opposées est en équilibre gi ces pressions ne dépassent pas certaines li- .mites; mais si ces pressions sont trop grandes, la tige peut fléchir, etc.

Nous admettrojis, dans tout ce qui suit, que les forces appliquées aux corps considérés sont assez petites et que ces corps eux-anêmes sont assez rigides pour qu'il n'y ait pas rupture et que la déformation soit négligeable. Alors la condition d'équilibre indiquée plus haut comme nécessaire est également suffisante.

En résumé,' avec les rectrictions que nous venons d'indiquer, la condition nécessaire et suffisante pour que deux forces appliquées à un solide libre se fassent équilibre est qu^ elles soient égales et directement opposées.

87. Principe. — Nous admettrons comme un fait résultant de ce qui précède que, si un corps solide est sollicité par des forces en nombre quelconque, on peut, sans changer son état, ajouter aux forces qui agissent déjà deux forces égales

lyi. G0UH8 DE MÉCANIQUE.

f et directement opposées, ou supprimer Tensemble de deux

^ forces égales et directement opposées s'il se rencontre un

ensemble de ce geijre.

88. Opérations élémentaires. — On peut, sans changer l'état d'un corps solide sollicité par des forces en nombre quelconque, leur faire subir les opérations suivantes que nous appellerons opérations élémentaires :

I** On peut, sans changer l'état d'un solide, ajouter ou enlever un système de deux forces égales et directement opposées.

2® On peut, sans changer V effet d'une force appliquée à un solide, la transporter en un point quelconque de sa ligne d'action, pour\>u que ce nouveau point soit invariablement lié au solide.

En effet, soit entre autres une force P appliquée en iin Lf point A d'un solide; prolongeons indéfiniment la

' Fig.91. \[gj^ d'action AP de cette force et prenons sur cette

P ligne un point B quelconque invariablement lié au corps. Nous pouvons, sans changer l'état du corps, appliquer en B deux forces égales et directement opposées dont l'une, P', est égale à Pen grandeur, direction, sens, et l'autre, — P', égale et directement op- 4.B posée. Mais alors nous pouvons de i?ouveau, sans changer l'état du corps, supprimer les deux forces P +-P' et — P, égales et directement opposées ; nous avons donc, sans changer l'état du corps, remplacé la force AP par la nouvelle force BP' obtenue en transportant AP en un point de sa ligne d'action {^g- 91).

3** On peut, sans changer l'état d'un solide, remplacer des forces concourantes par leur résultante, ou décomposer une force en des forces concourantes.

Fig. 92.

Ce fait résulte de la composition et de la décomposition des forces appliquées à un point matériel.

Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait, entre autres, quatre forces P, Q, R, S {fig. 92) appliquées en quatre points A, B, C, D d'un solide de telle façon que leurs lignes d'action prolongées concourent en un même point E. Nous pouvons d'abord, d'après l'opération précédente, transporter chacune de ces forces au point E de sa ligne d'action et amener ainsi les quatre forces en P', Q', R', S'. Mais alors les quatre forces sont appliquées à un même point matériel E et peuvent être remplacées par leur somme géométrique ou résultante F. Inversement, étant donnée une force F appliquée en E, on peut toujours

la décomposer en forces appliquées au même point et ensuite transporter chacune de ces composantes en* un point quelconque de sa ligne d'action.

Remarque. — Il pourrait arriver que les directions prolongées des forces concourantes P, Q, R, S se coupent en un point E ne faisant pas partie du corps : dans ce cas, pour pouvoir faire le raisonnement, il faut imaginer que l'on place en E un point matériel et que l'on relie invariablement ce nouveau point au corps.

89. Invariance de la somme géométrique des forces et de leur moment résultant par rapport à un point. — Etant données des forces Fj, F2, . . ., F,| appliquées à un so- . lide, ces forces forment un système de vecteurs auquel on peut appliquer les constructions géométriques du n** 77.

Faisons choix d'un point O et construisons la somme géométrique OR et le moment résultant OG des forces par rap-

port à ce point. Pour cela, nous mènerons par O des vecteurs OF^, OFj, . . ., 0F„ égaux et parallèles aux forces; la sommé OR de ces vecteurs- sera la somme géométrique des forces. Puis nous construirons les moments linéaires OG|, OG2, .* . ., OGrt des forces par rapport à O; leur somme géométrique OG sera le moment résultant des forces par rapport à O. .

Ces définitions rappelées, on a le théorème suivant :

Les opérations élémentaires n^ altèrent pas ces deux vecteurs.

En d^autres termes, si, en employant ces opérations, on transforme le système de forces. en un autre, ce nouveau système a la même somme géométrique OR et le' même moment résultant OG que le premier.

Pour k montrer, il suffit de montrer que les vecteurs OR et OG ne changent pas par Pefiet de chacune des opérations élémentaires.

1° Quand on ajoute ou qu'on supprime deux forces égales et directement opposées, on ajoute ou l'on supprime à chacun des systèmes de vecteurs concourants ayant pour sommes géométriques OR et OG,- deux vecteurs égaux et directement opposés, ce qui n'altère évidemçaent p^s ces sommes.

2° Quand on transporte une force en un point d^ sa ligne d'action, on n'altère ni le vecteur égal et parallèle.mené par O, ni le moment linéaire de cette force relatif au point O.

