Forces parallèles. Centre des forces parallèles

— Imaginons un corps solide sollicité par des forces» parallèles; convenons de regarder comme positives les intensités des forces qui tirent dans un sçns et comme négatives celles des forces qui tirent en sens contraire. Si Ton appelle P<, p2, . .. , P/i les valeurs algébriques des forces parallèles, ces forces ont une somme géométrique OR qui leur est. parallèle et dont la valeur algébrique P est donnée par

P = Pl-4-P2-i-...-hP„,

ou, sous forme abrégée

Le moment résultant OG des forces par rapport au point O est perpendiculaire à la direction commune de ces forces, car le moment linéaire de chaque force est perpendiculaire à cette direction. Donc OG est actuellement perpendiculaire sur OR. On a donc les conclusions suivantes :

i** Si SP^t^o, les forces sont équivalentes à une force unique égale à P dirigée suivant l'axe central ; la ligne d'action de cette force est le lieu des points pour lesquels, le moment résultant est nul,

2® Si S P^= o, les forces se réduisent à un couple d'axe OG.

3° SiSP^^o, 00 = 0, les forces se font équilibre; ce cas a été examiné en détail n® 101.

I® Deux forces parallèles et de môme sens. — Soient d'abord deux forces parallèles et de même sens; leurs intensités Pi et P2 pourront être regardées comme positives toutes deux. Ces deux forces sont équivalentes à une force unique P . située dans leur plan, ajant mêhie direction et même sens

202 COURS DE MÉGANIQUE.

qu'elles et égale à leur somme

Il faut déterminer la ligne d'action de cette résultante

kfig' '^4)» Pour cela, il suffit de remarquer que, le système étant équivalent à P, , /l— '— 7B2 le moment résultant du système par rap-

c, A-7^- Vcj port à un point quelconque A, pris ^ur P,

/ y 7'^2 doit être égal à celui de P, c'est-àrdire à

/ / **a zéro. Le point A doit donc être entre les

p / ^'^ . lignes d'action des deux forces P| et P2,

pour que leurs moments linéairesi soient de sens contraires; en outre, en abaissant de A les perpendiculaires AA| et AA2 sur les deux forces, on doit avoir

Pi.AAi = P2.AAî.

En menant une transversale quelconque, rencontrant les lignes d'action des trois forces en des points B4, B2, B, on aura de même, en valeur absolue,

Pi.BBi= Pj.BBj, car

AAi BB, AAa ~ BB2 *

Ainsi la ligne d'action de la résultante P divise une transversale aux deux forces en des segments additifs inversement proportionnels aux composantes.

En donnant des signes aux segments déterminés par les trois points BBj B2 sur une transversale, on peut écrire la relation suivante vraie en grandeur et signe

BB, ^ P2 BB, ~ Pi*

Centre des forces parallèles. — Jusqu'ici nous n'avons fait jouer aucun rôle aux points d'application ni des composantes ni de la résultante : la méthode que nous avons suivie

MÉCANIQUE. aOS

donne, comme il doit arriver, la même résultante quand on fait glisser les composantes P| et P, le long de leurs lignes d'action, la résultante pouvant également être transportée le long de sa ligne* d'action.

On arrive à la notion du centre des forces parallèles en convenant de prendre des points déterminés, par exemple les points C| et C2 pour points d'application des coinposantes. Joignons alors C| Ca et appelons C le point où C| Ca coupe la ligne d'action de la résultante; ce point est déterminé par la relation (en grandeur et signe)

GCi P, GG,- Pi*

Ce point particulier C est le centre des forces parallèles P| et Pa appliquées aux points C< et Ca.

Si l'on fait tourner les deux forces parallèles Pj et Pa autour des deux points d'application C| et Ca sans altérer leur rapport, le point C reste fixe et la résultante tourne également autour de ce point.

On convient de prendre le point C pour point d'application de la résultante P en transportant cette résultante au point C de sa ligne d'action.

