Mouvement d'un point. — Soient trois axes O^, Oj

ij , J" • *^tj KlJt*^ "T 1* ., ' .:

CINÉMATIQUE DU POINT. l5

0^, absolument fixes et un point mobile M, dont les coordonnées (Jlg- i5) ^,y, z sont des fonctions continues données du temps ^,

La courbe décrite parle point est la trajectoire du mobile : ses équations s'obtiennent

. Fig. i5.

en éliminant t entre les

équations qui définissent x^

fy Zy en fonction de t et

qu'on appelle les équations

(lu mouvement. On peut

aussi définir le mouvement

de la façon suivante : on

donne la trajectoire, puis,

prenant sur cette trajectoire un point Mo comme origine des

arcs, un sens MqS comme sens des arcs positifs, on donne en

fonction du temps la valeur algébrique s de Tare Mo M qui

sépare le mobile du point M©, appelé origine des espaces,

9. Mouvement rectiligne. — On dit que le mouvement est rectiligne quand la trajectoire est une droite. Si l'on prend cette droite pour axe des x^ les deux modes précédents de définition du mouvement se confondent et le mouvement est défini par l'expression de l'abscisse du mobile en fonction du

temps,

qu'on di^^eWe Y équation du m,ouvement.

On prendra sur la droite un point fixe O qui sera l'origine des espaces, et à partir duquel on portera, à droite ou à gauche, les espaces suivant que x sera positif ou négatif.

10. Mouvement uniforme. — Le mouvement rectiligne le plus simple est le mouvement uniforme. C'est un meuve-

l6 COURS DE MÉCANIQUE.

ment dans lequel le mobile marche toujours dans le même sens de telle façon que les espaces parcourus soient proportionnels aux temps employés à les parcourir.

Un cycliste suivant une route droite à une allure régulière donne Timage du mouvement rectiligne uniforme. S'il fait, par exemple, 7™ à la seconde, il fera i4"* en deux secondes, 'ii"^ en trois secondes, 3",5o en une demi-seconde, etc.

Équation du mouTement. — Soient x^ l'abscisse du mobile à l'origine des temps t =i o^ x son abscisse à l'instant t : le rapport

3" — yp /

est, en valeur absolue, égal au rapport du chemin parcouru au temps employé à le parcourir; ce rapport a donc une valeur absolue constante. Nous allons voir, en outre, que le signe de ce rapport est constant et que ce signe indique le sens dans lequel se meut le mobile.

i^ Le mobile se meut dans le sens positif de O^; alors, quand le temps croît, x croît également; si donc / est positif, X — Xq l'est aussi et le rapport est positif; si t est négatif, X — Xq l'est aussi et le rapport est encore positif ; on a donc

dans ce cas

or — xo j

k désignant une constante positive,

2® Le mobile se meut dans le sen5 négatif de Ox. Alors, quand le temps croît, x décroît; si donc t est positif, x — x^ est négatif et inversement;^ le rapport est donc négatif et l'on a .

-k désignanl? une constante négative,: .

CINEMATIQUE DU POINT. I7

En résumé, Péquation du mouvement uniforme est dans tous les cas

Réciproquement, tout mouvement défini par une équation du premier degré entre x et / de la forme ci-dessus est uniforme : en effet le mouvement défini par

X ^= x^-\- kt

possède, quels que soient x^^dX^k^ les deux propriétés qui caractérisent le mouvement uniforme. D'abord, le mobile marche toujours dans le même sens, car, t croissant, x augmente quand k est positif et diminue quand k est négatif; ensuite les espaces parcourus sont proportionnels aux temps employés à les parcourir, car, en appelant ^x la variation subie par l'abscisse quand t croît de A^,,on a

A;a7 = A: Af , — - = k,

ce qui démontrée la deuxième propriété.

Vitesse. — Soit M la position du mobile à l'instant ^, M|

sa position à l'instant t -\- A^, A^ étant positif; la grandeur

géométrique MM| a pour valeur algébrique, estimée suivant

l'axe O^, Lx. Si dans le sens MM| on porte, à partir de M,

. ]y(]y| une longueur MV égale à —r~y la grandeur géomé-

trique MV {fig* i6) est la vitesse du mouvement uniforme.

Fig. i6.

