OG') — (OG

Gomme cet ensemble est en équilibre, sa somme géométrique et son moment résultant sont nuls, et l'on a, géométriquement

OR'=OR, OG'=OG

2^ La condition est suffisante. En effet, si l'on a

OR'=OR, OG'=OG

en grandeur, direction et sens, l'ensemble formé des systèmes (— S) et (S') est en équilibre et peut, par suite, par les opérations élémentaires être réduit à zéro (n° 93).

Cela posé, nous allons montrer que l'on peut passer du système (S') au système (S) par les opérations élémentaires ; il sera alors établi que l'on peut remplacer (S') par (S) sans changer l'état du corps.

En effet, partons du système (S') supposé être appliqué seul au corps solide; nous pouvons, sans changer l'état du corps, ajouter les deux systèmes (S) et ( — S) dont l'ensemble est formé de forces deux à deux égales et directement opposées; le corps est alors sollicité simultanément parles trois systèmes de forces (S'), (S) et ( — S). Mais l'ensemble (S') et ( — S) peut, par les opérations élémentaires, être réduit à

l88 COURS DE MÉCANIQUE.

zéro et, finalement, il reste le système (S). On passe donc bien de (S') à (S) par les seules opérations élémentaires.

Remarque I. — Nous avons montré au n^ 89 que les opérations élémentaires n'altèrent ni la somme géométrique ni le moment résultant. Nous venons de démontrer la réciproque : toutes les fois qu'on aura deux systèmes de forces ayant même somme géométrique et même moment résultant, on pourra passer de Tun à l'autre par ces opérations élémentaires et, par suite, les remplacer l'un par l'autre.

Remarque II. — Si deux systèmes de forces ont la même somme géométrique et le même moment résultant pour un point particulier, ils sont équivalents; par suite, leurs moments résultants sont aussi égaux par rapport à tout autre point de l'espace.

Expression anal3rtique de l'équivalence. — Prenons le le point O pour origine; soient X, Y, Z; L, M, N les projections de la somme OR et du moment résultant OG du premier système ; X', Y', TJ ; L', M', N', les quantités analogues pour le second. L'équivalence s'exprime parles six conditions

Pour que deux systèmes de forces soient équivalents, il faut et il suffît que les sommes de leurs projections sur chacun des axes et les sommes de leurs moments par rapport à chacun des axes soient égales.

100. Exemple de systèmes équivalents : couples ; composition des couples: — Un couple est un système de deux forces P et — P égales et opposées (n° 78).

Le bras de levier du couple est la distance AB {fig> 97) des deux forces; le moment du couple est le produit AB.P du bras de levier par une des forces. Quand le moment est

nul, le couple est équivalent à zéro; car, ou bien les deux forces sont nulles, ou bien AB = o et alors les deux forces sont égales et directement opposées.

Un couple est un système de forces dont la somme géométrique G^X. nulle, et donile moment résultant est constant en grandeur, direction €t sens pour tous les points de l^ espace (n^ 78). Ce moment résultant s'appelle Y axe du couple. L'axe d'un couple est donc un vecteur défini en grandeur, direction et sens, mais dont le point d'application . peut être choisi arbitrairement dans l'espace. Pour retrouver ce vecteur, cherchons le moment résultant par rapport à un point O du bras de levier AB situé entre A et B ; les moments des deux forces P et — P seront dirigés perpendiculairement au plan du couple, dans le même sens, car les deux vecteurs P et — P ont le même sens de rotation autour du point O; le moment résultant OG ou axe du couple est donc perpendiculaire

au plan du couple et égal à P.OA-hP.OB, ou à P. AB, c'est-à-dire au moment du couple.

Théorème ï. — Deux couples de même axe sont équivalents, car ils ont tous deux une somme géométrique nulle et même moment résultant. Ils pourront donc être réduits l'un à l'autre par les opérations élémentaires. Comme cette proposition est d'une grande importance, nous nous j arrêterons un instant. Elle nous apprend qu'on peut, sans changer l'effet d'un couple, le transporter parallèlement à lui-même dans un plan ou dans des plans parallèles, le faire tourner dans un de ces plans, enfin modifier son bras de levier et ses forces, pourvu qu'on ne change ni son moment ni son sens de rotation, c'est-à-dire qu'on n'altère pas son axe.