2® Deux forces parallèles et de sens contraires. — Prenons {fig. io5) comme sens positif le sens de la plus grande P| ; alors P| est positif, Pa négatit. INous supposons la somme

différente de zéro pour écarter le cas du v Aî^^^^^-A ^

couple. Alors les deux forces ont une 'b"—/bî /^2

résultante P égale à leur somme géomé- ^>,

trique située dans leur plan, dont il faut

déterminer la ligne d'action. Cette ligne est le lieu géomé-

.WT

ao4 . œuRS de mécanique.

trique des points. A pour lesquels le moment résultant de Pi et Pa est nul. EUle est donc extérieure à l'espace situé entre les deux forces, et du côté de la plus grande, de telle façon qu'en abaissant de l'un de ces points des perpendiculaires A Aï et AA2 sur les deux forces, on ajt ppur les deux produits P^ . AA.| et P2. AAa la même valeur absolue. En menant une transversale quelconque rencontrant les lignes d'action des forces en BB| B2 on aura en grandeur et en signe

BBi __ P, BBi "" P, '

Centre des forces parallèles.. — Ayant choisi deux points déterminés Ci et Ca pour points d'application des composantes, le centre des forces parallèles est un point C sur C| C2 tel que l'on ait, en grandeur et signe

CCi __ P2

Quand on fait tourner les composantes autour des points C| etC2 en les laissant parallèles et sans changer leur rapport, le point C reste fixe et la résultante P tourne aiissi autour de ce point : nous la supposerons appliquée à ce point.

3^ Deux forces égales et opposées. — Si l'on a deux forces égales et opposées, elles forment un couple, c'est-àdire pn système qui n'a pas de résultante. En considérant ce cas comme la limite du précédent, P^ -4-P2 tendant progressivement vers zéro, on voit que le point C, centre des forces parallèles, s'éloigne indéfiniment.

Le même fait a lieu dans le cas plus particulier encore où, les deux forces étant égales et directement opposées, il y a équilibre.

4^ Forces parallèles en nombre quelconque; centre des forces parallèles. — Prenons maintenant n forces parallèles

MÉGANIQUE. 2u5

ayant pour valeurs algébriques P|, Pj, ..., P„ et supposons que leur soitime géométrique

P = Pi-f- Pj-h. . .^- P«= SPa

soit différente de zéro.

Les forces sont alors équivalentes à une force unique égale à P qu'on peut déterminer comme il suit.

Supposons les composantes appliquées en des points déterminés C|, '02,...., C„, et imaginons, pour fixer les idées, que les forces P|, P2, ..., P;,^ tirent dans un sens, et les forces Pm+i, Pm-f2j •••)■?« en sens contraire. Nous pourrons, d'après ce qui précède, remplacer Pj et P2 par une force unique Q« = P| + P2 appliqyée au centre D| des forces parai* lèles P| et P2 ; puis nous remplacerons les forces Qi et P3 par

une force

Qi = Qi-^P8=Pi-+-Pi-+-P3

appliiquée au centre D2 des forces parallèles Qi et P3 ; et ainsi de suite, jusqu'à ce que nous ayons remplacé toutes les forces tirant dans un sens par une force unique P' appliquée en un point déterminé G ; de même, nous remplacerons toutes les forces tirant en sens contraire par une force unique P" appliquée en un point déterminé C. Ces deux forces se composent enfin en une

appliquée au centre C des forces P' et P" appliquées en G'

et C".

Ce point final est le centre des forces parallèles don- . nées.

Si l'on fait tourner ces forces autour de leurs points d'ap-^ plic^tion en les laissant parallèles, sans altérer leurs rapports mutuels, les forces auxiliaires Qi, Q2, . . , P', P^ tournent au- • tour de leurs points d'application D|, D2, . . -, C, G" sans que

s~^ -1 — f^rt

206 COURS DE MBCANIQUE

leurs rapports mutuels changent, et, finalement, la résultante tourne autour du point C.

Il suffira donc de déterminer ce point C pour connaître la résultante, puisque sa grandeur, sa direction et son sens sont connus.