On appelle valeur algébrique v de cette vitesse la longueur du segment vitesse MV, précédée du signe -h ou du ' aC. 2

l8 • COURS DE MÉCANIQUE.

signe — , suivant que ce segment est dirigé dans le sens positif ou le sens négatif de l'axe. On a alors, en grandeur et en

signe,

Aa?

car la valeur absolue de MM< est égale à celle de A^ et le signe de p est le même que celui de.Ao:.

D'après l'équation du mouvement, la vitesse du mouvement rectiligne uniforme est constante en grandeur, direction et sens, car on a, quels que soient t et A^,

A.r = A Af , (;=——= A:.

Si A^ = r, on voit 'que (^ = Lx] on peut donc dire que la vitesse dans un. mouvement rectiligne uniforme est, en grandeur, direction^ et sens, V espace parcouru dans V unité de temps.

Signification physique des constantes. — La constante Xq représente l'abscisse du mobile à l'origine des temps. La constante k est la' vitesse v du mobile. On peut donc écrire l'équation générale du mouvement uniforme

où la signification des constantes est en évidence.

En particulier, si l'on convient de prendre pour origine des espaces la position du mobile à. l'instant t=^o,XQ est nul et Péquation du mouvement prend la. forme simple

X ^= Vt, t

H . • Mouvement rectiligne varié. — Tout mouvement qui n'est pas uniforme est dit vctrié. Soit un mouvement rectiligne varié défini par l'équation ^ = (p(^), Le déplacement MM| que

CINÉMATIQUE DU POINT. I9

subit le mobile quand t croît de àt est une grandeur géométrique dont la valeur algébrique est àx. .

Vitesse. — Si dans le sens MM< {Jig* 17) on porte une

' Fig: 17.

MIVI longueur MW. égale à —^ » le vecteur MW, dont la valeur

algébrique ^st — > s'appelle vitesse moyenne du mobile dans

l'intervalle de temps A^. C'est la vitesse que posséderait un mobile fictif animé d'un mouvement uniforme et allant de M en M< pendant le même temps A^. Si A^ tend vers zéro, le vecteur MW tend vers un vecteur limite MV dont l'exprès-

cLcp

sion algébrique v est la dérivée x\ ou —^ ou <p'(^), que l'on appelle vitesse du mobile à V instant t.

Exemple. — Il est évident que dans un mouvement uniforme

X = x^-Jf kl

nous devons, en appliquant la règle générale, retrouver pour la valeur algébrique de la vitesse à un instant le nombre k que nous avons appelé vitesse de ce mouvement. On a, en effet, en preaant la dérivée de x par rapport à ^,

, dx j

Réciproquement, nous pouvons maintenant démontrer que, si dans un mouvement rectiligne la vitesse à chaque instant est constante, ce mouvement est uniforme. En effet, la vitesse étant égale à une constante A", la dérivée de x par rapport à t

est égale à A*,

dx ,

d'où, en remontant à la fonction primitive,

Xo désignant une constante. Le mouvement est donc uniforme.*

Accélération. — Un mouvement rectiligne uniforme peut être caractérisé par ce fait que sa vitesse à chaque instant est constante en grandeur et direction. Dans un mouvement rectiligne varié, la vitesse est variable et il est utile de se rendre compte, d'une façon précise, de la variation de la » vitesse aux divers instants du mouvement. . On est' ainsi conduit à la notion du vecteur accélération.

Imaginons tin mobile M parcourant Taxe O^r et possédant à l'instant t la vitesse représentée par le vecteur MV dont la valeur algébrique est ç {^fig- 17)» Quand t varie, la vitesse MV conserve la même direction, mais varie en grandeur et en sens. Pr/enons une origine fixe O' et menons à partir de cette origine un segment O^M' égal et parallèle à MV; quand avarie, les points M' se trouvent toiis sur un axe O' a:' parallèle àO^, et l'abscisse x^ du point M' sur cet axe est évidemment égale à la vitesse v du point M : :r'= (^.

Si la vitesse du point M était constante, le point auxiliaire M' serait immobile ; la vitesse du point M étant variable avec t^ le point M' se déplace et cela d'autant plus vite que la vitesse de M varie plus rapidement.

On appelle accélération du point M à V instant t un vecteur MJ égal à la vitesse M' J du point M'. La valeur algébrique Y de ce vecteur est la valeur algébrique de l'accélération : on a donc

dx^ __ dv ^~ W ^ di'

CINEMATIQUE DU POINT.