3®* Quand on remplace plusieurs forces cancourantes F| , F2, .. ., Fa par leur résultante Q, on doit remplacer, dans la construction' de la somme géométrique OR de toutes les forces* F|, F2, ..., F/t, ..., F«, les vecteurs OF'^, "OFj, ..., OF^, égaux et parallèles à F|, Fg, . . ., F>t, par le vecteur OQ' égal et parallèle à leur résultante Q; mais, comme OQ' est la somme géométrique de OF^, OFg, . . ., OFJ^, cette opération

riti

revient à remplacer une partie des vecteurs concourants dont la somme géométrique est OR par leur somme, ce qui n'altère pas OR.

De même, quand on remplace plusieurs forces coi^courantes F<j F2? •••/F* par leur résultante Q, on doit remplacer, dans la construction du moment résultant OG de toutes les forces, les moments linéaires 0G|, OG2, ..., OG* des forces F|, F,, ..., F* par le moment OH de leur résultante Q ; mais comme le moment OH de la résultante de vecteurs concourants est égal à la somme des moments linéaires des composantes, cette opération revient à remplacer une partie des vecteurs concourants dont la somme est OG par leur somme géométrique, ce qui n'altère pas OG.

Le théorème est donc démontré.

90. Réduction à deux des forces appliquées à un corps solide. — A l'aide des opérations élémentaires, on peut, d'une infinité de manières, transformer un système de forces appliquées à un solide sans changer son état.

On peut alors chercher à réduire, au moindre nombre possible, des forces en nombre quelconque appliquées à un solide. Nous allons démontrer le théorème suivant :

Théorème. — On peut, sans changer Vétat d^ un solide^ remplacer yies forces en nombre quelconque qui lui sont appliquées par deux dont l'une est appliquée en un point arbitrairement choisi.

Pour cela, nous établirons une^proposition préliminaire.

Lemme. — On peut toujours réduire des forces appliquées à un solide à trois forces appliquées en trois points , arbitraires du corps non en ligne droite.

En effet, soiçnt A, B, G trois points non en ligne droite

^ 176 COURS DE MÉGANIQUE.

I arbitrairement choisis dans le corps, et F« une des forces

I considérées (Jig» 93). En laissant de côté le cas exceptionnel

où cette force serait tout entière dans le plan ABC, on peut toujours, en la transportant en un point de sa ligne d'action,

la supposer appliquée en un point Mj en *^* ^ * dehors du plan ABC. Les trois directions

M| A, M^B, MjC forment alors un trièdre :

on peut donc décomposer la force Y\ en trois autres suivant ces trois directions et transporter ensuite les points d'application de ces trois composantes aux points A, B, C de leurs lignes d'action.

On obtient ainsi, pour remplacer F|, trois forces P|, Qj, R| appliquées respectivement en A, B, C.

Dans le cas exceptionnel où la force F« serait dans le plan \ ABC, elle serait dans un même plan avec les trois droites

V M| A, M«B, MjC; on pourrait alors la décomposer en deux

\ dirigées suivant deux de ces droites, Mj A et M« B par exemple,

et transporter ces deux composantes en P^ et Q< aux points A et B; on aurait donc le même résultat que dans le cas général, seulement R| serait nulle.

Après avoir fait cette opération pour chacune des forces considérées, on a, appliqués aux points A, B, C, trois systèmes de forces concourantes. Chacun de ces systèmes peut être remplacé par sa résultante, et l'on a finalement trois forces \ P, Q, R appliquées aux points arbitraires A, B, C. Le lemm'e

est ainsi démontré.

Démontrons maintenant le théorème en montrant que ces * trois forces peuvent se réduire à deux.

Par le point A et la force BQ faisons passer un plan H;

par le même point A et la force CR faisons passer un plan II'.

I Ces deux plans, ayant le point A commun, ont en commun au

moins une droite AD {^fig- 94 )•

Sur cette droite, prenons un point quelconque E distinct

Fig. 94.

de A, puis joignons BA, BE et GA, CE. La force Q et les deux droites BA, BE sont dans un même plan II; on peut donc décomposer Q en deux composantes dirigées suivant ces deux droites, puis transporter respectivement ces composantes aux points A et E en Q' et.Q".

On peut de même décomposer R en deux composantes suivant GA et CE, puis transporter ces composantes aux points A et E en R' et R". On a alors, au point A, trois forces P, Q', R' qu'on peut composer en une seule F', et au point E deux forces Q'' et R'' qu'on peut composer en une seule F''.

Finalement, les forces considérées ont été ainsi remplacées par deux F' et F" dont l'une est appliquée en un point A, pris à volonté. Le point E n'est pas pris à volonté; une fois A choisi, le point E doit être pris sur la droite AD, qui varie avec le choix des deux autres points B et G.

91. Théorème. — Les forces F|, F2, ..., F« appliquées à un solide^ étant réduites à deux, F' et F'', par les opéralions élémentaires, ces deux forces ont mérhe somme géométrique OR et même m,oment résultant OG par rapport à un point quelconque O que les forces F^^ F2, . . . , Frt d'où elles émanent.

Ce théorème est un cas particulier du théorème sur l'invariance des vecteurs OR et OG par V effet des opérations élémentaires (n® 89).

92. Conditions géométriques d'équilibre. — Pour qu'un corps solide soumis à des forces F^, F2, . . . , F,| soit en éqiiilibre, il faut et il suffit que les deux forces finales F' et F"