Coordonnées du centre des forces parallèles. — Soient n forces parallèles de -valeurs algébriques P< , Pj, ..., P^ appliquées aux points C|, C2, . . . , G/i de coordonnées ^1, ^i, ^i, X2,y2)^2i • • M ^n^yn'i Zn- Nous venons de voir que le centre des forces parallèles C existe tant que P| -H P2-+-. . .-h P» est différent de zéro.

Appelons ^o>yo> -^o les coordonnées de ce point.

Le moment de la résultante des forces parallèles par rapport à un axe quelconque est égal à la somme des moments des composantes ; comme le centre des forces parallèles est indépendant de la direction commune des forces, je les suppose toutes parallèles à 0.5, Oz étant pris comme sens positif des forces. Alors les projections des forces sur les axes sont

X, = 0, Yi = o, Z, = Pi,

XAr=0, Ya:=0, • Za- = P*,

et celles de la résultante

Écrivons que le moment de P par rapport à Oy est égal à la somme des moments des composantes :

<Jo X — a?o Z = -Si X 1 ^ a?i Zi -h ^2 Xj — 372 Z2 -H ... ; nous avons, d'après les valeurs particulières ci-dessus,

^^ ^ Pl-HP2-+-...-4-Pn '

OU, SOUS forme abrégée,

de même, on trouve

SP*a*

Remarque. — Le centre des forces parallèles existe tant que,

2P* est différent de zéro.

Quand SPjt= o, il est en général rejeté à l'infini.

Cependant, il serait indéterminé si l'on avait à la fois

\ :L?fcZk=o.

Dans ce cas très particulier, les conditions d'équilibre indiquées au n° 97 sont remplies, quels que soient a, p, y? c'està-dire quelle que soit la direction commune des forces : on dit alors que les forces parallèles sont en équilibre asiatique. On peut vérifier que ce cas se présente quand, SPy^ étant nul, le centre G des forces parallèles tirant dans un sens coïncide avec le centre C des forces parallèles tirant en sens contraire. Les résultantes P' et V" de ces deux groupes de forces sont alors égales, opposées et appliquées au même point. Elles se font équilibre, quelle que soit leur direction commune.

Exercice. — On peut, comme exercice, vérifier ces résultats par le calcul. Si, comme au n** 97, on appelle a, |î, y les cosinus directeurs du sens positif des forces, les projections sur les axes de la somme géométrique OR des forces sont

X=ïP, y = pP, Z = yP, P = 2Px.,

208 COURS DE^ HÉCANIQITE.

et celles du moment résultant OG par rapport à Forigine

M=a2Pifc^;t — YSPa^ta,

Les forces se réduisent alors à une force unique ou résultante parallèle aux forces données, d^intensité P. La ligne d^action de cette force unique a pour équations

M = zX — xZ,

N = arY— ^X,

où x^yj z sont les coordonnées courantes (n" 102).

Actuellement ces équations deviennent, d'après les valeurs particulières de X, Y, Z, L, M, N,

on peut les écrire

P^ — SP^a^yt Pjk-SPaXa Pz^I,PkZk

ou

l 2 Pka^k ^^ __ S PkYk ^

, en posant Xq = ^p > jKo =

2Pa

SPa-

z —Zfi

lue point ayant pour coordonnées Xq^ y^^ Zq ne dépend pas de a, p, Y, c'est-à-dire de la direction commune des forces; il dépend seulement de leurs points d'application {Xk^ y ht Zk) et des rapports de leurs grandeurs, car les expressions de ^oi j^Oî '^0 sont homogènes et de degré zéro par rapport à Pi,* Pa, . . ., P/|. La résultante unique P passe donc par le point fixe ( J^o» J^Oî ^^o) quels que soient a, p, y.

Donc, si, laissant fixes les points d'application, on change la direction commune des forces considérées et si l'on fait

varier ces forces proportionnellement, leur résultante passe par un point fixe de coordonnées (^oj^o? ^o)- Ce point fixe est le centre des forces parallèles.

On choisit ordinairement ce point comme point d'application de la résultante, ce qu'on peut faire en transportant cette; résultante au point ^0, y^^ Zq de sa direction.