OU encore, comme c est la dérivée première de X par

En résumé l'accéléralion est, comme la vitesse, un y leur MJ dont la valeur algébrique y est la dérivée de v rapport à /, c'est-à-dire la dérivée deuxième de x par rapf

Exemple. — Dans un mouvement recliligne et unifoi le vecteur vitesse est constant en grandeur et directi if^^const.; l'accéléralionest donc nulle. Réciproquement un mouvement rectiligne est tel que son accélération : constamment nulle, il est uniforme. En effet, dans cette hy thèse on aurait

donc V serait constante et le mouvement uniforme.

Mouvement rectiligne accéléré on retardé. — On dit qu mouvement est accéléré quand sa vitesse croît en val absolue; il est retardé quand sa vitesse décroil en val absolue. En d'autres termes le mouvement est accéléré retardé suivant que le carré c^ augmente ou diminue.

Donc le mouvement est accéléré quand la dérivée

dt ^"^^ dt~ '^""^

est positive, il est retardé quand cette même quantité négative. On peut dire aussi que le mouvement est accél quand cet"^ ont le même signe, c'est-à-dire quand lesvecte vitesse et accélération ont le même sens ; il est retardé dan cas contraire.

22 COURS DE MÉCASIQ^E.

i2. MouTement rectiligne uniformément

Nous avons vu, plus haut, que le mouvement uniforme est caractérisé parce fait que son accélération est nulle. Le mouvement rectiligne qui se présente comme le plus simple, après le mouvement uniforme, est alors un mouvement dans lequel l'accélération aurait une valeur constante différente de Méro, Un tel mouvement est dit uniformément varié.

Équation du mouvement. — Soit y la valeur constante de Taccélération ; on aura, en appelant v la valeur algébrique de la vitesse,

dt ~ ^^' d'où, en prenant la fonction primitive,

(1) i; = i;o-i-Yf,

Vq désignant la vitesse du mobile à Pinstant I = o. Mais V = -,-; on a donc

d'où, en prenant la fonction primitive et remarquant que Vq et Y sont constants,

(2) X = XQ-^VQÎ-t- -yt^j

Xq étant une constante qui représente la valeur de x pour f = o, c'est-à-dire l'abscisse du mobile à l'origine du temps. Cette équation (2) est l'équation du mouvement uniformément varié.

On voit que, dans l'équation du mouvement, x est une fonction du deuxième degré en t. Inversement, toutes les fois que X est une fonction du deuxième degré en t

CINEMATIQUE E

le mouvement est uniformément varié, car en prenant dérivée première on a la vitesse

et en prenant encore une fois la dérivée on a l'accélératioi

qui est constante.

Théorâm». — Dans un mouvement uniformément va la variation Ac de la vitesse pendant un intervalle A( proportionnelle à ^t et le rapport — est égal à l'accé ration constante y du m.ouvement. En effet l'éqitation donne immédiatement, si l'on fait croître t de Af et c de Ai>

inversement si, dans un mouvement rectiligne, la vite varie proportionnellement au temps, le mouvement est u formément varié; en effet, par hypothèse, — est constant, hmite de ce rapportât c'est-à-dire l'accélération, est di: constante, ce qui est la définition même du mouvement u formément varié.

Discussion. — Un mouvement uniformément varié es certains instants retardé et, à d'autres, accéléré. Pour montrer considérons, suivant la règle générale,' le produit

i-Y=(''«'i-TO-f;

ce produit s'annule à l'instanl

où la vitesse s'annu|e. II est négatif quand ( < (, et pôs

quand / >> /i ; le mouvement est retardé pour t <[ t\ et accé léré pour t> t\.

Pour discuter complètement le mouvement on est ramené à discuter la variation d'un trinôme du deuxième degré. Supposons, pour fixer les idées, y >■ o et reprenons les équations

la variable indépendante i va toujours en croissant, la vitesse

s'annule à l'instant ^i = — -^; tant que t<it^ la vitesse est

négative, x va en décroissant, le mobile M marche dans le sens négatif; pour ^>> /| la vitesse est positive, x croît et le mobile marche dans le sens positif. A l'instant t-=t^^ x prend sa valeur minimum

et le mobile occupe une position 04, qui est la plus à gauche de toutes les positions qu'il peut prendre {Jig» i8). En résumé

Fig. i8.

