LX-hMY4-NZ=o

Système équivalent à une force unique dirigée suivant Taxe central.

2<>X=Y =Z =0, l Système équivalent L*-+-M*-4- N*> o. ( à un couple unique.

3° X = Y = Z = o, J Système équivalent L =M =N =o. ( à zéro. Équilibre.

105. Premier exemple : Forces dans un plan. — Considérons des forces situées toutes dans un même plan xOy; comme nous l'avons vu n** 96, leur somme géométrique OR est dans ce plan et leur moment résultant OG normal au plan. Donc si OR n'est pas nul, les forces sont équivalentes à une force unique située dans le plan.

Si OR = o, elles sont équivalentes à un couple situé dans le plan.

Si OR = o, OG == o, elles se font équilibre.

. Analytiquementy on a comme au n^ 96

et par suite

•LX-i-MY-4-NZ=o.

Par conséquent

i** Si X^-|- Y^^ o le système a une résultante unique dirigée suivant l'axe central

^ = o, N = a?Y — yX,

2® Si X = Y = o avec N^o, le système se réduit à un couple.

3® Si X = o, Y = o, N = o,' le système est en équilibre.

Remarque. — Lorsque N est nul, les forces ont une résultante unique passant par le point O ou se font équilibre ; si donc Ja somme des moments des forces par rapport à deux, points du plan est nulle, la résultante passe par ces points, ou bien il y a équilibre ; enfin, si cette somme est nulle pour trois points du plan. non en ligne droite, il y a nécessairement équilibre. '

Exemples. — 1** Prenons dans le plan des xyun polygone quelconque et appliquons au milieu de chacun de ses côtés et perpendiculairement à sa direction une force proportionnelle à sa longueur et dirigée vers Fextérîeur du polygone ; ces forces se font équilibre. Nous allons établir géométriquement cette proposition. Démontrons-la tout d'abord pour un triangle ABC.

Les trois forces A'(K.BG), B'(K. AG), C'(K. AB) sont concourantes comme étant perpendiculaires aux milieux des côtés du triangle; de plus, la somme de leurs projections sur un axe quelconque est évidemment nulle; ces trois forces se font donc équilibre (Ji g. 102).

Passons maintenant au cas d'un polygone quelconque. A l'aide de diagonales issues d'un sommet, partageons-le en triangles. Perpendiculairement aux côtés de chacun des triangles ainsi déterminés et en leurs

milieux appliquons une série de forces proportionnelles à ces côtés et dirigées vers l'extérieur du triangle correspondant. D'après ce qui vient d'être dit, ce système de forces est en équilibre : or, au milieu de chaque diagonale sont appli-

!iOO COURS DE MÉCANIQUE.

.quéês deux forces ëgales et opposées; on peut donc les supprimer sans troubler Téquilibre, et le polygone reste en équilibre sous l'action des forces appliquées normalement à ses côtés; la proposition est donc démontrée.

2* Soit donné un polygone plan ABCDE {Jig* io3), sur lequel nous déterminons un sens de circulation;. appliquons ^ chaque sommet de ce polygone une force dirigée dans le

Fig. io3.

sens du côté qui y aboutit et proportionnelle à sa longueur. Si le polygone est convexe, ces forces se réduisent à un couple. En effet, la somme des projections de ces forces sur un axe quelconque est nulle, comme égale à K fois la projection du contour fermé ABCDE. De plus, la somme des moments par rapport à un point quelconque O du plan du polygone n'est pas nulle ; en effet, c'est

N = dz 2K[surf. OAB -h surf. OBG 4-. . .]»

c'est-à-dire

N = ±2Ksurf.(ABGDE),

Il ne peut donc pas y avoir équilibre.

Si le polygone est concave^ il n'en est plus de même ; prenons, en effet, le polygone A'B'C'D'; la somme des moments par rapport à un point O du plan sera, en ayant égard k leurs signes,

N = ±:2K(surf.D'IG'— surf.B'IA');

il y aura donc équilibre si les deux triangles D'IC, B'IA' sont équivalents.