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auxquelles on peut réduire ces forces se fassent équilibre. Pour cela il faut et il suffit que ces deux forces soient égales et directement opposées.

On peut dire aussi : pour V équilibre il faut et il suffit que la somme géométrique OR des forces et leur moment résultant OG relatifs à un point O soient nuls.

En effet, nous venons de voir que OR et OG sont la somme géométrique et le moment résultant des deux forces finales F' et F'.

I® S'il y a équilibre, F^ et F'' sont égales et directement opposées : leur somme géométrique OR et leur moment résultant OG sont nuls ; la condition est donc nécessaire.

2® Si OR et OGsont nuls, lés forces F' et F'' sont égales. et directement opposées et l'équilibre a lieu ; d'abord OR étant nul, les forces F' et F'^ ont une somme géométrique nulle, elles sont égales et opposées et forment un couple de vecteurs ; leur moment résultant OG par rapport à O est l'axe de ce couple (n® 78); mais OG est supposé nul, le moment de ce couple est nul, donc, ou bien les forces du couple sont nulles, ou bien le bras de levier du couple est nul et les deux forces sont égales et directement opposées. L'équilibre a donc lieu, et la condition est suffisante.

Remarque. — D'après cela, si la somme géométrique et le moment résultant d'un système sont nuls par rapport à un point déterminé de l'espace, le système est en équilibre et les mêmes éléments sont nuls par rapport à tous les points de l'espace.

93. Système de forces équivalent à zéro. — On dit qu'un système de forces est équivalent à zéro, quand sa somme géométrique et son moment résultant sont nuls. D'après cette définition, pour qu'un système de forces soit en équilibre sur un solide, il faut et il suffit qu'il soit équivalent

à zéro. On peut par les opérations élémentaires réduire un système équivalent à zéro à deux forces égales et directement opposées; mais, par une dernière opération élémentaire, on peut supprimer ces deux forces et réduire ce système à rien en admettant, bien entendu, que les conditions physiques du n° 86 soient réalisées.

94. Conditions analytiques d'équilibre. — Soient Ox^ Oj^, Qz trois axes rectangulaires ; pour définir les n forces F, , F2, ..., F;, appliquées au solide, appelons (X|, Yj, Z|), (X2, Y2, Z2), ..., (Xrt, Yrt, Z^) les projections respectives de ces forces sur les trois axes et(L,, M<, Nj), (L2, M2, N2), . . ., (Lrt, M,|, Nfl), leurs moments respectifs par rapport aux trois axes.

Construisons la somme géométrique OR et le moment résultant OG de ces forces par rapport au point O et appelons X, Y, Z et L, M, N les projections respectives de ces deux vecteurs sur les trois axes. On aura, d'après la définition même de ces deux vecteurs