Cas particulier : équilibre de forces parallèles
Considérons le cas particulier où les forces appliquées à un solide sont parallèles à une même direction, les unes tirant dans un sens, les autres en sens contraire.
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Soîeht a, (î, y les cosinus directeurs d'une demi-droite parallèle à la direction commune des forces. Appelons P|, P2, . . ., P,i les grandeurs des forces estimées positiçement suivant cette demi-droite, de sorte que les forces dirigées dans le sens de cette demi-droite seront positives, elles forces dirigées en sens contraires négatives. On aura, en appelant j^jt? ykt Zk les coordonnées du point d'application de la force Pa, Xa, Y^, Tjk ses projections sur les axes supposés rectangulaires, et La, Ma, Na ses moments par rapport aux axes,
Xit=aPA, Ya=PPa, Za=yPa-;
La= PA(Yr*— P^a)»
Ma= PA(a>5A — y^a), Na= PaC^^ta— ajTA).
Puis, en posant
P = Pt+P,-f-...-HP„=SPA,
le signe S indiquant une somme étendue à tous les vecteurs, on a, pour les projections de la somme géométrique et du moment résultant par rapport à O
X = aP, Y = pP, . Z = yP;
L = ySPa7a— PSPa-'^a, M = aS Pa^a — y2 Pa^a, N = p2PAarA-a2PA7A.
On voit immédiatement par la Géométrie que la somme géométrique des forces leur est parallèle et que leur moment résultant leur est perpendiculaire ; c'est ce qu'on vérifie analytiquement en remarquant que les valeurs ci-dessus de X, Y, Z, L, M, N satisfont à l'identité
LX H- MY -f- NZ = o.
Conditions d'équilibre. — En écrivant les six conditions d'équilibre du cas général, on voit qu'elles se réduisent
MÉCANIQUE. l83
actuellement aux trois suivantes
Par exemple, si Ton a choisi l'axe Oz parallèle à la direction commune des forces (P = y = o), on a les trois conditions
Équilibre de trois forces parallèles. — Prenons, pour traiter le cas le plus simple, trois forces parallèles et cherchons les conditions d'équilibre.
Sur les trois forces, deux auront le même '^ ^ '
sens que nous regarderons comme positif, la troisième le sens contraire. Les intensités P| et P2 des deux premières seront positives {/Ig- 96); l'intensité P3 de la troisième, négative. D'abord, la condition que la somme géométrique des forces soit nulle exige que la force qui tire seule dans un sens soit égale en valeur absolue à la somme des deux qui tirent en sens contraire, ou encore que leur somme algébrique soit nulle
Pi-hP,-+-P3 = o.
Il faut maintenant exprimer que le moment résultant par rapport à un point O est nul. Prenons ce point sur P3. Le moment linéaire de P| est nul ; les moments linéaires OG| et OG2 de P| et P2 sont perpendiculaires aux plans OPi et OPj ; pour que leur somme géométrique soit nulle, il faut et il suffit qu'ils soient dirigés suivant la même droite, en sens contraires, et égaux en valeur absolue.
Il faut donc d'abord que les perpendiculaires aux plans OP1 et OPj coïncident, c'est-à-dire que ces plans eux-mêmes coïncident et que P3 soit dans le plan P| P2. Puis, pour que les deux moments OG| et OG2 soient de sens contraire, il
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faut et il suffit que O, c'est-à-dire P3, soit entre Pj et P^;
enfin, pour que ces moments soient égaux, il faut et il suffit
que
