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ce
Soit le contour polygonal fermé ABCDEFA (/?^. 6). Projetons sur l'axe x' x ses différents sommets ; soient a, 6, c, d^ e, f ces projections.
Nous imaginons que la ligne polygonale est décrite par un* point mobile partant de A et rencontrant les différents sommets dans Tordre ABCDEFA.
Considérons maintenant, sur Taxe x^ x^ les segments déterminés par les points a, 6, c, rf, e, /; on a, d'après le théorème général relatif aux segments,
ah -\- hc -\- cd -A- de -^ ef -\-fa = o,
mais les segments ab, bc, . . ., fa sont en grandeurs et en signes les projections des vecteurs AB, BC, . . ., FA, éléments du contour. La propriété est donc démontrée.
Théorème II. — La somme algébrique des projections des éléments d'un contour polygonal, non fermé, plan ou gauche, est égale à la projection de la résultante.
Considérons le contour polygonal non fermé ABCDEF {fig, 7). Nous imaginons, comme précédemment, le contour polygonal décrit par un point mobile partant de A et ren- (îontrant par suite les sommets dans Tordre ABCDEF. On
GHANDElina GEOMETItlQUES.
(lil alors que A esl ['origine du contou.
mité. Si l'on mène la droite AF qui joint l'origine A à l'extrémité F, on dît que ce vecteur qui ferme ie contour e*l la résultante des éléments <lii conlour ; A est son origine, F son extrémité.
Si nous considérons le contour |ioljgonal fermé ABCDEFA, nous iivons, d'après le théorèmeprécédenl,
<ib -f- bc -^ cd -i- de -^ ef -^fa — o,
d'où nous tirons
ab + hc^-cd^de^ e/=-fa, jnais
-fa-.af, par suite,
ab^bc^cd+de^ef=aj;
la proposition est donc démontrée.
Théorème III. — Lorsque deux contours polygon non fermés ont même origine et même extrémité, c'e; dire ont la même résultante, les sommes algébriques projections des éléments des deux contours sont égi
C'est une conséquence immédiate de la proposition pr (lente, puisque ces sommes sont toutes deux égales à la jection du vecteur qui ferme les deux contours.
o. Somme géométrique ou composition des Teoti concourants. — Des vecteurs sont dits concourants qi ils ont même origine.
Deux vecteurs. — Soient d'abord deux vecteurs Af
8 • COURS DE MÉGANIQUE.
APa d'origine commune A; par l'extrémité P^ de l'un dos
vecteurs menons un vecteur P4R (yî^. 8), *^* * égal géométriquement à l'autre AP2. Le
-2 .^ vecteur AR d'origine A et d'extrémité R
\ jT \ est la somme géom^étrique ou résul-
\ X » tante des deux vecteurs donnés. On
w£ >i écrit
" "*' . (R)-(Pl)4-(P.,),
les parenthèses indiquant qu'il s'agit d'une égalité géométrique.
La somme des deux vecteurs P, etPa est évidemment indépendante de l'ordre dans lequel on prend les deux vecteurs ; si par l'extrémité P2 du deuxième on menait un vecteur P2R égal géométriquement au premier P4 , on aboutirait évidemment au même point R, car la figure AVi RP2 est un parallélogramme; on peut donc écrire aussi
La grandeur R du vecteur résultant se calcule immédiate-
ment dans le triangle AP4 R ; appelons P^ P2 l'angle des deux vecteurs composants Pi AP2 ; l'angle AP4 R est le supplément de cet angle ; on a donc
R2 .-=: Pf -i- P| -^. 2P1 P2 COSPt Pj.
Détermination analytique de la résultante de deux vecteurs. — Prenons trois axes quelconques et appelons Xj , Y^ , Z| et X2, Y2, Z2 les projections des deux vecteurs AP^ et AP2, X, Y, Z celles du vecteur résultant AR.
D'après le théorème des projections, si l'on considère le contour polygonal AP4 R et le vecteur AR ayant même origine et même extrémité, la projection de AR sur un axe est égale à la somme des projections des côtés AVt et P^R du contour;
GRANDEURS GÉOMÉTRIQUES. c>
en projetant successivement sur les trois axes on a ainsi les trois équations
qui définissent la résultante.
Examinons quelques cas particuliers. Il peut arriver que Tangle des vecteurs P, et P2 soit nul : alors les deux vecteurs composants ont même direction et même sens; le vecteur résultant a également la même direction et le même sens et sa grandeur est égale à la somme des grandeurs des vecteurs composants.
Il peut arriver que l'angle des deux vecteurs donnés soit de 180°; ces deux vecteurs onl alors des sens opposés {fig^ 9). Le vecteur résultant AR a le sens du plus grand des deux et pour longueur la différence des deux longueurs.