Remarque. — Dans le cas particulier où toutes les forces sont dirigées dans le même sens, le centre des forces parallèles, est intérieur à toute surface convexe entourant tous les points d'application des composantes ^ Ea effet, prenons pour sens positif celui des vecteurs donnés Pj , . . . ,

Fig. 106.

Pfl, pour plan des jt!y un plan tangent II à cette surface, et pour axe O^ une perpendiculaire à ce plan située du même côté que la surface (Jig- 106). Alors les z de tous les points d'application sont positifs, et l'équation

Zq —

montre que Zq est également positif. Le centre des forces parallèles se trouvant par rapport à un plan tangent quelconque du même côté que la surface est situé à l'intérieur de celle-ci.

107. Moments des forces parallèles par rapport à un plan. — Un système de forces parallèles, dont la résultante AG. i4

générale P = SPa n'est pas nuUe^ est équivalent à une force résultante unique P appliquée au centre des forces parallèles, d'après la convention faite plus haut. Les formules qui donnent les coordonnées x^^ y©, So de ce centre conduisent, quand on les traduit en langage géométrique, au théorème des moments par rapport à un plan.

Étant donné un plan H, qu'on peut toujours prendre pour pla^ji arO^, et un axe Oz {fig- 107) de direction arbitraire, on

Fig. 107.

appelle moment d^ une des forces parallèles, par rapport à ce plan II, le produit de la valeur algébrique Pa de la force, par la coordonnée Zk de son point d'application VkZk»

Le moment ainsi défini est une quantité positive, négative ou nulle, dont la valeur dépend du point d'application de la force, de sorte que ce moment change quand on la transporte en un point de sa direction. La propriété fondamentale résultant de cette définition est la suivante :

Le moment par rapport à un plan de la résultante de plusieurs forces parallèles est égal à la somme algébrique des moments des composantes à condition de prendre^ pour point d'application de la résultante, le centre des forces parallèles.

MEGAMQVE. tïll

Pour le démontrer, supposons d'abord l'axe Oz perpendiculaire au plan II; le -s du centre des forces parallèles est donné par l'équation

où P = SP^; or cette équation exprime précisément le théorème que nous voulons démontrer.-

Si l'axe O^ est oblique au plan U, on prendra un axe auxiliaire O^' normal au plan et faisant avec 0.z nn angle a. Appelons J^y z'^, ..., z^^ z^ les coordonnées z des points d'application comptées parallèlement à ce nouvel axe, c'està-dire normalement au plan; on aura, d'après ce qui précède,

mais les coordonnées z' et z sont liées par les relations évidentes

^'j = ^iCOsa y, = 2jC0sa, ..., «Q = zocosa; •

en substituant, on a là relation à démontrer

P«o= SP^z^t.

Le théorème des moments est donc établi dans sa généralité. En l'appliquant successivement aux trois plans coordonnés supposés obliques, on obtient, pour déterminer les coordonnées ^Oî JKo) -20, du centre des forces parallèles en axes obliques j les mêmes formules qxx^açec des axes rectangulaires.

Remarque. — Le théorème des moments des forces parallèles par rapport à un plan ne peut s'appliquer que si SP^^ o.

Lorsque SP>fc= o, les forces sont équivalentes à un couple ou à zéro: Même dans ce dernier cas, le théorème ne peut pas s'appliquer, car si la résultante est alors nulle^ le centre des forces parallèles est à l'infini. Il n'y a d'exception que pour le cas encore plus particulier où les forces étant équiva-

lentes à zéro sont en équilibre asiatique; alors aro^J'o? ^o sont indéterminés.