Cl M cr

quand y est positif, avariant de — oo à -f-oo, le mobile vient de l'infini à droite jusqu'au point 0| , qu'il atteint pour t= t^^ puis retourne de Oi^ à l'infini à droite; dans la première phase le mouvement est retardé, dans la deuxième il est accéléré.

Si l'on prend un point déterminé M d'abscisse x pJus grande que x^ , le mobile passe deux fois en M, une fois en marchant vers 0«, et une fois en s'en éloignant; il est à remarquer que les deux vitesses correspondantes sont égales et de signes contraires. C'est ce que l'on voit immédiatement en

CINÉMATIQUE DU POINT. l5

exprimant v en fonction de x. En élevant l'expression dq ç' au carré on peut écrire

''= vl-i-i-((vQt-h ^T'M,

c'est-à-dire, d'après l'expression de x,

Cette formule donne pour p des valeurs réelles, à condition que

X "^ Xq ^ X '^ Xi.

condition vérifiée ; les deux valeurs de v sont d'ailleurs égales et de signes contraires.

Dans cette discussion, nous avons supposé y positif; on traiterait de même le cas de y négatif.

Formeréduite de l'équation. — Remarquons, d'une manière générale, que l'on peut toujours chercher à simplifier l'équation d'un mouvement rectiligne en choisissant convenablement l'origine des temps et l'origine des espaces. Actuellement, prenons comme origine des temps l'instant où la.vitesse s'annule et comme origine des espaces la position correspondante du mobile. Dans ces conditions la vitesse r©, correspondant à / = o, est nulle et l'abscisse correspondante Xq est nulle. Les équations donnant x et i^ prennent alors les formes

réduites

X = - yt^, ç=yt.

Avec ce choix d'origines on a deux formules correspondant à des énoncés très simples qui résument les lois de la chute libre des corps sans vitesse initiale et dans le vide :

I** Les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir;

CODHS DE HECANIQVE.

' Les vitesses sont proportionnelles aux temps entrés à les acquérir. .

3. Mouvement TÎbratoire simplç. — Considérons un ivemenl rectîligne dont l'équation est

I et S élanl des constantes; c'estùn mouvement périodique, ique le mobile repasse aux mêmes points à des intervalles .ernps égaux; en effet, si nous augmentons ï de — > l'arc +- S augmente de ait; les sinus de deux arcs qui diffèrent fa étant égaux, x reprend la même valeur, oit O l'origine des espaces (Jîg. 19); prenons comme

îne des temps Tinstant où le mobile est au point A' iscîsse — a; on aura, pour (;=o, a:=, — a; on aura donc ■

'équation du mouvement s'écrit alors

es pointsAetA'correspondentaux positions extrêmes + <* - a du mobile qui dans son mouvement vibratoire oscille >ur du point O.

ppelons T le temps d'une oscillationdoubteou complète, t-à-dire le temps que le mobile met à aller de A' en A et ire retour en A', T sera ce qu'on appelle \a. période; elle

CIMÉHATIQUE DU POINT. 27

est caractérisée par ce fait qu'au bout du temps T le

mobile reprend et la même position et la même vitesse ; on

T voit d'autre part que x sera nul lorsqu'on aura « = j et par

suite

d'où

et par suite

o = — acos(i> — •

*nz

X = — aCOS27t Tj;

La période ï est l'inverse du nombre N des vibrations à la seconde T =— •

Dans l'étude des mouvementsi vibratoires x prend le nom A^élongation.

On déduit de l'équation du mouvement, sous cette forme, les expressions de la vitesse et de l'accélération en fonction du temps

dx 2TC .. ITZt

atii sia (x)t.

dv /ITZX^ ITZt

Y = -T- = a ( -?p- I cos — =r- = Oto* cosw^.

a s'appelle V amplitude du mouvement vibratoire. -

atù est la vitesse maximum que prend le mobile au

temps y au passage au point O ; l'arc tùt a reçu le nom de

phase de vibration»

La vitesse et l'accélération sont comme l'élongatîon représentées par des fonctions sinusoïdales du temps; le produit de ces quantités étant alternativement positif et négatif, le mouvement est alternativement accéléré et retardé.

