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marche vers A avec une vitesse décroissante en valeur absolue (mouvement retardé); pour t = ti îe mobile est arrivé en A avec une vitesse nulle; pour ^ > ^<,' ç^ >> o, le mobile s'éloigne vers la droite et quand t augmente indéfiniment il s'éloigne indéfiniment, avec une vitesse indéfiniment croissante (mouvement accéléré).

Pour terminer, exprimons comme dans la question précédente la vitesse et l'accélération en fonction de x. D'abord, en

éliminant t enU-e les expressions de x et de (^, on a

quand a: est supérieur à a, cette formule donne pour v deux valeurs égales et de signes contraires correspondant, l'une à l'aller, l'autre au retour. L'accélération est

Y = -T- =«u)'chu>(^ — fj),

Y = CD* a?;

elle est dirigée dans le sens OM et est proportionnelle à la

distance OM.

2° Prenons maintenant un mouvement défini par un sinus

hyperbolique

a? = a sh(tD^-+- 8),

où nous supposerons encore a et w positifs. Dans ce mouvement, X s'annule à l'instant

donc, à cet instant, le mobile passe en O. Écrivons l'équation

nous avons pour la vitesse

p = a 0) ch to ( ^ — ti).

Cette vitesse est positive et a pour minimum la valeur a^ qu'elle atteint pour ^ = ^4 au moment où le mobile est en O. Le mobile marche dans le même sens de l'infini à gauche à l'infini à droite avec une vitesse d'abord décroissante jusqu'à O (mouvement retardé), puis croissante du point O à l'infini (mouvement accéléré).

CINÉMATIQUE DU POINT. 33

Efl fonction de ^, la vitesse est ici

Faccélération est

Y = a 10* sh o) ( ^ — ^1 ),

l'accélération est encore dirigée dans le sens OM et est proportionnelle à la distance OM.

3** Les deux mouvements précédents peuvent être regardés comme des cas particuliers du mouvement défini par une équation de la forme

A et B désignant des constantes, ou en faisant

= A, = fi,

X et [A étant deux nouvelles constantes.

Deux cas principaux sont à distinguer suivant le signe du produit X|JL.

Si X et [JL sont de mêmes signes on peut déterminer deux constantes a et S par les relations

qui donnent

a = 2/X]I, 28 = Log--;

l'équation du mouvement devient alors

X = a ch{tji) t -{- 8).

Si X et [JL sont de signes contraires, on pourra déterminer AG. 3

a et 8 par les équations

r > « fi . a f

Jirî-*--

a = .2v/-X|JL, 28 = Log^- -j;

l'équation du mouvement est alors

a? = a sh (to^ -^ 0).

^'^. Enfin il pourrait arriver que X ou [jl fût nul. Si ). = o, on a

le mouvement

qui présente cette circonstance particulière que, t variant de — 00 à 4- 00, le mobile s'avance constamment vers le point O, dont il s'approche autant qu'on le veut sans jamais y arriver. En même temps, sa vitesse i' = — (jL03e~^'= — o)^ tend vers zéro.

Pour [X = o on a

quand t est négatif et très grand, le mobile est très voisin de l'origine et sa vitesse (^ = Xa)e^'= o)^ est très petite; t augmentant, le mobile s'éloigne de plus en plus avec une • vitesse croissante.

Dans tous ces mouvements l'accélération est

15. Composition de plusieurs mouvements rectilignes dirigés suivant la même droite.

A. Deux mouvements uniformes. — Supposons une droite Ox sur laquelle se meut d'un mouvement uniforme, avec une vitesse constante v^ un mobile M; il parcourra dans le temps A^ un espace MM'= çtkt\ mais imaginons que,

CINÉUATIQUE DU POINT.

en même temps, la droite Ox glisse (Jlg. 22) sur la drt d'un mouvement uniforme de vitesse v*, tel qu'au temps iï le point M' de cette droite occupe la pos

définie par M'M"^ ("'Af. Le mobile sera, en réalité, 1 dans le temps A/ îl aura parcouru

MM'= MM'-i- M'M'= (d + v'}M.

Tout se passe donc comme s'il n'y avait qu'un se vement, dont la vitesse constante serait définie par

B. Deux mouvements variés : 1 " Composition des

— Supposons <^ue les déplacements précédents MM'

aient été efl'ectués d'un mouvement varié; l'esp^ace j

pendant le temps \t sera toujours MM" tel que l'on i