CHAPITRE l

quii la résultante R' des deux autres a la mûme ligne d'action AC. Nous allons montrer que R et R' sont égales et opposées.

Pour cela, supposons qu'elles ne le soient pas et faisons tourner le système des quatre g forces de 180° autour de BD ; comme le système n'est pas changé, la résultante, qui existe et n'est autre que celle de R et de E', n'est pas changée non plus, ce qui exige qu'elle soit dirigée suivant l'axe de rotation BD. Mais si R et R' no sont pas égales et opposées, celte résultante est dirigée suivant AC. Ces deux résultats étant contradictoires, il faut que R et R' soient égales et opposées, c'est-à-dire que le losange soit en équilibre.

Ajoutons que la propositionne cesse évidemment pas d'être vraie si l'on suppose que les forces AD et CD soient appliquées au point D, et que les forces AB et CB soient appliquées au point B.

Ceia posé, la démonstration du théorème I ne présente plus aucune difficulté. Considérons en effet un couple PABQ, et faisons tourner ce couple autour d'un point quelconque de son plan, d'un angle quelconque m et dans le sens indiqué par la flèche de la ligure ci-contre, de manière à l'amener en P'A'B'Q'. Je dis que le couple P'A'B'Q' est équivalent au premier. Pour le prouver, j'applique au point A' les deux forces P' et Pi, égales et opposées et de mfime intensité que P ; au point B' j'applique de même les forces Qi et Q', égales et opposées et de même intensité que P ou que Q, ce qui

revient au même. L'élat du corps ne sera évidemment pas changé et il est visible, sur la figure, que les lignes d'action de toutes ces forces étant prolongées, on obtient un losange af p3, car toutes les droites du plan du couple tournent de l'angle w autour du point 0. Si on applique alors les forces P et Pi au point 3, puis les forces Q et Qi au point p, on obtient un système de quatre forces en équilibre en vertu du lemme II ; il ne reste donc plus, en supprimant ces quatre forces, que le couple P'A'E'Q' ; donc ce couple est équivalent au couple PABQ, ce qui démontre la proposition.

47. Corollaire I. — Deux forces égales, parallèles et de même sens, appliquées à un corps solide, ont une résultante de même sens qu'elles, égale à leur somme et appliquée au milieu de la droite qui joint leurs points d'application.

On peut en effet supposer les deux forces considérées, P et Q, perpendiculaires sur la droite AB qui joint leurs points d'application. Tout revient alors h prouver que les deux forces p' Q' P' et Q', égales et de sens con-

ÎT traire à P, appliquées au mi-

lieu C de AB, font équilibre aux I c ~ I <^^us forces P et Q. Or, cela de-

vient évident si l'on fait tourner P* VQ le couple (Q.BC) de 180" autour

du point C, de manière à amener B en A ; car, après cette rotation, Q et P d'une part, Q' et P' de l'autre, se détruisent. Comme les deux forces P' et Q' ont une résultante égale à P' + Q', il suit de Ik que la force P -I- Q, égale et opposée à P' -H Q', peut remplacer les deux forces P et Q.

48. Corollaire 11.^ Un couple peut être transporté parallèlement à lui-même dans son plan oa dans tout plan parallèle.

Soit en effet un couple (P.AB) et soit A'B' égale et parallèle à AB, de telle sorte que la figure ABA'B' soit un parallélogramme de centre 0. En A' appliquons deux forces F et P,, égales et opposées et de même intensité que P ; opérons de même en B' avec les deux forces Qi et Q*, de même

intensité que P, toutes ces forces étant d'ailleurs parallèles à

P, comme la figure l'indique. Les

P, y deux forces P et Q, ont une résul-

J^A' J r' tante d'intensité 2P, appliquée en

,/,hv^,-jQ V I 0; pareillement, Pi et Q ont une

-:!—-' ''''X '' ^1 résultante appliquée au même

i E point, de même intensité et de sens

P contraire h la première. Donc ces

quatre forces se font équilibre et on peut les supprimer ; il

ne reste donc plus alors que le couple (P'.A'B'), c'est-à-dire le

couple (P.AB) transporté parallèlement à lui-même.

49. Corollaire III, — On peut déplacef un couple à volonté dans son plan ou dans tout plan parallèle.

Car tout déplacement de cette nature peut être obtenu soit par une rotation, soit par une translation, soit par ces deux opérations effectuées successivement.

30. Remarque. ^ Dans les propositions qui suivent, nous ne considérerons que des couples situés dans le même plan ou dans des plans parallèles.

51. Égalité de deux couples. — Deux couples sont égattx, par définition, quand on peut les amener à coïncider, sans que l'état du corps auquel ils sont appliqués soit changé.

52. Tliéorème H. — Lorsque deux couples siluésdans le même plan ou dans des plans parallèles ont le même sens de rotation, des forces égales et des bras de levier égaux, ils sont égaux.

En effet, en vertu du corollaire III on peut faire coïncider ces deux couples sans que l'état du corps soit changé.

33. Somme de deux couples. — Considérons deux couples situés dans le même plan ou dans deux plans parallèles et ayant même sens de rotation.

1° Si ces deux couples ont des forces égales, nous appellerons somme de ces couples un autre couple ayant même sens de rotation, même force et un bras de levier égal à la somme des deux bras de levier.

2° Si les ficus couples ont des bras de levier égaux, leur p p somme sera, par définition, un couple

il de même sens de rotation, de même 1 bras de levier et avant pour force la CD ■! t somme des deux forces, r p Nous écrirons dans le premier cas (P.AB) + {1\CD) = (P.ABh-CD); et dans le deuxième,