OA.R'^OG
Fig. 100.
et le sens de OG indique de quel côté de O il faut placer R'. Dès lors le système proposé est équivalent à la force unique R', car la somme géométrique de cette force est OR et son moment résultant en O est OG.
MÉCANIQUE. r93*
On peut caractériser la ligne d'action de cette force unique R', équivalente au système, en disant que c'est le lieu des points P pour lesquels le moment résultant du système est nul. En effet, le système donné elt la force R' étant équivalents, leur moment résultant est le même pour tout point de l'espace ; et pour un point pris sur R', le moment de R' est nul, et réciproquement.
Remarque, — Le système donné est équivalent à une force OR et à un couple d'axe OG. On peut alors interpréter le résultat que nous venons d'obtenir en disant que pour que l'ensemble d'une force OR et d'un couple d'axe OG puisse se réduire à une force unique, il faut et il suffit que l'axe du couple soit perpendiculaire à la force; l'ensemble se réduit alors à une force R' égale et parallèle à OR.
Expressions analytiques. — Pour terminer l'examen de
ces cas particuliers, voyons quelles sont, au point de vue
analytique, les conditions pour qu'un de ces cas se présente.
Soient
X, Y, Z et L, M, N
les projections sur les axes de la somme géométrique OR et du moment résultant OG d'un système par rapport à l'origine. Ce système sera équivalent à une force égale à OR. et à un couple d'axe OG :
I** Il sera équivalent à un couple unique si OR est nul ;
2° Il sera équivalent à une force unique R', si OR n'étant
pas nul,
(X«-hY»-^Z»>o)
le moment résultant est perpendiculaire à OR :
(i) LX -f- MY -+- NZ = o.
' AC. i3
La force unique R' est alors précisément le vecteur qui a pour coordonnées X, Y, Z, L, M, N, c'est-à-dire le vecteur qui a pour projections X, Y, Z et pour moments par rapport aux axes L, M, N. En appelant x^ y, z les coordonnées d'un point P de la ligne d'action de R', on devra avoir
M = zX — arZ,
ces trois équations en x^ y^ z se réduisent à deux en vertu de la relation (i); elles définissent une droite qui est la ligne d'action de la force unique R'.
103. Retour au cas général; axe central. — Imaginons un système de forces quelconques dont la somme géométrique n'est pas nulle. Ce système est équivalent à une force unique OR égale à la somme géométrique des forces appliquée en un point arbitrairement choisi O et à un couple dont l'axe OG est le moment résultant par rapport à ce point.
Si l'on prend un autre point O', le même système est équivalent à une force O'R' égale à OR appliquée au point O' et à un couple d'axe O'G', en général différent de OG.
On peut toujours choisir le point O' de telle façon que la force O'R'e^ Vaxe du couple O'G' aient même direction; le lieu géométrique des points O' possédant cette propriété est une droite parallèle à la somme géométrique des forces appelée axe central.
En effet, décomposons • (yî^. ïoi) le couple d'axe OG en deux, l'un dont l'axe OH est normal à OR et l'autre dont l'axe OK est dirigé suivant OR. D'après ce que nous avons va dans le numéro précédent, l'ensemble de la force OR et du couple d'axe OH. normal à OR est équivalent à une force
unique O'R' égale et parallèle à OR située danâ le plan mené par O perpendiculairement à OH.
Dès lors, le système proposé est équivalent à la force O'R' et au couple d'axe OK parallèle à O'R', Comme on peut transporter Taxe d'un couple où l'on veut, on peut dire
Fig. loi.
aussi que le système considéré est équivalent à une force O'R' et à un couple dont l'axe O'G', égal et parallèle à OK, a la même direction que O'R'.
Nous avons ainsi trouvé un point O' possédant la propriété demandée : tous les points de la droite indéfinie O'R' possèdent la même propriété, car on peut toujours transporter R' en un point de sa ligne d'action. La droite O'R' est alors Vaxe central.
Cet axe est unique, car en tout point O en dehors de O'R' le moment résultant OG est la somme géométrique du moment résultant du couple d'axe O'G' et du moment linéaire de la force R' : le moment résultant du couple d'axe O'G/ est un vecteur OK égal et parallèle à O'G' et, par suite, dirigé suivant OR; le moment linéaire OH de R' est perpendiculaire à OR; le moment résultant OG, somme de OK et OH a donc une direction différente de OR.
Il peut arriver exceptionnellement que OG soit perpendiculaire à OR; alors le moment OH bu son égal O'G' est nul et les forces sont équivalentes à une force unique R'; l'axe central est alors la ligne d'action de cette force unique.
équations de Taxe central. — Soient trois ernes rectangu* laires O^, Oy^ O5, construisons la somme géométrique OR et le moment résultant OG par rapport à O et soient (X, Y, Z), (L, M, N) les projections respectives de ces deux vecteurs. Désignons par j?, y, z les coordonnées d'un point quelconque O' de l'axe central. La force R' a pour projections X, Y, Z, et elle est appliquée au point O' ; son moment linéaire par rapport à O est un vecteur OH ayant pour projections
(OH) ^Z — -sY, z\ — xZ, xY'-yX;
appelons U, M', N' les projections de O'Gr' ou de son égal OK sur les axes.- Le vecteur OG étant la somme
géométrique de OH et OK, on a
L =^yZ — zY + V, M = «X — arZ-t-M',
d'où, inversement,
L'= L — j^Z-j-^Y, M'-=M — zXH-a?Z, N'=î N^xY -}-yX,
Exprimons maintenant que O'G' a la même direction 'que O'R'; nous aurons
ou
