Rèflle du parallélogramme des forces. — Théorème

La résultante de deux forces appliquées au même point et dans deux directions différentes est égale en grandeur, direction et sens à la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces. Soient OA et OB les deux forces appliquées au même point et soit OC la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces. Prouvons d'abord que la résultante de ces deux forces est dirigée suivant OC. Pour cela, remarquons que l'état du corps, dont on peut toujours supposer que le point fasse partie, ne change pas si l'on applique au point C deux forces CM et CB de même intensité que OA, puis deux forces CB' et CA de même intensité que OB , Mais les deux forces OA et CB définissent un couple dont le moment est représenté par l'aire du parallélogramme OACB ; de même OB et CA. définissent un couple de même moment ; d'ailleurs ces- deux couples sont évidemment de sens contraire; donc ils se font équilibre et on peut supprimer les ,' \ quatre forces OA, OB, CA, CB. Il ne reste

^ \ plus alors que les forces CA' et CB' appli-

quées au point C, ce qui montre que la résultante des deux forces OA et OB peut être elle-même appliquée au point C ; mais le point d'application d'une force ne peut être transporté qu'en un point de la direction de cette force (36) ; donc la diagonale OC est la direction de la résultante.

Prouvons maintenant que celle rcsullanlc est rcprcaentée

àb STATIQUE

par la diagonale OC, en grandeur et sens. Pour cela, prolongeons OC d'une longueur OD — OC et considérons les trois forces OA, OB, OD: tout revient évidemment à prouver que ces trois forces se font équilibre. Supposons alors qu'elles ne se fassent pas équilibre : elles auront une résultante de direction bien définie (38). Mais cette résultante passe par le point C, car les deux forces OA et OB peuvent être transportées parallèlement à elles-mêmes au point C et, d'autre part, le point d'application de OD peut aussi être transporté en un point C de la direction de cette force. Or, si l'on prolonge OA d'une longueur OE = OA, puis OB d'une longueur OF = OB, comme OE et OF senties diagonales des parallélogrammes construits respectivement sur OB et OD, sur OA et OD, le même raisonnement prouve que cette résultante de direction bien définie devrait passer aussi par E et par F, ce qui est évidemment impossible. Donc les trois forces OA, OB, OD se font équilibre et, par suite, la force OC, égale et opposée à OD, pcul remplacer les deux forces OA et OB (31).

63. BBiUBQUE. — La règle de composition,de deux forces, fournie par la proposition qui vient d'être démontrée, s'appelle la règle du parallélogramme des forces.

66. CoPotlafpeB. — 1° Le carré de la résultante de deux forces est égal à la Somme des carrés des composantes, augmentée du double produit de ces forces par le cosinus de l'angle formé par ■ leurs directions.

Posons