Il peut arriver enfin que les vecteurs P, et Pj soient égaux et opposés ; alors ' leur somme est nulle : le point R coïncide avec le point A.
Trois vecteurs. — Soient trois vecteurs P,, P2, P3 d'origine commune A. Par l'extrémité P^ du premier vecteur menons un
vecteur P| Q2 égal au deuxième P2, puis par le point Q2 un vecteur Q2R égal au troisième P3 {fig* 10). Le vecteur AR^ d'origine A et d'extrémité R, est la somme géométrique des trois vecteurs donnés. Ge vecteur est indépendant de l'ordre dans lequel on prend les trois vecteurs donnés, car le point R
Fig. 10.
lO COURS DE MÉCANIQUE.
est le sommet opposé aii point A dans le parallélépipède construit sur APi, AP2, AP3.
Pour exprimer que R est la résultante de P|, P2, P3, on écrit l'égalité géométrique
On peut remarquer que, pour obtenir R, on peut faire d'abord la somme de deux des vecteurs, puis composer cette somme avec le troisième. Par exemple, dans \2ifig, 10, le vecteur AQ2 représente la somme géométrique de Pi et P2 et AR est la résultante de celte somme et de Ps.
Analjtiquement, appelons X,, Y|, Z, ; X2, Y2, Z2 ; X3, Y3, Z3 les projections des vecteurs composants P^, P2, P3 et X, Y, Z celles du vecteur résultant R. Le vecteur AR fermant le contour polygonal AP<Q2R, sa projection sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des côtés du contour sur le même axe. On a donc
Y- Y,-+- Y2-1-YS, Z = Zi -f- Zj -h Z3.
Il peut arriver que la somme géométrique soit nulle; cela aura lieu si le point R coïncide avec A; alors X, Y, Z seront nuls.
Cas général. — Soient n vecteurs Pi, P2, . . ., P« d'origine commune A. Par l'extrémité P| du premier menons un vecteur P| Q2 [fig- 1 1 ) égal au deuxième P2, par Qo un vecteur Q2Q3 égal au troisième P3, ... et ainsi de suite, par Q«-i un vecteur Q,i i R égal au dernier P«. La droite AR est \'À somme géométrique ou résultante des vecteurs donnés.
Cette somme est indépendante de l'ordre dans lequel on prend les vecteurs composants pour les porter bout à bout. Gela résulte de ce que l'on peut intervertir l'ordre de deux vecteurs composants consécutifs sans en altérer la somme : en efl'et, si l'on intervertissait P2 et P3, on aurait à mener
,pj^-^:*=*ii^^
GRANDEURS GEOMETRIQUES.
par P, un vecteur P| Q2 égal à P3, puis par Qg un vecteur Q2 Q» égal à P2 ; on
arriverait ainsi au même ^*^' "'
point Q3, car la figure P4 Q2 Q3 Q'2 est un parallélogramme. Puisqu'on peut intervertir deux vecteurs consécutifs, on peut les ranger dans un ordre quelconque sans changer leur somme géométrique. Ce fait résulte d'ailleurs immédiatement de la détermination analytique de la résultante. Si l'on appelle X^, Y^, Z| ; Xg, Y2, Z2; ... ; X„, Y,,, Z,^ les projections des composantes, X, Y, Z celles de la résultante, le théorème des projections donne
Y=Y,-hY,-4-...-hY„,
ta = Jiii -+- Zi2 ~^~ • • • "J" ^/l«
Ces valeurs X, Y, Z sont évidemment indépendantes de l'ordre dans lequel on prend les composantes.
On voit aussi que, pour faire la somme géométrique de vecteurs concourants, on peut les partager en groupes d'une façon quelconque, faire la somme des vecteurs de chaque groupe, puis la somme de ces sommes.
Pour exprimer que R est la somme géométrique de Pi, Pj, . . ., P,/, nous écrirons en mettant des parenthèses
(R) = (PO-f-(P,)-i-...-+-(Pn).
6. Différence géométrique ou décomposition d'un vecteur en vecteurs concourants. — Dans certains cas on décompose un vecteur donné en vecteurs concourants, c'està-dire qu'on détermine des vecteurs dont le vecteur donné est la résultante. Ce problème n'est pas déterminé sous cette
12 COLRS DE MECANIQUE.
forme générale, pas plus que ne serait en Arithmétique le problème de décomposer une somme en parties; nous allons en examiner quelques cas particuliers.
1» Décomposer un vecteur R en deux composantes, connaissant Tune de ses compo- . santés. — Soit AR un vec- ' teur {^fig* 12), AP, une de ses composantes, l'autre composante AP2 sera égale au vecteur P|R. Ce vecteur Pg qui, ajouté géométriquement à P<, donne le vecteur R, s'appelle la différence géométrique de R et Pi et l'on écrit
cette relation peut alors être considérée comme une conséquence de la relation