Théorème II (Composition des couples). — Un nombre

igo COURS DE MÉCANIQUE.

quelconque de couples est toujours équivalent à un couple unique dont Vaxe est la somme géométrique des axes des couples composants.

En effet, le système formé par p couples P|, — P| ; Pa, — P2 ; . . . , P^, — Pp est un système de vecteurs dont la somme géométrique est nulle. Le moment résultant de ce système est le même par rapport à tous les points de l'espace (Jig. 98).

En effet, pour obtenir ce moment résultant OG, par rapport au point O, on peut procéder comme il suit : on prend d'abord le moment résultant OGi de P| et — Pi , moment

qui est égal à l'axe du premier

'^' ^ ' couple, puis le moment résultant

% « OG2 de Pj et — P2, qui est égal

qA ' G, à l'axe du second couple, et ainsi

^/^ ^P de suite jusqu'à OG^, qui est l'axe

/ du dernier couple; puis on com-

y^ pose entre eux tous ces moments

' composants 0G|, OG2, ..., OGj^.

"* Considérons alors un couple d'axe

It"

'K OG égal au moment résultant; ce

couple unique est équivalent au système des couples donnés, car il a, comme ce système, une somme géométrique nuUe, et un moment résultant égal à OG. On pourra, par les opérations élémentaires, réduire le système de couples donnés au couple unique d'axe OG.

Couples en équilibre. — Si OG = 0, le couple final est équivalent à zéro ; le système proposé également. Les couples se font alors équilibre.

101. Cas général : Réduction à une force et à un couple. — Un système de forces quelconques est équivalent à une force unique égale à leur somme géométrique, ap-

plîquée en un point arbitraire et à un couple unique dont Vaxe est le moment résultant par rapport à ce point. En effet, soit OR la somme géométrique des forces et OG leur moment résultant du système par rapport à un point arbitraire O. Le nouveau système formé parla force R et un couple (P, — P) d'axe OG est équivalent au système proposé, car il a même somme géométrique OR et même moment résultant OG par rapport au point O {fig* 99). Le système proposé pourra donc être réduit au système R, P? — P par les opérations élémentaires.

Comme le point O est pris à volonté, il y a une infinité de façons de déterminer une force et un couple équivalents à un système donné. Une fois le F»g« 99»

point O choisi, les forces du couple (P, — P) ne sont pas entièrement déterminées, puisqu'on peut prendre pour ce couple l'un quelconque des couples équivalents en nombre infini ayant OG pour axe.

Pour que les forces données se fassent équilibre, il faut et il suffit que OR et OG soient nuls, c'est-à-dire que la force R et le couple (P, — P) soient nuls séparément.

On voit, d'après cela, qu'une force et un couple, ne peuvent se faire équilibre que si la force et le couple sont nuls séparément.

102. Cas particuliers de la réduction. — Cherchons, ' en particulier, quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système de forces (S) soit équivalent à un couple unique ou à une force unique.

1® Pour qu^un système soit équivalent à un couple unique, il faut et il suffit que la somme géométrique des forces soit nulle.

Cette condition est nécessaire, car dans un couple la

somme géométrique des deux forces est nulle; elle est évidemment suffisante.

2® Pour qu'un système de forces soit équivalent à une force unique, il faut et il suffit que la somme géométrique des forces ne soit pas nulle et que le moment résultant soit perpendiculaire à la direction de cette somme.

La condition est nécessaire : en effet, soit un système de forces (S) équivalent à une force unique R'. Le système (S) a même somme géométrique et même moment résultant que la seule force R'. Donc, la somme géométrique OR de ce système est égale et parallèle à"R', et le moment résultant OG de ce système est identique au moment linéaire de R' ; mais ce moment linéaire OG est perpendiculaire à R', c'est-à-dire à sa parallèle OR.

La condition est suffisante. Soit un système dans lequel le

moment résultant OG est perpendiculaire a la somme géométrique OR : il faut montrer que ce système est équivalent à un vecteur unique, parallèle à OR. En effet, considérons le plan II {fis- ^^^)') Diené par O perpendiculairement à OG, plan qui contient OR ; traçons dans ce plan un vecteur R' égal et parallèle à OR, de même sens que OR,- de telle façon que le moment linéaire de ce vecteur par rapport à O soit OG. Ce vecteur R' est à une distance OA de O déterminée par la condition