Théorèmes relatifs aux centres de gravité

I** Lorsqu'une figure admet un centré de symétrie, son centre de gravité se confond avec le centre de symétrie.

En effet, la figure tout entière peut être partagée en éléments matériels très petits deux à deux symétriques . et de même masse; la droite qui joint deux d'entre eux passe par le centre de symétrie qui est son milieu; par conséquent la

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résultante des forces égales et parallèles appliquées aux extrémités de cette droite passe aussi par son milieu ; comme il en est de même de toutes les résultantes semblablement obtenues, la résultante totale passe parle centre de symétrie.

2° Lorsqu'une figure plane admet un axe de symétrie ou un diamètre^ son centre de gravité est sur cet axe ou sur ce diamètre. Si la figure admet un ax€ de symétrie, à tout point A correspond un point B symétrique tel que le milieu O de AB soit sur Taxe ; c'est donc en ce point O qu'est appliquée la résultante des deux forces égales appliquées en A et en B ; il en est de même de toutes les résultantes obtenues de la même façon, c'est-à-dire qu'elles sont toutes appliquées en des points de l'axe de symétrie. Il reste à composer toutes ces résultantes .partielles dont les points d'application sont sur l'axe, donc le point G est aussi sur l'axe.

Dire que la figure admet un diamètre c'est dire qu'il existe une droite qui coupe toutes les cordes parallèles à une direction- déterminée en deux parties égales {fig. io8). Les centres de gravité de

toutes ces cordes se trouveront donc sur

cet axe de symétrie oblique qu'on nomme leur diamètre conjugué et, par suite, le centre de gravité de la figure s'y trouvera aussi.

3** Lorsqu'une figure dans V espace admet un plan de symétrie oju un plan, diamétral, son centre de gravité est dans ce plan. Le raisonnement est le même : si la figure admet un plan de symétrie, à tout point- A correspond un point B symétrique tel que le milieu O de la droite AB se trouve dans le plaii de symétrie; c'est donc en ce point O qu'est appliquée la résultante des deux forces égales appliquées en A et en B ; il en est de même de toutes les résultantes obtenues de la même façon : leur point d^application est dans

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le plan et par suite le centre de gravité, point d'application de la résultante de ces résultantes partielles, est aussi dans ce plan de sjmétrie. *

Dire, que la figure admet un plan diamétral^ c'est dire qu'il existe un plan qui coupe toutes les cordes parallèles à une direction déterminée en deux parties égales. Les centres de gravité de toutes ces cordes se trouveront donc dans ce plan # de symétrie oblique qu'on appelle leur plan diamétral conjugué^ et par suite le centre de gravité de la figure s'y trouve aussi. ,