La discussion de ces équations peut se résumer' dans le

Tableau suivant :

/ = o, 37= — a, V = Of ^ = -h atsi^.

r = — i a7 = -f-a, V = Oj Y= — aw'.

3T t = —f x = Oj p= — ao), Y = ^•

; = T, a? = — a, p = o, ^ =-h aoi^.

De T à 2T, a;, ^ et Y repasseraient par les mêmes valeurs et ainsi de suite.

De A' en O, le mouvement est accéléré; il est retardé de O en A, puisque, la vitesse étant positive, l'accélération est négative; de A en O, le mouvement est accéléré, la vitesse et l'accélération étant à la fois négatives; enfin, de O en A', le mouvement est retardé, la vitesse est dans cet intervalle négative, alors que l'accélération est positive.

On appelle aussi fréquence F le nombre N des oscillations complètes à la seconde ; c'est, par conséquent, l'inverse de la période

Expressions de la vitesse et de l'accélération en fonction de rélongation. — Dans le mouvement oscillatoire que nous venons d'étudier, le mobile passe une infinité de . fois par une même position M d'abscisse x^ comprise entre — a et + a. Il y passe toujours avec la même vitesse en valeur absolue. En effet, en éliminant t entre les expressions dé x et de (^, on a immédiatement

çt ,

—--4- 37*= a*. v=dta)i/a* — o?', w*

d'où, pour chaque valeur de x^ deux valeurs de v égales et de

"rrr

CINÉMATIQUE DU POINT. 29

signes contraires, Tune correspondant au cas où le mobile passe en M en marchant dans un sens, et l'autre au cas où il passe en M en marchant en sens contraire. Quant à l'accélération, elle est dirigée vers le centre de vibration O et varie proportionnellement à la distance du mobile à ce centre ; on a en effet

Y est donc de signe contraire kx et proportionnel à x.

Formule générale. — Si l'on avait pris un cosinus au lieu

d'un sinus

X = a cos(a)^-l- 0),

on aurait eu un mouvement identique, avec les mêmes conclusions, sauf un changement dans l'origine des temps ; on peut en effet écrire cette dernière équation

^ = «sin[a>(<+^)+8].

ou, en comptant le temps à partir de l'instant >

a? = a sin(u><-f- 0).

Il est évident qu'un mouvement défini par une équation de la forme

.où A et B sont constants, rentre dans le précédent ; car, en déterminant deux constantes a et S par les équations

A = acos8, B= — asinS,

on a

X = acos(a)^-F 8).

14. Mouvement représenté par un sinus où un cosinus hyperbolique; loi de son accélération. — On sait que,

par définition, on appelle sinus ou cosinus hyperbolique d'une variable a les deux fonctions

sha = > cna =

On vérifie immédiatement les propriétés suivantes qui font ressortir Uanalogie de ces fonctions avec les fonctions circulaires cosa et sina,

ch( — a) = cha, sh( — a) = — sha,

ch^a — sh*a = i„ *

c?cha - dshcL ,

— ; — = sha, — -, — = cha,

aa . aa

cha -+- sha = e*, cha — sha = e-o'.

Quand a varie de o à +00 la fonction cha croît constamment de I à -j-oo, et la fonction sha croît constamm'ent de o

à + 00. Quand a varie de — 00 à o, cha décroît de -h 00 à i et sha croît de — 00 à o.

Les courbes représentatives des fonctions

ont la forme indiquée sur la fig, 20. Les deux courbes sont

CINÉMATIQUE DU POINT. 3l

asymptotes l'une à Vautre à droite et tendent à devenir symétriques y une de l'autre quand on s'éloigne à l'infini vers la gauche.

1° Cela posé, prenons d'abord le mouvement défini par un cosinus hyperbolique

a? = ach(a>^ -H 8),

a, (0 et S étant des constantes dont noussupposerons les deux premières positives.

•Comme un cosinus hyperbolique a pour minimum -|- i , X est toujours supérieur à a, sauf à l'instant

où X devient égal à a.

Soit A le point d'absoisse a (Jlg- ai). Écrivons l'équation

on en déduit pour la vitesse, en prenant la dérivée,

Quand ^ <C! ^r, ^ < o, le mobile placé en M à droite de A

Fig. 2T.