OA, B3B

En résumé, pour que trois forces parallèles se fassent équilibre, il faut et il suffit :

1** Que la force P3, qui est seule de son sens, soit égale en valeur absolue à la somme des déu^ç autres ;

2° Qu'elle soit entre ces deux forces dans leur plan ;

3** Que les segments dans lesquels la force P3 coupe une transversale aux trois forces soient inversement proportionnels aux forces P^ et P2.

Remarque. — On peut exprimer, sous une forme symétrique, les conditions d'équilibre, en donnant aussi des signes aux trois segments déterminés par les points B|, B2, B3 sur une transversale aux trois forces.

Alors il faut et il suffît que, pour l'équilibre, les trois forces soient dans un même plan et que l'on ait en grandeur et signe

Pi Pî Ps

B^Bj B3B1 Bi B.

où chaque rapport se déduit du précédent par la permutation circulaire des indices.

MÉCANIQUE. l85

En effet, comme les trois segments aux dénominateurs vérifient la relation (n® 2)

BjBa -f- B3B1 -f- Bj B2 = o, les forces vérifieront la même relation

et, en outre, elles auront la disposition exigée par Ténoncé. La proportion (i) signifie que chaque force est proportionnelle au segment de transversale compris entre les deux autres.

98. Cas particulier : Équilibre de trois forces quelconques. — Cherchons, en particulier, les conditions d'équilibre de trois forces P, Q, R appliquées à un corps solide.

Tout d'abord, pour qu'il y ait équilibre, il faut que les trois forces soient dans un même plan. En effet, considérons une droite AB s'appuyant en A et B respectivement sur les lignes d'action de P et Q. 11 faut que la somme des moments des forces P, Q, R, par rapport à cette droite AB, soit nulle, car on peut toujours imaginer qu'on ait pris AB pour un des axes de coordonnées. Mais les moments des forces P et Q par rapport à AB sont nuls, car ces forces rencontrent AB ; il faut donc que le moment de R soit nul aussi, c'est-à-dire que la ligne d'action de cette force R rencontre AB ou lui soit parallèle. Ainsi toute droite AB s'appuyant sur deux des forces doit rencontrer aussi la troisième à distance finie ou infinie ; ce qui exige que les trois forces soient dans un même plan.

Supposons cette première condition remplie, deux cas peuvent se présenter :

i" Deux des forces P et Q sont concourantes; on peut alors les composer en une seule R' ; pour qu'il y ait équilibre il faut et il suffit que la troisième force R soit égale et opposée à R'. Donc si deux des forces concourent, il faut et il suffit,

l86 COURS DE MÉCANIQUE.

pour l'équilibre, que les trois soient concourantes et remplissent les conditions d'équilibre de trois forces concourantes (no 95).

7.^ Les trois forces P, Q, R sont parallèles; elles devront alors remplir les conditions d'équilibre de trois forces parallèles (n<> 97).

En résumé, pour que trois forces se fassent équilibre sur un solide, il faut qu'elles soient dans un même plan, que, dans ce plan, elles soient concourantes ou parallèles et remplissent, par suite, les conditions d'équilibre de trois forces concourantes ou parallèles.

99. Conditions d'équivalence de deux systèmes de forces. — Imaginons un solide et deux systèmes de forces (S) et (S') appliquées successivement à ce solide; le premier (S) étant formé de n forces F|, Fa, . . ., F„; le deuxième de n! forces F'^, Fj, ..., F^». Construisons les sommes géométriques OR et OR' et les moments résultants OG et OG' de ces deux systèmes par rapport à un point arbitraire O.

On dit que les deux systèmes sont équivalents quand ils peuvent être remplacés l'un par Vautre sans changer Vétat du corps solide, '

Théorème. — Pour que deux systèmes de forces soient équivalents, il faut et il suffit qu'ils aient même somme géométrique et même moment résultant par rapport à un point O

OR'=OR, OG'=OG

I** La condition est nécessaire. En effet, considérons le système auxiliaire ( — S) formé de toutes les forces de (S) changées de sens; ce nouveau système a pour somme géométrique et pour moment résultant par rapport à O des vecteurs ( — R) et ( — G) égaux et opposés à R et G. Ce sys-

tème ( — S) est évidemment tenu en équilibre par le système (S); il l'est donc aussi par le système (S') qui, par hypothèse, produit le même effet que (S). Donc l'ensemble des deux systèmes ( — S) et (S') forme un système de forces en équilibre, c'est-à-dire un système équivalent à zéro.

La somme géométrique de toutes les forces de cet ensemble est la différence géométrique