108. Centres de gravité. — Nous avons déjà défini le poids d'un point matériel : c'est une force verticale dont l'intensité p est égale à la masse du point matériel multipliée par l'accélération g due à la pesanteur, accélération qui, en un même lieu, est la même pour tous les points pesants. La direction de la verticale change d'un lieu à l'autre ; l'observation a prouvé que la valeur de g varie avec IJ latitude et l'altitude ; mais ces variations sont insensibles dans l'étendue d'un corps de dimensions ordinaires. Un corps solide pesant peut donc êtfe considéré comme une réunitm d'un grand nombre de points matériels liés entre .eux et sollicités par des forces verticales parallèles proportionnelles à leurs masses. La résultante de ces forces, qui est égale à leur somme, s'appelle le poids du corps. Le centre de ces forces parallèles se nomme spécialement centre de granité; il occupe dans le corps une position indépendante de l'orientation de celui-ci ; car, lorsque le corps se déplace, tout se passe, pour un observateur entraîné avec lui, comme si, le corps restant immobile, les forces parallèles tournaient d'un même angle autour de leurs points d'application,, ce qui n'altère pas la position du centre des forces parallèles. Ainsi, le centre de gravité est le point du corps par lequel passe constamntent le poids du corps, quelle que soit son orientation. Si donc on fixait le centre de gravité en laissant au corps solide la liberté de tourner autour de ce point, le corps, soumis uniquement à l'action de la pesanteur, resterait en équilibre dans toutes les positions qu'il peut prendre.

109. Expressions des coordonnées du centre de gravité. — Soient m^j m2, . . ., /n^ les masses, />|, />2j • • •> /^«les poids des points matériels qui constituent un corps solide

(^1, jf, Z|), (^2,^2, ^2), . . ., (^,„ JK«, ^„) leurs coordonnées, P et M le poids et la masse du corps. On aura

Si Ton désigne par (^o? JKo? ^0) ^^s coordonnées .du centre de gravité, on a, d'après les formules qui donnent le centre des forces parallèles.

P\Xx -+■ ptXf-h. . .-^ pn^n friiXi -h m^X^-h. . .-^ Tn.nXn

OU, sous forme abrégée,

On voit, d'après ces formules., que la position du centre de gravité dépend uniquement des masses des points. . Cette observation est importante, car elle permet d'étendre la notion de centre de gravité à des systèmes non pesants. Même, dans certaines questions relatives à des points matériels de masses /Wi, m2, ..., nin non invariablement liés entre eux, il est utile d'introduire le point dont les coordonnées ^oj JKo? ^0 sojnt définies par les formules précédentes : ce point qu'Euler proposait d'appeler centre d^ inertie continue à porter le nom de centre de gravité, quoique les considérations qui conduisent à la notion du centre de gravité ne soient pjus applicables. Le centre de gravité est évidemment situé à l'intérieur de toute surface convexe entourant les points considérés' (p. 209, Remarque),

Lorsque l'on connaît les centres de gravité Q^ et Ga de deux parties d'un corps et leurs masses Mi et M2, on en déduit immédiatement le centre de gravité du corps, car ce centre est le centre des forces parallèles Mi^etMag" appliquées aux deux points G| et G2. D'une manière générale, lorsque l'on connaît les centres de gravité G^, G2, ..., Gp

!il4 * COURS DE MÉCANIQUE.

de plusieurs parties d'un corps et leurs masses, Mi, Ma, . . ., M^, le centre de gravité du corps est le centre des forces parallèles M|^, Ma^, ..., ^pê^ appliquées aux points G|, G2, . .., G;,. En appelant ^,,^1, z^ 5^2,^2? ^2^ •••? ^p) Xpj Zp les coordonnées des centres de gravité de ces diverses parties, on aura pour les coordonnées ^o> J^o? ^0 ^^ centre de gravité du corps

Quand on veut déterminer le centre de gravité d'un corps solide de forme donnée, par exemple d'une masse de métal, on doit appliquer les formules précédentes à un corps formé d'un nombre extrêmement grand de points matériels situés à des distances mutuelles extrêmement petites. On tourne la difficulté en regardant le corps comme continu, ce qui n'est pas conforme à la réalité, mais fournit une approximation très suffisante pour les applications. On supposera le corps divisé en parties infiniment petites, en petits cubes par exemple, et l'on appliquera les formules précédentes.

Lorsqu'un corps a tine épaisseur très petite par rapport à ses autres dimensions, on assimile le corps à une surface : telle est, par exemple, une feuille de papier ou de métal très mince. De même, il est des cas où l'on peut considérer un corps comme réduit à une ligne : tel est le cas d'un fil long et fin.